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郑州京翰教育2015-2016学年高三第一学期第一次模拟考试试卷文科数学


2015—2016 学年一模水平测试
????

6.执行如图所示的程序框图输出的结果是(



高三文科数学试题卷
注意:本试卷分试题卷和答题卡两部分,考试时间 90 分钟,满分 100 分,学生应先阅读答题卡 上的文字信息,然后在答题卡上用蓝色笔或者黑色笔作答,在试题卷上作答无效,交卷时交答 题卡。

??????



题号 分数







总分

???????



阅卷人

得分 第Ⅰ卷 (A.)55 (B).65 (C).78 (D).89



? 7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),x ? R (其中 A ? 0,? ? 0,
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题 目要求的。 1.设集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 2? , N ? ?x | x ? k ? 0? ,若 M ? N ,则 k 的取值范围是( (A) k ? 2 (B) k ? ?1 (C) k ? ?1 (D) k ? 2 ) (D)第一象限 ) (D).27 ,则 a、b、c 的大小关系是( (C). b ? a ? c (D). c ? b ? a 9.下列命题中,真命题是( 出的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为( (A)5 和 1.6
第 一 页 共 一 页

?
2

?? ?

?
2

),其部分像如下图所示,将

f ( x) 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,再向右平移 1 个单位得到 g ( x) 的图像,则函数 g ( x) 的
解析式为( )

??????



(A) g ( x) ? sin

?
2

( x ? 1)
x ? 1)

(B) g ( x) ? sin

?
8

( x ? 1)
x ? 1)




?????

2 ? i 2015 对应的点位于( 2.在复平面内,复数 Z ? 3?i
(A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限

(C) g ( x) ? sin(

?
2

(D) g ( x) ? sin(

?
8

8.如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆),则该几何体的表面积是( (A).20+3π (B).24+3π (C).20+4π (D).24+4π

3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a8=6+a11,则 S9 的值等于( (A).36 4.已知 a= (A). c ? a ? b (B).45 , b= , c= (C).54

????







( B). a ? b ? c

5.在“信阳市中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 )

???

) (D) 5 和 0.4

x 2 (A)对于任意 x∈R, 2 ? x ;

(B)85 和 1.6

(C) 85 和 0.4

(B)若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题;

b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是“α ?b ? 0 ”; (C)“平面向量α,
(D)存在 m∈R,使 f ( x) ? (m ?1) xm ???? 10.函数 y ?
2

16.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(1)=1,且对于任意的 x∈R,都有 f′(x)< ,则不等式 f(lgx) >

? 4 m ?3

是幂函数,且在 ? 0, ?? ? 上是递减的. )

sin 2 x 的图像大致为( 2x ? 2? x

lg x ? 1 的解集为 2





三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) (A) (B) (C) (D) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c=2,向量 m=(c, 3 b),n=(cosC,sinB), 且 m∥n. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin(A+B),sin2A,sin(B-A)成等差数列,求边 a 的大小. 18. (本小题满分 12 分) 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进行了问卷调 查,得到如下列联表(平均每天喝 500ml 以上为常喝,体重超过 50kg 为肥胖): 常喝 肥胖 不肥胖 合计 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为 (A) ?1, 2 ? (B) ?1,2 ? (C) ?2,3? (D) ?1,3? 不常喝 2 18 30 合计

??????

x2 y 2 11. 已知双曲线 ? 2 ? 1(b ? 0) ,过其右焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? 9 的两条切线,切点记作 C , D ,双曲线的右 9 b

顶点为 E , ?CED ? 1500 ,则其双曲线的离心率为( (A)
2 3 9


2 3 3
'



(B)

3 2

(C) 3

(D)

???????

12.已知函数 f(x)的定义域[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数 y= f ( x) 的图象如图所示.若 函数 y=f(x)-a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为( )



??????

4 . 15



?????



二、填空题(本大 题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2012?德阳二模)某学校为了解学生数学课程的学习情况,在 1000 名学生中随机抽取 200 名,并统计 这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图可估记名 学生在该次数学考试中成绩不低于 60 分的学生数是 .

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由; (Ⅲ)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2 名女生),抽取 2 人参加电视节目,则正好抽到一男一女的 概率是多少?参考数据:



?x ? 2 y ? 2 ? 0 ???? ? ???? ? 14.已知点 O 为坐标原点,点 M(2,﹣1),点 N(x,y)满足不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 OM ? ON 的最 ? x?4 ?
大值为 .
2

???

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD, 其中 AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面 PAD 是 边长为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 PBC; (Ⅱ)求三棱锥 A-PBC 的体积.

????

15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +2n+1,若数列{bn}满足 bn=

2 an ? an ?1

,则其前 n 项和 Tn=



第 二 页 共 二 页

20.(本小题满分 12 分) ???? 已知直线 l:y= 3 x-2 3 过椭圆 C:

x 2 y2 + = 1 (a>b>0)的右焦点,且椭圆的离 a 2 b2


??????

