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江苏省南通、扬州、泰州三市2013届高三第二次调研测试数学试题(WORD版)


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江苏省南通、扬州、泰州三市 2013 届高三第二次调研测试数学试题(WORD 版)

数 学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷卡的相应位置 ........ 上. . 1. 在平面直角坐标系中, 已知向量 A

B = (2, 向量 A C = (3, 则向量 B C 的坐标为 ▲ . 1), 5), 2. 设集合 A ? ? x
x ? 2 x ? 3≤ 0 ,B ? x x ? 5 x≥ 0
2 2

uur

uuu r

uuu r

?

?

? ,则 A I ? ? B ? ?
R

▲ .

3. 设复数 z 满足| z | = | z-1 | = 1,则复数 z 的实部为 ▲ .
x l6 4. 设 f (x)是定义在 R 上的奇函数, x < 0 时, (x)=x + e(e 为自然对数的底数) 则 f ? n ? 当 f ,

的值为 ▲ . 5. 某篮球运动员在 7 天中进行投篮训练的时间(单位:分钟)用茎叶图表示(如图) ,图 中左列表示训练时间的十位数, 右列表示训练时间的个位数, 则该运动员这 7 天的平均训练 时间为 ▲ 分钟.

6 457 7 25 8 01
(第 5 题)

S←0 For I From 1 to 28 Step 3 S←S +I End For Print S
(第 6 题)

6. 根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 ▲ . 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆与双曲线 y 2 椭圆的离心率 8. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开, 其展开图是半径为 2 cm 的半圆, 则该圆锥的高为 ▲ cm. 9. 将函数 y
? 2 sin π x 3

? 3 x ? 3 共焦点,且经过点
2

?

2,2

? ,则该

的图象上每一点向右平移 1 个单位, 再将所得图象上每一点的横坐标
? f (x)

扩大为原来的 π 倍(纵坐标保持不变) ,得函数 y
3

的图象,则

f (x)

的一个解析式为




f ( x ) ? ( x ? 1) sin π x ? 1( ? 1 ? x ? 3)

10.函数

的所有零点之和为 ▲ . .则 co s ? 的值为 ▲
*

11. 设 ? , ?

? ? ?, ? ?

,且 sin (?

? ?)?

5 ? 1 , tan ? 13 2 2



12. 设数列{an}满足: a 3

? 8,? a n ? 1 ? a n ? 2 ? ? 2 a n ? 1 ? a n ? ? 0 ( n ? N )

,则 a1 的值大于 20 的概率

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为 ▲ .

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13.设实数 x1,x2,x3,x4,x5 均不小于 1,且 x1· 2· 3· 4· 5=729,则 max{x1x2,x2x3,x3x4,x4x5} x x x x 的最小值是 ▲ .
? 1 ( x ? 0) x

14.在平面直角坐标系 xOy 中,设 A ( ? 1,1) ,B,C 是函数 y ABC 为正三角形,则△ABC 的高为 ▲ .

图象上的两点,且△

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解答时应写出 ......... 文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°,面积为 (1)若 AB ?
2 2

3



,求△ABC 的另外两条边长;
?

(2)设 O 为△ABC 的外心,当 B C

uuu uuu r r 2 1 时,求 A O ? B C

的值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P
? PBA ? 90
?

? ABCD

中,平面 P A B

?

平面 A B C D ,BC//平面 PAD, ? P B C P

? 90

?

,

.求证:

(1) A D // 平面 P B C ; (2)平面 P B C
?

平面 P A B .

A

D

17. (本小题满分 14 分)

B C 为稳定房价, 某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用 1 600 万元购得一块土地, (第 16 题) 造 10 幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1 000 平方米,

在该土地上建

每平方米的建筑 费用与楼层有关,第 x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数) .经测 算,若每幢楼为 5 层,则该小区每平方米的平均综合费用为 1 270 元. 购地费用+所有建筑费用 (每平方米平均综合费用= ). 所有建筑面积 (1)求 k 的值;
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(2) 问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低, 应将这 10 幢楼房建成多少层? 此时每平方米 的平均综合费用为多少元?

