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2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 高考中导数问题的六大热点拓展资料素材 北师大版选修1-1


高考中导数问题的六大热点
由于导数其应用的广泛性,为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷 地解决一些实际问题.因此在高考占有较为重要的地位,其考查重点是导数 判断或论证单调性、函数的极值和最值,利用导数解决实际问题等方面,下 面例析导数的六大热点问题,供参考. 一、运算问题 例 1 已 知 函 数 f ( x) ?

2x ? b , 求 导 函 数

f ?( x ) . ( x ? 1)2

分析:用商的导数及复合函数导数的运算律即可解决. 解 : f ?( x) ?

2( x ? 1)2 ? (2 x ? b) ? 2( x ? 1) ( x ? 1)4

?

?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)3 2[ x ? (b ? 1)] . ( x ? 1)3

??

评注:对于导数运算问题关键是记清运算法则.主要是导数的定义、常 见函数的导数、函数和差积商的导数法则等. 二、切线问题
ax , 1) 例 2 设曲线 y ?e 在点 (0 处 的 切 线 与 直 线 x ? 2 y ? 1? 0垂 直 , 则

a?

. 分 析 :由 垂 直 关 系 可 得 切 线 的 斜 率 为 -

1 , 又 k = f ?( x0 ) , 即 可 求 出 a 的 2

值. 解 : y' ? ae , ∴ 切 线 的 斜 率 k ? y'
ax

x?0

1 ? a , 由 垂 直 关 系 , 有 a ? (? ) ? ?1 , 2

解得 a ? 2. 评注:是指运用导数的几何意义或物理意义,解决瞬时速度,加速度, 光滑曲线切线的斜率等三类问题.特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程 问题,其中:

(1 ) 曲 线 y = f ( x ) 在 点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处 的 斜 率 k , 倾 斜 角 为 ? , 则 tan ? =

k = f ?( x0 ) .
(2) 其 切 线 l 的 方 程 为 : y = y 0 + f ?( x0 ) ( x - x 0 ) . 若 曲 线 y = f ( x ) 在 点 P ( x 0 ,

f ( x 0 )) 的 切 线 平 行 于 y 轴 ( 即 导 数 不 存 在 ) 时 , 由 切 线 定 义 知 , 切 线 方 程 为 x
= x0. 三、单调性问题 例 3 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . ( Ⅰ ) 讨 论 函 数 f ( x) 的 单 调 区 间 ; ( Ⅱ ) 设 函 数 f ( x) 在 区 间 ? ? , ? ?内 是 减 函 数 , 求 a 的 取 值 范 围 . 分 析 : 对 于 第 (1) 小 题 , 求 导 后 利 用 f '( x ) > 0 或 f '( x) < 0 , 解 不 等 式 即 得 单 调 区 间 ; 而 ( 2) 转 化 为 f ' (x )< 0 在 ? ? , ? ?上 恒 成 立 即 可 . 解: ( 1 ) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 求 导 : f ?( x) ? 3x ? 2a x? . 1
3 2 2

? 2 ? 3

1? 3?

? 2 ? 3

1? 3?

当a

2

≤ 3 时 , ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上 递 增 .
2

当a

? 3 , f ?( x) ? 0 求 得 两 根 为 x ?
? ? ?

?a ? a 2 ? 3 , 3

即 f ( x ) 在 ? ??,

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , 递 增 , ? ? ?递减, ? ? ? 3 3 3 ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ?? 递 增 . ? ? ? 3 ? ?
( 2) 若 函 数 在 区 间 ? ? , ? ? 内 是 减 函 数 , 则 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 两 根 在 区
2

? 2 ? 3

1? 3?

2 ? f ' ( ? )≤ 0 ? ? ? 2 1? 3 间 ?? , , 解 得 a ≥ 2 , 故 取 值 范 围 是 [2 , + ∞ ). ? ?外 , 即 ? 1 ? 3 3? ? f ' (? )≤ 0 ? 3 ?

评 注 : 一 般 地 , 设 函 数 y = f ( x ) 在 某 个 区 间 内 可 导 . 如 果 f '( x ) > 0 , 则

f ( x ) 为 增 函 数 ; 如 果 f '( x ) < 0 , 则 f ( x ) 为 减 函 数 . 单 调 性 是 导 数 应 用 的 重
点内容,主要有四类问题: ①运用导数判断单调区间; ②证明单调性; ③已知单调性求参数; ④先证明其单调性,再运用单调证明不等式等问题. 四、极值问题 例 4 已 知 函 数 f ( x) ? 求 函 数 f(x)的 极 值 ; 分析:运用导数先确定函数的单调性,再求其极值. 解 : 由 已 知 得 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 { x | x > 1} , 当 n =2 时 , f ( x) ?

1 ? a l n (x? 1) , 中 n ∈ N*, a 为 常 数 . 当 n = 2 时 , 其 n (1? x )

1 ? a l n (x? 1) , 2 (1? x )

所 以 f (x )?

