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3.1.3.空间向量的数量积


黄冈中学广州学校教学案
年级 课题 教学 目标 重点 教学重、难点:空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化 难点 思维 导图 教、学材料 教学过程 学生探究过程: (一)复习:空间向量基本定理及其推论; (二)新课讲解: 1.空间 向量的夹角及其表示: 教、学批注 高二 学科 数学 使用者 日期

3.1.3.空间向量的数量积

教学目标:1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决 立体几何中的一些简单问题。

已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作 OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB 叫做 向 量 a 与 b 的 夹 角 , 记 作 ? a, b ? ; 且 规 定 0 ?? a, b ?? ? , 显 然 有

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??? ?

? ? ???

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? ? ? ? ? a, b ??? b , a ? ; ? ? ? ? ? ? ? 若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b ; 2
??? ? ?
??? ?
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2.向量的模:

设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | ; 3.向量的数量积:

?

已 知 向 量 a, b , 则 | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 叫 做 a, b 的 数 量 积 , 记 作 a ? b , 即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? .

? ?

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已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方 向的单位向量, 作点 A 在 l 上的射影 A? , 作点 B

??? ?

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??? ? ???? ? ? 或 在 e 上 的 正 射 影 ; 可 以 证 明 A?B? 的 长 度 ???? ? ??? ? ? ? ? ? | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | .
4.空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? .

在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上

???? ?

? e

B A? A
C

教、学感 悟:

B?

? ? ? ? ? ? ? (3) | a |2 ? a ? a .

(2) a ? b ? a ? b ? 0 .
[来源:学|科|网]

5.空间 向量数量积运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2) a ? b ? b ? a (交换律) . ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) .
(1) (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . (三)例题分析: 例 1.用向量方法证明:直线和平面垂直的判定定理。 已知: 直线 l 与平面 ? 的交点为 B , 且 l ? m, l ? n m, n 是平面 ? 内的两条相交直线, 求证: l ? ? . 证明:在 ? 内作不与 m, n 重合的任一直线 g , 在 l , m, n, g 上取非零向量 l , m, n, g ,∵ m, n 相交,

? ? ? ?

? ? ∴向量 m, n 不平行,由共面定理可知,存在 ? ? ? 唯一有序实数对 ( x, y ) ,使 g ? xm ? yn , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ l ? g ? xl ? m ? yl ? n ,又∵ l ? m ? 0, l ? n ? 0 , ? ? ? ? ∴ l ? g ? 0 ,∴ l ? g ,∴ l ? g , 所以,直线 l 垂直于平面内的任意一条直线,即得 l ? ? .
证明: (法一) AD ? BC ? ( AB ? BD) ? ( AC ? AB)

l

g n

l

m n

m g

例 2.已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ? AB ? AC ? BD ? AC ? AB ? AB ? BD ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? AB ? ( AC ? AB ? BD) ? AB ? DC ? 0 . ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? (法二)选取一组基底,设 AB ? a, AC ? b, AD ? c , ? ? ? ? ? ? ? ∵ AB ? CD ,∴ a ? (c ? b) ? 0 ,即 a ? c ? b ? a , ? ? ? ? 同理: a ? b ? b ? c , , ? ? ? ? ∴ a?c ? b?c , ???? ??? ? ? ? ? ∴ c ? (b ? a) ? 0 ,∴ AD ? BC ? 0 ,即 AD ? BC .
说明:用向量解几何题的一般方法:把 线段或角度转化为向量表示,并用已知向量 表示未知向量,然后通过向量运算取计算或证明。 例 3 .如图,在空间四边形 OABC 中, OA ? 8 , AB ? 6 , AC ? 4 , BC ? 5 ,

?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。 ??? ? ??? ? ??? ? 解:∵ BC ? AC ? AB , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ OA ? BC ? OA ? AC ? OA ? AB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?| OA | ? | AC | ? cos ? OA, AC ? ? | OA | ? | AB | ? cos ? OA, AB ?

O

? 8 ? 4 ? cos135? ? 8 ? 6 ? cos120? ? 24 ?16 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? BC 24 ? 16 2 3 ? 2 2 ? ??? ? ? ∴ cos ? OA, BC ?? ??? , ? 8? 5 5 | OA | ? | BC |
所以, OA 与 BC 的夹角的余弦值为

A B

C

3? 2 2 . 5

说 明 : 由 图 形 知 向 量 的 夹 角 时 易 出 错 , 如 ? OA, AC ?? 135? 易 错 写 成

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ? OA, AC ?? 45? ,切记!
? ?

巩固练习 1、已知 a ? 2 , b ? 3 ,且 a 与 b 的夹角为 求当 m 为何值时 c ? d

?

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? ? ? ? ? ? ? ? , c ? 3a ? 2b , d ? ma ? b , 2
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2、已知 a ? 1 , b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 3a ? b ? 3、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角

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4、已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,求使 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角 时 ? 的取值范围

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5、已知向量 a ? b ,向量 c 与 a, b 的夹角 都是 60 ,且 | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 ,
?

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试求: (1) (a ? b)2 ; (2) (a ? 2b ? c)2 ; (3) (3a ? 2b) ? (b ? 3c)

? ?

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