18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f (x)=(m-3)x3 + 9x. (1)若函数 f (x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求 m 的取值范围; (2)若函数 f (x)在区间[1,2]上的最大值为 4,求 m 的值.

19. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2=r2 和直线 l:x=a(其中 r 和 a 均为常数, 且 0 < r < a) , M 为 l 上一动点,A1,A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA1,MA2 与圆 C 的另一个交 点分别为 P、Q. (1)若 r=2,M 点的坐标为(4,2),求直线 PQ 方程; (2)求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标.

20. (本小题满分 16 分) 设无穷数列 ? a n ? 满足: ? n ? Ν ? , a n (1)若 b n
*

? a n ?1 , a n ? N

?

.记 b n

? a a ,c n ? a a
n

n

?1

(n ? N )
*

.

? 3 n ( n ? N ) ,求证: a 1 =2,并求 c 1 的值;

(2)若 ? c n ? 是公差为 1 的等差数列,问 ? a n ? 是否为等差数列,证明你的结论.

数学 II(附加题)

21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分, 共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.

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A. 选修 4-1:几何证明选讲

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如图, A B 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, O C ⊥ A B , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 A B 的延长线于点 D .连结 C F 交
AB

C

于点 E .
? DB ? DA

求证: D E 2

.

A

E O

B

D

F

B. 选修 4-2:矩阵与变换 设曲线 2 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 在矩阵 M ? ? ?n
x
2

?m

0? ??m ? 0? 1?

对应的变换作用下得到的曲线为

? y

2

? 1 ,求矩阵 M

的逆矩阵 M

?1



C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标 x O y 中,已知圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? 4 ,圆 C 2 : ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 4 . (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆 C 1 , C 2 的极坐标 方程及这两个圆的交点的极坐标; (2)求圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程.

D.选修 4-5:不等式选讲 设正数 a,b,c 满足 a ? b ? c
? 1 ,求

1 1 1 ? ? 3 a ? 2 3b ? 2 3 c ? 2

的最小值.

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,在三棱柱 A B C
? A1 B1 C 1

中, A1 B

? 平 面 ABC

,AB

? AC

,且 AB ? AC ? A B ? 2 . 1
C1 A1 B1

(1)求棱 A A1 与 BC 所成的角的大小; (2)在棱 B1 C 1 上确定一点 P,使二面角 P 值为 2
5 5
? A B ? A1

的平面角的余弦



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B

C

A

(第 22 题)

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23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 设 b>0,函数
f (x) ?
2 1 1 1 ( a x ? 1) ? x ? ln b x 2 ab b b

,记 F ( x ) ?

f ?( x )



f ?( x )

是函数

f (x)



导函数) ,且当 x = 1 时, F ( x ) 取得极小值 2. (1)求函数 F ( x ) 的单调增区间; (2)证明 ? F ( x ) ?
n

? F ( x ) ≥2 ? 2 ? n ? N
n n

*

?.

答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷卡的相应位置 ........ 上. . 1. 【答案】 (1,4) 2.【答案】 ? 0,3 ? 3.【答案】 1
2

4.【答案】 ln 6 5. 【答案】72 6.【答案】145

?

1 6

7. 【答案】 8. 【答案】 9. 【答案】 y
3

2 2

? 2 sin x ?

?

π 3

?

10.【答案】 4 11. 【答案】 ? 1 6
65

12. 【答案】 1

4

13.【答案】9 14. 【答案】2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解答时应写出 ......... 文字说明、证明过程或演算步骤. 15.
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【解】 (1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 于 是
3 ? 1 bc 2 A ? 3 bc s 4 i



n





bc=4. ………………………………………………………………3 分 因为 c 由
BC ? a ?
2 2

? AB ? 2

2

,所以 b

? CA ?

