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241平面向量的数量积的物理背景及其含义


2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: (1)两个非零向量夹角的概念: )两个非零向量夹角的概念: 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角. 说明: (1)当 θ=0时,a与b同向; (2)当 θ=π 时,a与b反向; (3)当 θ=

π
2

时,a与b垂直,记a⊥b;

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0°≤θ≤180° (2)两向量共线的判定 ) (3)练习 ) 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( C ) A.6 B.5 C.7 D.8

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( B ) A.-3 B.-1 C.1 D.3

(4)力做的功:W = |F||s|cosθ,θ是 F 与 s 的夹角. )力做的功: θ 的夹角 二、讲解新课: 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是 θ, 则数量|a||b|cosθ叫a与b的数量积,记作 ab,即有 ab = |a||b|cosθ, (0≤θ≤π). 向量与任何向量的数量积为 并规定 0 向量与任何向量的数量积为 0. 探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 探究 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cosθ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 ab;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 ab 是两个向量 的数量的积,书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.

(3)在实数中,若 a≠0,且 ab=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a≠0,且 ab=0,不能推出 b=0. 因为其中 cosθ有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b≠0),则 ab=bc a=c.但是 ab = bc 如右图:ab = |a||b|cosβ = |b||OA|,bc = |b||c|cosα = |b||OA| ab = bc 但 a ≠ c (5)在实数中,有(ab)c = a(bc),但是(ab)c ≠ a(bc) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线. 2.“投影”的概念:作图 a=c

定义:|b|cosθ叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量; 当θ为锐角时投影为正值; 当θ = 0°时投影为 |b|; 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ的乘积. 探究: 探究:两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量, 、 1、a⊥b ab = 0 ⊥ 2、当 a 与 b 同向时,ab = |a||b|; 特别的 aa = |a|2 或 | a |= 探究:平面向量数量积的运算律 探究 1.交换律:a b = b a 证:设 a,b 夹角为θ,则 a b = |a||b|cosθ,b a = |b||a|cosθ 2.数乘结合律:( λ a)b = λ (ab) = a( λ b) 证:若 λ > 0,( λ a)b = λ |a||b|cosθ, λ (ab) = λ |a||b|cosθ,a( λ b) = λ |a||b|cosθ, 若 λ < 0,( λ a)b =| λ a||b|cos(πθ) = λ |a||b|(cosθ) = λ |a||b|cosθ, λ (ab) = λ |a||b|cosθ, a( λ b) =|a|| λ b|cos(πθ) = λ |a||b|(cosθ) = λ |a||b|cosθ. 3.分配律:(a + b)c = ac + bc 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上的投影等 于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 |a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2 即:(a + b)c = ac + bc ∴a b = b a 当 a 与 b 反向时,ab = |a||b|. |ab| ≤ |a||b| cosθ = 当θ为钝角时投影为负值; 当θ = 180°时投影为 |b|. 当θ为直角时投影为 0;

a a

a b | a || b |

∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2, ∴c(a + b) = ca + cb

说明: (1)一般地,(ab)с≠a(bс) ) = , (2)aс=bс,с≠0

a=b
2 2

(3)有如下常用性质:a2=|a| , (с+ (a+b) +d)=aс+ad+bс+bd ( + + 三、讲解范例:

例 1 已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 θ=120o,求 ab. 例 2.证明:(a+b)2=a2+2ab+b2 例 3.已知|a|=12, |b|=9, a b = 54 2 ,求 a 与 b 的夹角。 例 4.已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直.
2 2 2

(备用例题)1、判断正误,并简要说明理由. ①a0=0;②0a=0;③0- AB = BA ;④|ab|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任 ⑥ 则 ⑦对任意向量a, , 都有 ab) b с ( 一非零b有ab≠0; ab=0, a与b中至少有一个为 0; 2 2 с=a(bс) a与b是两个单位向量,则a =b . ;⑧ 解:上述 8 个命题中只有③⑧正确; 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 0a=0;对于②:应有0a=0; 对于④:由数量积定义有|ab|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,这里 θ 是a与b 的夹角,只有 θ=0或 θ=π 时,才有|ab|=|a||b|; 对于⑤:若非零向量a、b垂直,有ab=0; 对于⑥:由ab=0可知a⊥b可以都非零; 对于⑦:若a与 с 共线,记a=λс. 则ab=(λс)b=λ(сb)=λ(bс) , ∴(ab)с=λ(bс)с=(bс)λс=(bс)a 若a与 с 不共线,则(ab)с≠(bс)a. 评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

2、已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60o 求: (1)(a+2b)(a-3b). (2)|a+b|与|a-b|. 与 ( 利用

| a |= a a )

四、课堂练习: 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( )

A.60°

B.30°

C.135°

D.45°

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为

π
3

,那么向量 m=a-4b 的模为(



A.2

B.2 3

C.6

D.12 )

3.已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 4.已知向量 a、b 的夹角为 B.必要但不充分条件

D.既不充分也不必要条件

π
3

,|a|=2,|b|=1,则|a+b||a-b|=

.

5.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位向量,那么 ab= . 6.已知 a⊥b、c 与 a、b 的夹角均为 60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c) =______. 7.已知|a|=1,|b|= 2 ,(1)若 a∥b,求 ab;(2)若 a、b 的夹角为60°,求|a+b|;(3)若 a-b 与 a 垂直, 求 a 与 b 的夹角. 8.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 9.对于两个非零向量 a、b,求使|a+tb|最小时的 t 值,并求此时 b 与 a+tb 的夹角. 五、小结: 1.平面向量的数量积及其几何意义; 2.平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.向量垂直的条件. 六、布置作业 P108 第 1、2、3 题



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