2 ? a (1 ? x 2) . 3 (1? x )

(1) 当 a > 0 时 , 由 f ' (x )= 0 , 得 x1 ? 1 ?

2 2 > 1 , x2 ? 1 ? < 1, a a

此时

f′ ( x) =

?a( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当 x ∈ ( 1 , x 1 ) 时 , f ′ ( x ) < 0, f ( x ) 单 调 递 减 ; 当 x ∈ ( x 1 +∞ ) 时 , f ′ ( x ) > 0, f ( x ) 单 调 递 增 . ( 2) 当 a≤ 0 时 , f′ ( x) < 0 恒 成 立 , 所 以 f(x)无 极 值 . 综 上 所 述 , n =2 时 , 当 a> 0 时 , f(x)在 x ? 1? 当 a≤ 0 时 , f(x)无 极 值 .

2 2 a 2 处取得极小值, 极 小 值 为 f (1 ? ) ? (1 ? ln ). a a 2 a

评 注 : 运 用 导 数 解 决 极 值 问 题 . 一 般 地 , 当 函 数 f(x)在 x0 处 连 续 , 判 别

f(x0)为 极 大 (小 )值 的 方 法 是 :
⑴ 若 f '( x0 ) = 0 ,且 在 x 0 附 近 的 左 侧 f ?( x ) > 0 ,右 侧 f ?( x ) < 0 ,那 么 f ( x 0 ) 是极大值, ⑵ 如 果 在 x 0 附 近 的 左 侧 f ?( x ) < 0 , 右 侧 f ?( x ) > 0 , 那 么 f ( x 0 ) 是 极 小 值 . 五、最值问题 例 5 求 函 数 f ( x ) = x - 2 x + 5 在 [ - 2 , 2] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 . 分析:可先求出导数及极值点,再计算. 解 : f ?( x ) = 4 x - 4 x ,令 f ?( x ) = 0 ,解 得 x 1 = - 1 ,x 2 = 0 ,x 3 = 1 ,均 在 ( -
3 4 2

2 , 2) 内 . 计 算 f ( - 1) = 4 , f (0) = 5 , f (1) = 4 , f ( - 2 ) = 13 , f (2) = 13 . 通 过 比 较 , 可 见 f ( x ) 在 [ - 2 , 2] 上 的 最 大 值 为 13 , 最 小 值 为 4 . 评 注 : 运 用 导 数 求 最 大 (小 )值 的 一 般 步 骤 如 下 : 若 f(x)在 [a, b]上 连 续 , 在 (a, b)内 可 导 , 则 ⑴ 求 f ?( x ) , 令 f ?( x ) = 0 , 求 出 在 ( a , b ) 内 使 导 数 为 0 的 点 及 导 数 不 存 在 的点. ⑵ 比较三类点:导数不存在的点,导数为 0 的点及区间端点的函数值, 其 中 最 大 者 便 是 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 的 最 大 值 ,最 小 者 便 是 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 的 最 小值.

六、应用问题 例 6 用 总 长 14.8m 的 钢 条 制 成 一 个 长 方 体 容 器 的 框 架 , 如 果 所 制 做 容 器 的 底 面 的 一 边 比 另 一 边 长 0.5m , 那么高为多少时容器的容积最大?并求出 它的最大容积. 分析:本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题 的能力,建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识. 解 : 设 容 器 底 面 短 边 长 为 x m , 则 另 一 边 长 为 ? x ? 0.5? m , 高 为

14.8 ? 4 x ? 4 ? x ? 0.5 ? ? 3.2 ? 2 x . 4
由 3.2 ? 2 x ? 0 和 x ? 0 , 得 0 ? x ? 1 . 6 , 设 容 器 的 容 积 为 ym3 , 则 有

y ? x ? x ? 0.5??3.2 ? 2x ?

?0 ? x ? 1 . 6 ?.

即 y ? ?2 x3 ? 2.2 x 2 ? 1.6 x ,

x ? 1 .? 6 , 0 令 y? ? 0 , 有 ?6 x ? 4 . 4
2 2 即 15 x ? 11x ? 4 ? 0 , 解 得 x1 ? 1 , x2 ? ?

4 (不合题意,舍去). 15

当 x = 1 时 , y 取 得 最 大 值 , 即 ym a x? ? , 2 ?2 . 2 ? 1 . 6? 1 .8

? 1? 1 . 这 时 , 高 为 3 . 2? 2 .2

m . 答 : 容 器 的 高 为 1.2 m 时 容 积 最 大 , 最 大 容 积 为 1 . 8

3


高考数学解题思路点拨

导数来研究,导数的几何意义为曲线在某点处切线的斜 率,其物理意义为瞬时变化率,导数作为工具还可用以证明不等式,与导数有关 的函数应用问题也是当前高考的热点。 ...

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