2

. 定
2?8? 4 ? 14


b ? c ? 2 b c co s A ?
BC ? 21
2 2


b ?c ?4 ?
2 2

理 . ………………………6 分
16 b
2



( 2 ) 由



b ? c ? 4 ? 21

, 即

b ?
2

? 17 ? 0

, 解 得

b ?1



4.……………………………8 分 设 BC 的中点为 D,则 A O
uuu r uuu uuu r r ? AD ? DO


? 0

因为 O 为△ABC 的外心,所以 D O ? B C 于

uuu uuu r r

, 是

uuu uuu r r uuu uuu r r uuu uuu r r uuu uuu r r 2 2 1 b ?c AO ? BC ? AD ? BC ? AB ? AC ? AC ? AB ? 2 2

?

??

?

.………………………………………

…12 分 所以当 b 当
uuu uuu r r 2 2 b ?c 15 AO ? BC ? ? 2 2
?1

时, c

uuu uuu r r 2 2 b ?c 15 ? ? ? 4 , AO ? BC ? 2 2
b ? 4

; ,
c ?1





.………………………………………………………14 分

16. 【证】 (1)因为 BC//平面 PAD, 而 BC ? 平面 ABCD,平面 ABCD I 平面 PAD = AD, 所以 BC//AD. …………………………………3 分 因为 AD ? 平面 PBC,BC ? 平面 PBC, 所
PBC



A D //





.………………………………………………………………………………………6 分 (2) P 作 PH ? AB 于 H, 自 因为平面 P A B 所以 P H
? ?

平面 A B C D , 且平面 P A B

I

平面 A B C D .………………………………………9 分

平面 A B C D =AB, P

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H B C

A

D

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因为 BC ? 平面 ABCD,所以 BC ? PH. 因为 ? P B C 而 ?PBA
? 90
?

?

,所以 BC ? PB,

? 90

,于是点 H 与 B 不重合,即 PB I PH = H.

因为 PB,PH ? 平面 PAB,所以 BC ? 平面 PAB.…………12 分 因 为 BC
?





PBC









PBC

?





PAB.……………………………………………………… 14 分

17. 【解】 (1)如果每幢楼为 5 层,那么所有建筑面积为 10×1 000×5 平方米,所有建筑 费用为 [ (k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800) ] × 1 000 × 10 , 所 以,…………………………3 分 16 000 000+[(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10 1 270= , 10×1 000×5 解 之 得 : k =

50.……………………………………………………………………………………………6 分 (2)设小区每幢为 n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为 f (n),由题设可知 16 000 000+[(50 +800)+(100 +800)+…+(50n +800)]×1 000×10 f (n) = 10×1 000×n = 1 600 n +25n+825 ≥ 2 1 600×25 +825 = 1 225

(元). ……………………………………………10 分 当 且 仅 当 1 600 n = 25n , 即 n = 8 时 等 号 成

立.……………………………………………………………12 分 答:该小区每幢建 8 层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为 1 225 元. ……………………………14 分

18. 【 解 】 1) 因为 ( 数. ………………3 分
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f?

(0) =9 > 0, 所以 f (x) 在区 间 ? ? ?, ? ?? 上 只能 是单 调增 函

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由 故
f?

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(x)=3(m-3)x2 + 9≥0 在区间(-∞,+∞)上恒成立,所以 m≥3. m 的 取 值 范 围 是 [ 3 , +

∞) . …………………………………………………………………………6 分 (2)当 m≥3 时,f (x)在[1,2]上是增函数,所以[f (x)] max=f (2)=8(m-3)+18=4, 解 得 m = 5 4 <3 , 不 合 题 意 , 舍

去. ………………………………………………………………………8 分 当 m<3 时,
f?

(x)=3(m-3) x2 + 9=0,得 x

? ?

3 3?m


3 3 , 3?m 3?m

所 以 f (x) 的 单 调 区 间 为 :

? ? ?, ?

3 3?m

? 单调减, ??

? 单调增,

?