心率为

6 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 D(0,1)的直线与椭圆 C 交于点 A,B,求△AOB 的面积的最大值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=



???????

a 2 x -bx+lnx(a,b∈R). 2

(Ⅰ)若 a=b=1,求 f(x)点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)设 a<0,求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)设 a<0,且对任意的 x>0,f(x)≤f(2),试比较 ln(-a)与-2b 的大小. 请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ACED 是圆内接四边形,AD、CE 的延 长线交于点 B,且 AD=DE,AB=2AC. (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.


?????

??????



23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P(



? ). 4

1 ? ,1),倾斜角α = ,圆 C 的极坐标方程为 ? = 2 cos(θ - 2 6

????

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之积. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a+b=1,对 ?a ,b∈(0,+∞), ( Ⅰ)求



1 4 + ≥|2x-1|-|x+1|恒成立, a b

???

1 4 + 的最小值; a b

(Ⅱ)求 x 的取值范围。

第 三 页 共 三 页

????

答案 一.DACDB ABBDA DA

故抽出一男一女的概率是 p ?

8 .????12 分 15

(19)解: (I)证明: 如图, 取 AB 的中点 F, 连接 DF, EF. 在直角梯形 ABCD 中, CD∥AB, [来源:学科网 ZXXK]



二、13. 800 三、解答题

14. 10

2n 15. 6n ? 9

且 AB=4,CD=2, ∴BF∥CD 且 BF=CD. ∴四边形 BCDF 为平行四边形. 16.(0,10) ∴DF∥BC. ????????2 分 在△PAB 中,PE=EA,AF=FB,

??????

? ? (17)解析:(I)由 m??n ,

得 c sin B ? 3b cos C ? 0 ,???????1 分

∴EF∥PB.????3 分 又因为 DF∩EF=F,PB∩BC=B, ∴平面 DEF∥平面 PBC.?????4 分

由正弦定理可得 sin C sin B ? 3sin B cos C ? 0 ,???????3 分



? tan C ? 3 , ????????????4 分
? 0 ? C ? ? ,? C ?

因为 DE? 平面 DEF,所以 DE∥平面 PBC. ?????6 分 (II)取 AD 的中点 O,连接 PO.在△PAD 中,PA=PD=AD=2, ∴PO⊥AD,PO= 3.???????7 分 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PO⊥平面 ABCD.???????8 分 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,AD=2,AB⊥AD,??9 分 1 1 ∴S△ABC= ×AB×AD= ×4×2=4.????10 分 2 2 1 1 4 3 故三棱锥 A ? PBC 的体积 VA?PBC ? VP? ABC = ×S△ABC×PO= ×4× 3= .??12分 3 3 3 (20)(Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? 3x ? 2 3 ,∵ a ? b ,∴椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点 ∴椭圆的焦点为 (2, 0) ,∴ c ? 2 ,??????2 分 又∵ e ?

???????

?
3

.?????????6 分

(II) sin( A ? B),sin 2 A,sin( B ? A) 成等差数列,

? sin( A ? B) ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,?????????7 分
得 sin( A ? B ) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ,得 cos A(sin B ? 2sin A) ? 0 , ∴ cos A ? 0 或 sin B ? 2sin A ,得 A ? 90 或 b ? 2a .?????8 分
?

??????





①若 A ? 90 , C ?
?

?
3

,则 a ?

c 4 3 ? ;????10 分 sin C 3

?????

2 3 ②若 b ? 2a ,由 a ? b ? ab ? 4 得 a ? .?????12 分 3
2 2

(18)解析:(I)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人, 常喝 肥胖 不胖 合计 6 4 10 不常喝 2 18 20



x?2 4 ? , x ? 6 .?????1 分 30 15
合计 8 22 30 ???3 分[来源:学#科#网]

c 6 2 2 2 ? ∴ a ? 6 ,∴ b ? a ? c ? 2 ,????3 分 a 3 ,
x2 y2 ? ? 1???????4 分 6 2

????

∴椭 圆 方程为



???

30(6 ?18 ? 2 ? 4)2 2 ? 8.522 ? 7.879 ???6 分 (II)由已知数据可求得: K ? 10 ? 20 ? 8 ? 22
因此有 99.5? 的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.?????8 分 (III)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为 A、B、C、D,女生为 E、F,则任取两人有 AB,AC,AD,AE,AF, BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种.?????9 分 其中一男一女有 AE,AF,BE,BF,CE,CF, DE,DF.共 8 种.????10 分

(Ⅱ)直线 AB 的斜率显然存在,设其为 k ,直线 AB 方程为 y ? kx ? 1 ,??5 分

? y ? kx ? 1 ? 2 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 ,得 (3k ? 1) x ? 6kx ? 3 ? 0 , ?1 ? ? 2 ?6
显然 ? ? 0, x1 ? x2 ?

?6k ?3 , x1 ?x2 ? 2 ,?????8 分 2 3k ? 1 3k ? 1
第 四 页 共 四 页

S?AOB ? S?AOD ? S?BOD ?

1 1 OD x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 2

令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 4 x( x ? 0) ,则 g ?( x) ?

?

