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高一数学期中考试答卷


高一第一学期数学期中考试试卷及答案 (考试时间:90 分钟,满分:100 分) 一、填空题: (每小题 3 分,共 36 分) 1、设全集 U = Z,A={1,3,5,7,9},B={1,2,3,4,5,6}, 则右图中阴影部分表示的集合是

学号:__________________

{2,4,6} (3)
? ?

>=

2、 已知 M ? ( x, y ) x ? y ? 2 ,N= (x, y ) x ? y ? 4 , 则 线

?

?

{(3 , - 1)}(2.5)

3、命题“已知 x, y ? R ,如果 x + y = 2 ,那么 x = 0 且 y = 2 。”的否命题是_____命题。 (填“真” 或“假”)真(2.5) 4、已知集合 A ? ? x ? N |

? ?

8 ? ? N ? ,则用列举法表示集合 A =______________ 6? x ?

{2 , 4, 5} (2)
个 4

姓名:__________________

5、设 A ? {1 , 2 , 3 , 4} , B ? {1 , 2} ,则满足 B ∪

C =C,

的集合 C 有

(2.5) 6、设 ? : 0 ? x ? 4 , ? : ?1 ? x ? a , ? 是 ? 的充分条件,则实数 a 的取值范围 是

a ? 4 (2.5)
x ,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的定义域是________(用区 | x | ?x



7、函数 g ( x) ? ( x ? 1)0 , f ( x) ?

间表示)

(2)

8、若集合 A = x a - 1 x + 3x - 2 = 0 有且仅有两个子集,则 a =
2

{ (

)

}

1 1, - (2.5) 8

班级:__________________

ì x -1 , x ?0 ? 9、已知 f x = í ,则 f 1 = f ( x 2), x > 0 ? ?

()

()

-2 ( 2)



2 2 10、对于使 ? x ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x 的上确界,

若 a, b ? R , 且a ? b ? 1 ,则 ?

?

9 1 2 ? 的上确界为________________ - (1) 2a b 2

11、在 R 上定义运算 ? : x ? y =

x ,若关于 x 的不等式 ( x - a) ? ( x + 1 - a) > 0的解集为 2- y

{x | -2 ? x ? 2, x ? R}的子集,则实数 a 的取值范围是____________ é ? -2,1ù ? (1)
12、定义:关于 x 的不等式 | x - A |< B 的解集叫 A 的 B 邻域。若 a + b - 2的 a + b 邻域

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为区间 ( -2 , 2) ,则 a 2 + b2 的最小值是__________

2

(0.5)

二、选择题: (每小题 3 分,共 12 分)
2 3 13、 “ x ? 3x ? 2 ? 0 ”是“ x ? ”的

2

2.5 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件



A



A、充分不必要条件 C、充要条件 14、 设M

= {x | -2 ? x ? 2}, N = { y | 0 ? y ? 2},函数 f ( x ) 的定义域为 M ,值域为 N ,则 f ( x ) 的
2.5 ( B )

图像可以是

y
2

y
2

y
2

y
2

x
?2

x
2

x
2

x
2

O

x

?2

O

x

?2

O

x

?2

O

2

x

x
A 15、若 B

x
C

x
D 1.5 ( D )

x

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
B、 ab ? b
2

2 2 A、 a ? b

C、

b a ? ?2 a b

D、 | a | ? | b |?| a ? b |

R 16、设实数集 为全集,集合 P = x | f ( x ) = 0 , Q = x | g ( x ) = 0 , H = x | h( x ) = 0 ,
则方程

{

}

{

}

{

}

f 2 ( x) + g 2 ( x) = 0 的解集是 h( x )
B、 C、 D、

1.5 ( A )

A、

三、简答题(8+10+10+12+12=52 分)

?x?3 ?2 ? ? x ?1 17、 (本题满分 8 分)解不等式组 ? ? 1 ?1 ? ? |x| 3

解:

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评分标准自定 (5)

18、 (本题 8 分) 设集合 A ? ? 3, a ? 1, a 2 ,B ? 2a ? 1, a ? 3, a 2 ? 1 , 若 A ? B ? ?? 3?, 试求 a 与 A ? B 。 (6) 解:由
2 可得, ?3 ? B , ?2a ?1 ? ?3 或 a ? 3 ? ?3 或 a ? 1 ? ?3 (舍)

?