3 ,? ? 3? m

? 单调减.
……………………………………10 分 ,即 9 ≤ m
4 ? 3

①当

3 ≥2 3? m

时,[1, 2 ] ?

??

3 3 ? , 3?m 3?m ? ?

,所以 f (x)在区间[1,2]

上单调增, 5 [f (x)] max =f(2)=8(m-3)+18=4,m=4,不满足题设要求. ②当 1 ? ③当 调减, [f (x)] max =f (1)=m + 6=4,m=-2. 综 上 所 述 : m = -
3 ? 2 3? m

,即 0<m< 9 时,[f (x)] max ?
4

f

?

3 3?m

? ? 0 ? 4 舍去.

3 ≤ 1 ,即 3?m

m≤0 时,则 [1, 2 ] ?

?

3 ,? ? ? ? 3?m ?

,所以 f (x)在区间[1,2]上单

2.………………………………………………………………………………………16 分

19. 【解】 (1)当 r=2,M(4,2),则 A1(-2,0),A2(2,0). 直 线 MA1 的 方 程 : x - 3y+2=0 , 解
? x ? y ? 4, ? ?x ? 3y ? 2 ? 0
2 2



P

? 8 , 6 ? .………………………………………2 分 5 5
直 线 MA2 的 方 程 : x - y - 2=0 , 解
? x ? y ? 4, ? ?x ? y ? 2 ? 0
2 2



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Q ? 0, ? 2 ?

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. ………………………………………4 分 两 点 式 , 得 直 线 PQ 方 程 为 : 2x - y -



2=0. …………………………………………………………6 分 (2)证法一:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t), t t 直 线 MA1 的 方 程 是 : y = a+r (x+r) , 直 线 MA1 的 方 程 是 : y = (x - a-r r) .…………………………8 分 解
?x ? y ? r , ? ? t ? y ? a ? r (x ? r) ?
2 2 2



P

?

r ( a ? r ) ? rt
2

2

(a ? r ) ? t
2

2



2 tr ( a ? r ) (a ? r ) ? t
2 2

? .………………………………………………10 分
?x ? y ? r , ? ? t ? y ? a ? r (x ? r) ?
2 2 2





Q

?

rt ? r ( a ? r )
2

2

(a ? r ) ? t
2

2

,?

2 tr ( a ? r ) (a ? r ) ? t
2 2

? . ……………………………………………12 分
PQ 的
2 2 2 2

2at 于是直线 PQ 的斜率 kPQ= 2 2 2, a -t -r 直
y ? 2 tr ( a ? r ) (a ? r ) ? t
2 2

线
? 2at a ?t ?r
2 2 2







?

x?

r ( a ? r ) ? rt (a ? r ) ? t

? . ………………………………14 分

r2 上 式 中 令 y = 0 , 得 x = a , 是 一 个 与 t 无 关 的 常 数 . 故 直 线 PQ 过 定 点

? ra ,0 ? . …………………16 分
2

证法二:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t), t 直线 MA1 的方程是:y=a+r(x+r),与圆 C 的交点 P 设为 P(x1,y1) . t 直线 MA2 的方程是:y= (x-r);与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2,y2) . a-r 则点 P(x1,1) , 2,2)在曲线 y Q(x y [(a+r)y-t(x+r)](a-r)y-t(x-r)] 上,………………… [ =0 10 分 化简得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0. ①

又有 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在圆 C 上,圆 C:x2+y2-r2=0.② ① 2×②得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2) -t2( x2+y2-r2)=0, -t 化简得:(a2-r2)y-2t(ax-r2) -t2 y=0.
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所 以 直 线 0. PQ

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y =

的 方 程 为 (a2 - r2)y - 2t(ax - r2)-t2

③ ……………………………………14 分 在 ③ 中 令 y = 0 得 x = r2 a , 故 直 线 PQ 过 定 点

? ra ,0 ? .………………………………………………16 分
2

20. 【解】 (1)因为 a n ? N ? ,所以若 a1 若
a1 ? 2

? 1 ,则 a a ? a 1 ? 3 矛盾,
1

a1≥ 3 ? a a


1





1≥ a1≥ 3











. ………………………………………………………4 分 是
? a3 ? aa ? 6
2


c1 ? a a
1

a2 ? aa ? 3
1







?1

. ………………………………………………………7 分 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , 证 明 如



2



?an ?

