正弦函数的图像和性质(第一课时)141.1
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tgα的几何意义 的几何意义. 、 、 的几何意义 想一想? 想一想
y
1
P
T
正弦线MP 正弦线 余弦线OM 余弦线OM
o
M
1
A
x
正切线AT 正切线
三角问题 三角问题
几何问题 几何问题
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ 用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
y = sin x , x ∈ [0 , 2π ]
π
6
1 2
x
y
0
π
3
3 2
π
2
2π 3
3 2
5π 6
1 2
π
0
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
0
1
?1 2
? 23
?1 ? 23
?1 2
0
(2) 描点
y 10
π
2
π
-
-
-
-
3π 2
2π
x
(3) 连线
?1 -
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 1.函数 y = sin x, x ∈ [0,2π ] 图象的几何作法 函数 作三角函数图象 . . . . 描点法: 查三角函数表得三角函数值 描点 ( x的正弦线，巧妙地 查三角函数表得三角函数值,描点 连线. 连线 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角x的正弦线， 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角 , sin x ),连线
如: x 到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx). = 3 查表 y = sin 移动到直角坐标系内 移动到直角坐标系内， 3 = 0.8660
π
π
y
1
描点 ( π , 0 . 8660 ) 3 π
2
y
P
π
3
0
π
?1 -
-
-
-
3π 2
2π
x
O M 1x
几何法： 作三角函数线得三角函数值， 几何法： 作三角函数线得三角函数值，描点 ( x, sin x ),连线 连线 π π 如: x = 3 作 3 的正弦线 MP 平移定点 ( x , MP ) ,
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 y = sin x, x ∈ 0, 2π 图象的几何作法
y
[
]
作法: 作法 (1) 等分 (2) 作正弦线
p 1/
-
1P
π
6
1
(3) 平移 (4) 连线
π
3
π
2
-
-
-
o1
M -1 1
A
o
-1 -
π
6
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
x
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦曲线
y
1-
? 6π
-
? 4π
-
? 2π
-
o-1
2π
-
4π
-
-
6π
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以 的图象在……， 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在 的图象在 ， 与 ∈ 的图象相同 [? 4π ,?2π ] , [? 2π ,0 ], [0 , 2 π ], [2 π , 4 π ], …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法） 余弦曲线（几何作法）
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-
(五点作图法 五点作图法) 五点作图法
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
5π 3 11 π 6
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
2π
图象的最低点 (32 ,?1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
-
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,?1) 图象的最低点
-
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1．画出下列函数的简图 ．
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π] ） （2）y=－cosx , x∈[0,2π] ） － 解: 2） ）列表 （ （1） ）
xx
sin cos xx ?sin x x 1 cos +
0 0
π π 2 2
描点作图
ππ 0 -1 11
3π 3π 2 2
2π 2π
yy
2-
10 1 -1
01 02
? 01 00
1 0 1 -1
1- 1
? ?1 - 1
y = 1 + sin x, x ∈ [0,2π ] y = cos x, x ∈ [0,2π ]
π
2
oo
π
2
ππ
3π 3π 2
y = sin x, x ∈ [0,2π ]
2
2π π 2
xx
y = ?cosx, x∈[0,2π]
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习：（ ） 练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 ：（ ， ∈ 的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图 ２ 作函数 ， ∈ 的简图
（1） y
x
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1
-
? 6π
-
? 4π
-
? 2π
-
o
-
-1
2π
-
4π
-
6π
-
由于 y = cos x = cos(? x) = sin[ 所以余弦函数
π
y = cos x, x ∈ R与函数 y = sin(x + ), x ∈ R 2
π
2
? (? x)] = sin(x + ) 2 2
π
π
是同一个函数； 是同一个函数；余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 各单位长度而得到． 各单位长度而得到．
请单击： 返回
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P1
p 1/
y
余弦函数 y = cos x, x ∈ [0,2π ] 的图象
y
1-
-
o1
-
-
-
o1
M1
-1A
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
x
-1
-
-
o
-1 -
π
6
π
π
2
3
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
π 11 6
2π
x
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P1
p 1/
y
(1) 作法： 作法： 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 竖立、 (4) 连线
π
3
π
2
-
-
-
o1
M1
-1A
o
-1 -
π
6
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
x
y
y
Q1
1-
Q2
-
-
-
o1
M2 M-1 1
o
-1 -
π
6
π
π
2
3
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
π 11 6
2π
x
x
l
正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1
-
? 6π
-
? 4π
-
? 2π
-
-1 -
o
2π
-
4π
-
6π
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以 的图象在……， 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在 的图象在 ， [?4π,?2π] ,[? 2π,0], [0,2π ], [2π ,4π ], …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同 与 ∈ 的图象相同
-
x
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正弦函数. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
五点法”画出下列函数的简图： 例1 用“五点法”画出下列函数的简图： y=1+sinx，x∈[0 π]； (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； y=-cosx，x∈[0 (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
x sinx 1+sinx
y 2 1
0 0 1
p 2
3p p 2 2p
1 2
0 1
-1 0
0 1
y=1+sinx y=1
3p 2
π O -1
2π x
p 2
x cosx -cosx
y
0 1 -1
p 2
3p p 2 2p
0 0
-1 1
0 0
1 -1
y=y=-cosx
1 O -1
3p 2
2π x
p 2
π
x∈[0 π]时 例2 当x∈[0，2π]时，求不等式
1 的解集. 的解集. cos x ? y 2
1
O -1
π 2
π
3π 2
1 y= 2
2π x
p 5p [0 , ] U[ , 2p ] 3 3
课堂小结 余弦函数的图象每相隔2 个单位重复出现， 1. 正 、 余弦函数的图象每相隔 2π 个单位重复出现 ， 因此，只要记住它们在[ π]内的图象形态 内的图象形态， 因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可 以画出正弦曲线和余弦曲线. 以画出正弦曲线和余弦曲线. 2. 作与正 、 余弦函数有关的函数图象 ， 是解题的基 作与正、 余弦函数有关的函数图象， 本要求， 五点法”作图是常用的方法. 本要求，用“五点法”作图是常用的方法. 3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的 基础，也是解决有关三角函数问题的工具， 基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种 数形结合的数学思想. 数形结合的数学思想.
