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1.1.4《投影与直观图》


1.1.4投影与直观图

一、平行投影 太阳光线可以把一个矩 形的窗框投射到地板上 形成影子,影子与窗框 相比什么变化?什么没 变?
框边的长度以及框边之间的夹角有所改 变,但框边的平行性,共线的两线段之 比没变

(1) 点的平行投影:已知 图形F,直线l与平面α相交, 过F上任一点M作直线l’平 行于l,交平面α于点M’,则 M’叫做点M在平面α内关于 直线l的平行投影. (2)图形的平行投影:如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线l的平行投影构成 图形F’,则F’叫做图形F在α内关于直线l 的平行投影,平面α叫做投射面,l叫做投 射线。

二. 平行投影的性质: 当图形中的直线或线段不平行于投射线时, 平行投影都具有以下性质:
1、直线或线段的平行投影仍是直线或线段;(同 素性) 2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线; (平行性) 3、点在线上,点的投影在线的投影上(结合性) 4、长度,夹角,形状改变

5.平行于投射面的线段,它的投影与这
条线段平行且等长; 6.与投射面平行的平面图形,它的投影

与这个图形全等;
7.在同一直线或平行直线上,两条线段

平行投影长度的比等于这两条线段长度
的比。

三. 斜二测画法:
知识探究(一):水平放置的平面图形的画法

把一个矩形水平放置,从适当的角度观 察,给人以平行四边形的感觉,如图.

把一个直角梯形水平放置得其直观图如 下

画一个水平放置的平面图形的直观图, 关键是确定直观图中各顶点的位置,我 们可以借助平面坐标系解决这个问题. 那 么在画水平放置的直角梯形的直观图时 应如何操作?
y D C D′ A y′ C′

B x

A′

B′

x′

斜二测画法画水平放置的平面图形的直 观图的的基本步骤 (1)建坐标系; (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3) 水平(x轴)线段等长,

竖直(y轴)线段减半.

例1、用斜二测画法画水平放置的正六边 形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x 轴,对称轴MN所在直线为y轴,两轴交于点 O.画对应的x’,y’轴,两轴相交于点O’,使 ∠x’O’y’=45°.
y
F A M E D
x

y'
O'

O

x

'

B

N C

? 2?以O?为中心,在X?上取A?D?=AD,在y?轴上取
1 M?N?= MN .以点N ?为中心,画B?C?平行于x?轴, 2 并且等于BC;再以M?为中心,画E?F?平行于x?轴, 并且等于EF.

y

F

M

E

y?

A
B

O

D
C

x

A?
B?

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

N

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y
F
M

E

y?

A
B

O

D
C

x

A?
B?

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

N

y
F
M

E
F?

A
B

O

D
C

x

A?
B?

E?

D?
C?

N

知识探究(二):空间几何体的直观图的画法

(1)在已知图形所在的 空间中取水平平面,作互 相垂直的轴Ox,Oy,再作 Oz轴,使∠xOz=90°,且 ∠yOz=90°.

(2)画直观图时,把Ox、Oy、Oz画成对 应的轴O’x’、O’y’、O’z’,使∠x’O’y’=45° (或135°),∠x’O’z’=90°,x’O’y’所确 定的平面表示水平平面;

(3)已知图形中,平行于x轴、y轴或z轴 的线段,在直观图中分别画成平行于x’轴、 y’轴或z’轴的线段. 并使它们和所画坐标轴 的位置关系,与已知图形中相应线段和原 坐标轴的位置关系相同;

(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段, 在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线 段,长度为原来长度的一半;

(5)画图完成后,擦去作为辅助线的坐 标轴,就得到了空间图形的直观图

例1、画高3cm正三棱锥直观图
S C A A B o
M

C

z

y B x

S

C A B

例2 作一个高为11cm的正五棱锥直观图。

y

y1 D1 · N1 · C1 o1 x1 · M1 B1

D
E N o A M B C E1 A1

x

z S S

y1
E1

D1 ·
o1
B1

C1

x1

E1 A1

D1 ·

o1
B1

C1

A1

四. 中心投影及性质:

定义:一个点光源把一个图形照射到一个平 面上,这个图形的影子叫做它在这个平面上 的中心投影 同素性;结合性不变;平行性改 变,夹角改变;长度改变

1.判断题:
1.矩形的平行投影一定是矩形(

X X

)

2.平行四边形的平行投影可能是正方形( 3.梯形的平行投影一定是梯形( )



)

4.正方形的平行投影一定是菱形(

X 5.两条相交直线的投影可能平行( X
6.直角的平行投影可能是锐角(

) )



)

7.若三角形的平行投影为三角形,那么它中位 线的投影为投影的中位线( )



8.两条平行直线的中心投影可能相交(



)

2. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一 那么原四边形的面积是( )

底角为45°,腰和上底的长均为1的等腰梯形

(A)2+ 2
1 (C) (2+ 2) 2

(B)1+ 2
1 (D) (1+ 2 ) 2

3. 一个四边形的直观图是边长为a的正方 形,则原图形的面积是

2 2a

2



4. 一个三角形的直观图是边长为a的等边 三角形形,则原图形的面积是 。

5.如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形,则 下列说法正确的是( B ) A.内心的平行投影还是内心 B.重心的平行投影还是重心 C.垂心的平行投影还是垂心 D.外心的平行投影还是外心

6.(北京高考)如图(1)所示为一平面图形的直观图,则此平面图 形可能是下图(2)中的( )

解析:按斜二测画法的规则,将图形还原成原图形可得. 答案:C


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