下: ………………………………………………………9 分
a n ? 1 ? a n ? n≥ 2

时, a n

? a n ? 1 ,所以 a n ≥ a n ? 1 ? 1 ? a n ≥ a m ? ( n ? m )



(m ? n)

? aa

n ?1

?1

≥ aa

n

?1

? a n ? 1 ? 1 ? ( a n ? 1)

,…………………………………………………………

……………13 分 即 c n ?1 所
? c n ≥ a n ?1 ? a n

,由题设, 1≥ a n ? 1 ,

? an

,又 a n ? 1

? a n ≥1 ,



a n ?1 ? a n ? 1



?an ?









列.…………………………………………………………………16 分

数学 II(附加题)

21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分, 共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲 【证明】连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°.
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C

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E O

B

D

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F

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所以∠OFC+∠CFD=90°.

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因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O, 所以∠OCF+∠CEO=90°. ……………………………………………… 5分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB· DA.所以DE2=DB· DA. 10分 ………………………………

B. 选修 4-2:矩阵与变换 【 解 】 设 曲 线 2 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 上 任 一 点 P ( x , y ) 在 矩 阵 M 对 应 的 变 换 下 的 像 是
P ? ( x ?, y ? )
? x? ?

,
?m 0? ? 1? ?x ? ? mx ? ? ? ? ? ? ? y ? ?nx ? y ? ? x ? ? m x, ? y ? ? n x ? y,
2 2

由? ? ? ? ? y ?? ? n

,得 ?

因 为 P ? ( x ?, y ? ) 在 圆 x 2 ? y 2 ? 1 上 , 所 以 ? m x ? ? ? n x ? y ? ? 1 , 化 简 可 得
(m
2

? n )x
2

2

? 2 n xy ? y

2

?1.

………………………………………………3 分 依 题 意 可 得 m 2 ? n 2 ? 2,2 n ? 2 , m ? 1, n ? 1 或 m ? ? 1, n ? 1 而 由 m ? 0 可 得
m ? 1, n ? 1 .………6

分 故

?1 M ? ? ?1

0? ? 1?

,M

?1

? 1 ? ? ??1

0? ? 1?

.……………………………………………………………… …………10 分

C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 【解】 (1)圆 C 1 的极坐标方程为 ? = 2 , 圆 C 2 的极坐标方程为 ? ? 4 co s ? , 由 ?
? ? ? 2, ? ? ? 4cos?

得 ? = 2, ?

? ?

π 3

, 故 圆 C 1, C 2

交 点 坐 标 为 圆

? 2, π ? ,? 2,? π ? .…………………5 分 3 3
(2)由(1)得,圆 C 1, C 2 交点直角坐标为 (1,
第 11 页 共 13 页
3 ),(1, ? 3)



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? x ? 1, ? ? ? y ? t (? ?

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公 共 弦 的 参 数 方 程 为



C 1与 C 2



………………………………………10 分
3 ≤ t≤ 3 ).

注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数 范围,扣 2 分. D.选修 4-5:不等式选讲 设正数 a,b,c 满足 a ? b ? c
? 1 ,求

1 1 1 ? ? 3 a ? 2 3b ? 2 3 c ? 2

的最小值. .

【解】因为 a,b,c 均为正数,且 a ? b ? c 于是

? 1 ,所以 (3 a ? 2 ) ? (3 b ? 2 ) ? (3 c ? 2 ) ? 9

? 3 a 1? 2 ? 3b 1? 2 ? 3 c 1? 2 ? ? (3 a ? 2 ) ? (3b ? 2 ) ? (3 c ? 2 ) ?
≥3 3 ( 3 ? a 1 2 )b( ? 3 c?( 3 2 ) ? 33 (a3? 2 ) 2 b) ? 3 (
1 3

c2 ) ( 3 ? ?

