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高一数学直线的两点式方程1


复习回顾

点斜式 y-y1 = k(x-x1) 斜截式 y = kx + b

例题分析:
例3 已知直线l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2 试讨论 : (1)l1∥ l 2的条件是什么? (2)l1 ? l 2的条件是什么?

l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
l1 ∥ l 2 ? k1 ? k2 , 且b1 ? b2 l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? ?1

4、已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5), 求直线l的方程
解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5)
5 ? ?? 5? ? kl ? ? ?2 ?2?3

将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得 y-(-5) =-2 ( x-3 ) 即 2x + y -1 = 0

已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其 中x1≠x2, y1≠y2 ),如何求出通过这两点的 直线方程呢?

直线方程的两点式

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1

经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1≠x2, y1≠y2 )的直线方程叫做 直线的两点式方程,简称两点式。

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1
说明(1)这个方程由直线上两点确定;
(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用

两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)

练习:写出过下列两点直线的 两点式方程: (1) P1(2,1),P2(0, ?3); (2)A(0,5), B(5,0)

y ? y1 x ? x1 思考两点式方程 ? 的局限性 : y2 ? y1 x2 ? x1 (1)能否表示垂直于y轴的直线? 无法表示垂直

(2)能否表示垂直于x轴的直线?

坐标轴的直线

(3)( y ? y1 )( x2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y2 ? y1 )?

练1.求过下列两点的直线的两点式方程 : (1) A(2,1), B(0,?3); (3) A(0,5), B(5,0); (2) A(?4,?5), B(0,0); (4) A(a,0), B(0, b)( ab ? 0).

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中点坐标公式

已知x轴上两点P1(x1,0),P2(x2,0), 则线段P1P2的中点P0的坐标是什么?
x1 ? x2 ( , 0) 2

已知y轴上两点P1(0,y1),P2(0,y2), 则线段P1P2的中点P0的坐标是什么?
y1 ? y2 (0, ) 2

已知两点P1(0,y),P2(x,0),则线段 P1P2的中点P0的坐标是什么?
x y ( , ) 2 2

已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)则线段 P1P2的中点P0的坐标是什么?
x1 ? x2 y1 ? y2 ( , ) 2 2

例题分析
例4、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直 y 线的方程.

.
C

. A

O

.M
. B

x

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例题分析
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.

x y ? ?1 a b

y B

l

说明(1)直线与x轴的交点(a,0) 的横坐标a叫做直线在x轴的截距, 此时直线在y轴的截距是b;

O

A

x

(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫 做直线方程的截距式方程;

(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

y?0 x?a ? b?0 0?a

x y ? ?1 a b

: 截距式方程

无法表示垂直 思考截距式方程的局限性 : 坐标轴和过原 (1)能否表示垂直于y轴的直线? 点的直线

(2)能否表示垂直于x轴的直线? (3)能否表示通过原点的直线?
例2.直线l在x轴上的截距为在y轴上截距的2倍, 且l 过P(4,?1), 求直线l的方程.

练习
下 列 四 个 命 题 中 的 真题 命 是 (B ) A.经 过 定 点0P (x0 ,y 0 )的 直 线 都 可 以 用 方 程 y? y 0 ? k(x ? x 0 )表 示 ; B.经 过 任 意 两 个 不 同 P1(x1,y1 ), P2(x2 ,y 2 )的 点 的 直 线 x y C.不 经 过 原 点 的 直 线 都 可 以 用 方 程 ? ? 1表 示 ; a b D.经 过 定 点 的 直 线 都 可 以 用 y? kx ? b表 示 .

都 可 以 用 方 程 (y ?y1 )(x2 ? x1 ) ?(x ? x1 )(y2 ? y1 )表 示 ;

练习
根据下列条件,求直线的方程:

(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2;

例2 求经过点P(2,4),且在两坐 标轴上的截距相等的直线方程.

例3 求经过点P(0,5),且在两 坐标轴上的截距之和为2的直线方程.

练习
已知两点A(-3,4),B(3, 2),过点P(2,-1)的直 线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围

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