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正弦函数的图像和性质(第一课时)141.1


正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tgα的几何意义 的几何意义. 、 、 的几何意义 想一想? 想一想

y
1
P
T

正弦线MP 正弦线 余弦线OM 余弦线OM

o

M

1

A

x

正切线AT 正切线

三角问题 三角问题

几何问题 几何问题

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的? 用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的? (1) 列表

y = sin x , x ∈ [0 , 2π ]
π
6
1 2

x
y

0

π
3
3 2

π
2

2π 3
3 2

5π 6
1 2

π
0

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6



0

1

?1 2

? 23

?1 ? 23

?1 2

0

(2) 描点

y 10

π

2

π

-

-

-

-

3π 2



x

(3) 连线

?1 -

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 1.函数 y = sin x, x ∈ [0,2π ] 图象的几何作法 函数 作三角函数图象 . . . . 描点法: 查三角函数表得三角函数值 描点 ( x的正弦线,巧妙地 查三角函数表得三角函数值,描点 连线. 连线 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角x的正弦线, 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角 , sin x ),连线
如: x 到直角坐标系内,从而确定对应的点 (x,sinx). = 3 查表 y = sin 移动到直角坐标系内 移动到直角坐标系内, 3 = 0.8660
π

π

y
1

描点 ( π , 0 . 8660 ) 3 π
2

y

P
π
3

0

π

?1 -

-

-

-

3π 2



x

O M 1x

几何法: 作三角函数线得三角函数值, 几何法: 作三角函数线得三角函数值,描点 ( x, sin x ),连线 连线 π π 如: x = 3 作 3 的正弦线 MP 平移定点 ( x , MP ) ,

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 y = sin x, x ∈ 0, 2π 图象的几何作法
y

[

]

作法: 作法 (1) 等分 (2) 作正弦线
p 1/
-

1P
π
6

1

(3) 平移 (4) 连线
π
3
π
2

-

-

-

o1

M -1 1

A

o
-1 -

π
6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6



x

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦曲线
y
1-

? 6π
-

? 4π
-

? 2π
-

o-1


-


-

-


-

x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 的图象在……, 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在 的图象在 , 与 ∈ 的图象相同 [? 4π ,?2π ] , [? 2π ,0 ], [0 , 2 π ], [2 π , 4 π ], …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线(平移得到) 余弦曲线(平移得到) 余弦曲线(几何作法) 余弦曲线(几何作法)

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-

(五点作图法 五点作图法) 五点作图法

图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
5π 3 11 π 6

π

-

-1

o
-1 -

π
6

π
3

π
2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2



图象的最低点 (32 ,?1 图象的最低点 π )

简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
-

图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x

1-

( 0 ,1 ) (2π ,1)

-1

o
-1 -

π
6

π
3

π
2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6

π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,?1) 图象的最低点

-

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1.画出下列函数的简图 .
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π] ) (2)y=-cosx , x∈[0,2π] ) - 解: 2) )列表 ( (1) )
xx
sin cos xx ?sin x x 1 cos +
0 0
π π 2 2

描点作图
ππ 0 -1 11
3π 3π 2 2

2π 2π

yy
2-

10 1 -1

01 02

? 01 00

1 0 1 -1

1- 1
? ?1 - 1

y = 1 + sin x, x ∈ [0,2π ] y = cos x, x ∈ [0,2π ]
π
2

oo

π
2

ππ

3π 3π 2

y = sin x, x ∈ [0,2π ]

2

2π π 2

xx

y = ?cosx, x∈[0,2π]

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习:( ) 练习:(1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图 :( , ∈ 的简图 (2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图 2 作函数 , ∈ 的简图
(1) y

x

正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1
-

? 6π
-

? 4π
-

? 2π
-

o

-

-1


-


-


-

由于 y = cos x = cos(? x) = sin[ 所以余弦函数

π

y = cos x, x ∈ R与函数 y = sin(x + ), x ∈ R 2
π
2

? (? x)] = sin(x + ) 2 2

π

π

是同一个函数; 是同一个函数;余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 各单位长度而得到. 各单位长度而得到.

请单击: 返回

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P1

p 1/

y

余弦函数 y = cos x, x ∈ [0,2π ] 的图象
y
1-

-

o1

-

-

-

o1

M1

-1A

o
-1 -

π
6

π
3

π
2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6



x

-1

-

-

o
-1 -

π
6

π

π
2

3

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

π 11 6



x

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P1

p 1/

y

(1) 作法: 作法: 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 竖立、 (4) 连线
π
3
π
2

-

-

-

o1

M1

-1A

o
-1 -

π
6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6



x

y

y
Q1

1-

Q2

-

-

-

o1

M2 M-1 1

o
-1 -

π
6

π

π
2

3

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

π 11 6



x

x

l

正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1
-

? 6π
-

? 4π
-

? 2π
-

-1 -

o


-


-


-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 的图象在……, 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在 的图象在 , [?4π,?2π] ,[? 2π,0], [0,2π ], [2π ,4π ], …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同 与 ∈ 的图象相同

-

x

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正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质

五点法”画出下列函数的简图: 例1 用“五点法”画出下列函数的简图: y=1+sinx,x∈[0 π]; (1)y=1+sinx,x∈[0,2π]; y=-cosx,x∈[0 (2)y=-cosx,x∈[0,2π] .

x sinx 1+sinx
y 2 1

0 0 1

p 2

3p p 2 2p

1 2

0 1

-1 0

0 1

y=1+sinx y=1
3p 2

π O -1

2π x

p 2

x cosx -cosx
y

0 1 -1

p 2

3p p 2 2p

0 0

-1 1

0 0

1 -1

y=y=-cosx
1 O -1
3p 2

2π x

p 2

π

x∈[0 π]时 例2 当x∈[0,2π]时,求不等式
1 的解集. 的解集. cos x ? y 2
1

O -1

π 2

π

3π 2

1 y= 2
2π x

p 5p [0 , ] U[ , 2p ] 3 3

课堂小结 余弦函数的图象每相隔2 个单位重复出现, 1. 正 、 余弦函数的图象每相隔 2π 个单位重复出现 , 因此,只要记住它们在[ π]内的图象形态 内的图象形态, 因此,只要记住它们在[0,2π]内的图象形态,就可 以画出正弦曲线和余弦曲线. 以画出正弦曲线和余弦曲线. 2. 作与正 、 余弦函数有关的函数图象 , 是解题的基 作与正、 余弦函数有关的函数图象, 本要求, 五点法”作图是常用的方法. 本要求,用“五点法”作图是常用的方法. 3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的 基础,也是解决有关三角函数问题的工具, 基础,也是解决有关三角函数问题的工具,这是一种 数形结合的数学思想. 数形结合的数学思想.


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