2 ,

)

9









a ? b ? c ?











立. …………………………………………………………………8 分 即
1 1 1 ? ? ≥1 3 a ? 2 3b ? 2 3 c ? 2

, 故

1 3a ?

1 ? ? 2 b?3

1 c? 2

的 最 小 值 为
3 2

1.……………………………10 分

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【解】 (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,
0 0 2 0 2 2 4 2 则 C ? 2, , ? , B ? 0, , ? , A1 ? 0, , ? , B1 ? 0, , ? ,

???? A A1 ? ? 0, , ? 2 2

? 0 , B C ? B1 C 1 ? ? 2, 2, ? .

????

?????

???? ???? ???? ???? AA ? BC c o s ? A A1, B C ? ? ????1 ???? ? A A1 ? B C
3

?4 8? 8

? ?

1 2



故 A A1 与棱 BC 所成的角是 π . (2)P 为棱 B1 C 1 中点,
???? ????? 设 B1 P ? ? B1 C 1 ? ? 2 ? ,? 2 ? , 0 ?

………………………4 分

C1 P

A1 B1

z

,则 P ? 2 ? ,4 ? 2 ? ,2 ? .
??? ?

设平面 P A B 的法向量为 n1 ? ? x , y , z ? , A P = ? 2 ? ,4 ? 2 ? ,2 ? ,

x C B A

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??? ? ? n 1 ? A P ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? z ? ? ? x, ? ? ? ? ? 则? ??? ? ?2 y ? 0 ? y ? 0. ? n1 ? A B ? 0 ?

? 故 n1 ? ? 1,0, ? ? ……………………………………………8 分
n1 ? n 2 n1 ? n 2

而平面 A B A1 的法向量是 n2=(1,0,0),则 c o s ? n1 , n 2 ?
1 2

?

?

1 1? ?
2

?

2 5 5







? ?





P





B1 C 1

中 分













P ? 1,, ? . 3 2 ………………………………………………10

23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【解】 (1)由题 F ( x ) 于是 F ' ( x ) ? 令 F'(x)
? 0
1 1 a ? 2 b x ? f ?( x ) ? 1 1 1 1 1 ? 2 ( a x ? 1) ? a ? ? ? ax ? ,x ? 0 ,b ? 0 2 ab b bx b x

?

?



?

? ,若 a ? 0 ,则 F ' ( x ) ? 0 ,与 F ( x ) 有极小值矛盾,所以 a ? 0 .
? 0

,并考虑到 x

,知仅当 x

?

1 a

时, F ( x ) 取得极小值.





? 1 ? 1, ? a ? ? 1 (a ? ? , ?b


1 )


2

a ? b ? 1 .…………………………………………………………………………4

分 .
1 x
n

故 F (x) ?

x?

1 ( x ? 0) x

,由 F ? ( x ) ?

0

,得 x
n

? 1 ,所以 F ( x ) 的单调增区间为 (1,? ? )

(2)因为 x ? 0 ,所以记 g ( x ) ? ? F ( x ) ?
? Cnx
1 n ?1

? F ( x ) ? ? F ( x)? ? F ( x ) ? x ?
n n n

?

1 x

? ? ?x
n

n

?

?

?

2 n?2 3 n?3 n ?1 1 1 1 1 ? Cnx ? 2 ? Cnx ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? C n x ? n ?1 x x x x

因为 C rn x n ? r 所

?

n?r r 1 1 ? C n x ? n ? r ≥ 2 C n ( r ? 1, 2,L , n ? 1) x x


n?


n

2g x ≥
n n

(n ?
1
*

n

?

) ? ?????? ? 2 n n
2

?

3

( ?
n

C

,1

C



C

?F (x ?

? F )x



?

) ? n ?( N ? .………10 分

2

2

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