1 36k 2 12 6k 2 ? 1 ? ? 3 2 (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 (3k 2 ? 1)2

1 1 ? 4 .令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? , 4 x

当 x ? (0 , ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;

1 4

当 x ?( , ? ?) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.?????10 分

1 4

? 3

2(3k 2 ? 1) ? 1 2 1 ????10 分 ? 3 ? 2 2 2 2 (3k ? 1) 3k ? 1 (3k ? 1) 2
1 3k ? 1
2

因此对任意 x ? 0 , g ( x) ≤ g ( ) ? ln

1 4

1 ? 0 ,又 ? a ? 0 , 4

令t ?

, 则 t ? ? 0,1? , S ?AOB ? 3 ?t 2 ? 2t ? 3 ?(t ? 1) 2 ? 1 ,

故 g (?a) ? 0 ,即 ln(?a) ? 1 ? 4a ? 0 ,即 ln(?a) ? ?1 ? 4a ? ?2b , ∴ ln(?a) ? ?2b .????????12 分 (22)解(Ⅰ) 因为四边形 ACED 为圆的内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, ????1 分 又 ?DBE ? ?CBA 所以 ?BDE∽?BCA ,则

?t ? 1,即 k ? 0 时, S?AOB 的最大值为 3 .????12 分
(21)解析:(I) a ? b ? 1 时, f ( x) ? ∴ f (1) ? ? , k ? f ?(1) ? 1 ,

1 2 1 x ? x ? ln x , f ?( x) ? x ? 1 ? ,????1 分 2 x

1 2

????????2 分

故 f ( x) 点 (1, f (1)) 处的切线方程是 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 . ????3 分 (II)由 f ?x? ?

ax2 ? bx ? 1 a 2 .???4 分 x ? bx ? ln x ,x ? ?0 , ? ?? ,得 f ?( x) ? x 2
2

而 AB ? 2 AC ,所以 BE ? 2DE .???????????4 分 又 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD. ?????????5 分 (Ⅱ)由条件得 AB ? 2 AC ? 4 . ?????????6 分

BE DE . ????3 分 ? BA CA

设 AD ? t , 根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC , 即 (A B ? A D B )A ? 解得 t ?

? A D 2

?4 ,

所以 (4 ? t ) ? 4 ? 2t ? 4 ,

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,得 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 ,由 ? ? b ? 4a ? 0 ,

得 x1 ?

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ,x2 ? . 2a 2a

显然, x1 ? 0 ,x2 ? 0 ,

当 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,

4 4 ,即 AD ? . ??????10 分 3 3 ? 1 ? ? 1 3 x ? ? t cos x? ? t ? ? ? ? 2 6 2 2 (23)解:(I)直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ( t 为参数)?2 分 ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2

∴ f ( x) 的单调递增区间是 (0,

b ? b 2 ? 4a b ? b2 ? 4a ) ,单调递减区间是 ( , ??) .???8 分 2a 2a b ? b 2 ? 4a 是 f ( x ) 的唯一的极大值点, 2a

2 cos(? ? ) 得 ? ? cos? ? sin ? ,所以 ? 2 ? ? cos? ? ? sin ? .??4 分 4 1 2 1 2 1 2 2 得 x ? y ? x ? y ,即 ( x ? ) ? ( y ? ) ? . ????5 分 2 2 2
由? ?

?

(III)由题意知函数 f ( x ) 在 x ? 2 处取得最大值.由(II)知,

b ? b 2 ? 4a 故 ? 2 ,整理得 ?2b ? ?1 ? 4a .?????9 分 2a
于是 ln(?a) ? (?2b) ? ln(?a) ? (?1 ? 4a) ? ln(?a) ? 1 ? 4a [来源:学_科_网]

? 1 3 x? ? t ? 1 2 1 2 1 1 1 ? 2 2 2 (II)把 ? 代入 ( x ? ) ? ( y ? ) ? ,得 t ? t ? ? 0 , ???8 分 2 2 2 2 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
PA ? PB ? t1 ? t2 ? 1 . 4
??????10 分

(24)解:∵ a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ? 1

第 五 页 共 五 页



1 4 1 4 b 4a b 4a ? ? ( a ? b)( ? ) ? 5 ? ? ? 5? 2 ? ?9, a b a b a b a b 1 2 当且仅当 b ? 2a 时等号成立,又 a ? b ? 1 ,即 a ? , b ? 时,等号成立, 3 3 1 4 故 ? 的最小值为 9 ,?????5 分 a b 1 4 因为对 a, b ? (0, ??) ,使 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立, a b
所以 2x ?1 ? x ?1 ? 9 , ????? 7 分 当 x ? ?1 时, 当 ?1 ? x ?

2? x ?9,

∴ ?7 ? x ? ?1 ,????8 分

1 1 时, ?3 x ? 9 , ∴ ?1 ? x ? , ?????9 分 2 2 1 1 x ? 2 ? 9 , ∴ ? x ? 11 ,∴ ?7 ? x ? 11 ?? 10 分 当 x ? 时, 2 2

第 六 页 共 六 页


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