?

?

?

………3 分 当 2a ?1 ? ?3 时, a ? ?1 ,此时 A ? {?3 , 0 , 1} , B ? {?3 , ? 4 , 2} 符合题意,

A ? B ? {?3 , 0 , 1 , ? 4 , 2} …………………………………………………………… 5 分
当 a ? 3 ? ?3 时, a ? 0 ,此时 A ? {?3 , 1 , 0} , B ? {?1 , ? 3 , 1} , 合题意,应舍去。……………………7 分(说明: a ? 0 ,没有被舍去,扣 1 分) 所以 a ? ?1 , A ? B ? {?3 , 0 , 1 , ? 4 , 2} 。…………………………………………8 分 19、 (本题 12 分)已知 a 为非负实数,解关于 x 的不等式 ax 2 - ( a + 1) x + 1 < 0 (9) 解: (1)a=0 时,原不等式即为-x+1<0,∴原不等式解集为(1,+∞) ;?3 分 (2)a≠0 时,不等式对应方程的两根为 1 和 不符

1 。 a

当 0<a<1 时,

1 1 >1,原不等式解集为(1, );??6 分 a a

当 a=1 时,

1 =1, ,原不等式解集为 Ф ;??9 分 a
1

1 当 a>1 时, <1 原不等式解集为( a ,1) ??12 分 a
20、 (12)已知 (1)求

f ( x ) 是二次函数,对任意 x ? R都满足 f ( x + 1) - f ( x ) = -2 x + 1,且 f (0) = 1。

f ( x ) 的解析式;
(8) f ( x ) 的图像恒在 y = - x + m 的图像下方,求实数 m 的取值范围;

(2)如果函数 y = 解: (1)设

f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ? 0) ,?????????????????..1 分
,??????????????????????.3 分



f ( x + 1) - f ( x ) = 2ax + a + b = -2 x + 1, \ a = -1, b = 2 ,?????.3 分
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f ( x ) = - x 2 + 2 x + 1 ??????????????????????.1 分

(2)由题意 - x 2 + 2 x + 1< - x + m在 x ? R 上恒成立,即 m > - x 2 + 3x + 1 在 x ? R 上恒成立。 令 g ( x ) = - x 2 + 3x + 1 易知 g ( x )max = g ( ) = 说明:此题若直接用 ? 做同样得满分。 21、 (本题 12 分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:(6) 已知 a1 , a2

3 2

13 13 ,所以 m > 。???4 分 4 4

1 2 ? 。 ? R, a1 + a2 = 1,求证: a12 + a2 2

证明:构造函数 f x = x - a1

f ( x ) = 2x2

( ) ( ) + ( x - a ) ,即 - 2( a + a ) x + a + a
2 2 2
1 2 2 1 2 2

因为对一切 x ? R ,恒有 从而证得 a1 + a2 ?
2 2

2 ) ? 0, f ( x ) ? 0 成立,所以 D = 4 - 8( a12 + a2

1 。 2

(1)若 a1 , a2 , ??, an

? R , a1 + a2 + ??+ an =1,请写出上述结论的推广形式;

(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明。 解: (1)若 a1 , a2 ,?, an
2

? R , a1 + a2 + ? + an = 1
2 2

求证: a1 + a2 + ? + an ?

1 。 n

??4 分
2

(2)证明:构造函数 f x = x - a1

() (

) + (x - a )
2 2
2

+ ? + ( x - an ) ?????2 分
2
2

即 f x = nx - 2 a1 + a2 + ? + an x + a1 + a2 + ? + an
2 2

()

(

) (

)
2 2

因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0 成立,所以 D = 4 - 4n a1 + a2 + ? + an
2

(

)?0

从而证得 a1 + a2 + ? + an ?
2 2 2

1 n

……6 分

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