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椭圆的第二定义


椭圆第二定义

回顾椭圆的基本性质
一.椭圆中的基本元素
1. 基本量: a、b、c、e; 几何意义: a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距,e-离心率; 相互关系:

c ? a ?b
2 2

2

c e? a

2. 基本点:顶点、焦点、中心;

3. 基本线: 对称轴。

方 程

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y B2
图 形
F1 F2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b A2 Y
_

A1

0

A2

x

B1
_

F1 O F2

B2

X

B1
范 围 对 称 性

A1

? a ? x ? a,?b ? y ? b

? b ? x ? b,?a ? y ? a

关于x轴,y轴,原点对称
A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)

顶 A (-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0, b) 点 1 离 心 率

c e ? (0 ? e ? 1) a

问题情境
问题1 已知动点M到定点(3,0)的距离与到定直线
3 25 x ? 的距离之比等于 5 3

,求动点M的轨迹。

问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么?

问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想?

猜想证明
猜想

动点M(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到 c a 2 的距离的比是常数 定直线L : ? e? x a c (0<e<1) ,动点M的轨迹就是椭圆。

猜想证明
证:设d是点M到直线 是集合 P ? ?M | ?

l 的距离,依题意知,所求轨迹就
| MF | c ? ? ? 设M ( x, y ) d a?
2 2

?

由此得

将上式两边平方并化简得:
2 2 2

( x ? c) ? y a2 | ?x | c

c ? a

y M 0

F (c,0)

x

x y 设 设a ? c ? b 原方程可化为: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 这是椭圆的标准方程,所以M点的轨迹是长轴长为 2a 短轴长为 2b 的椭圆.

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? 2c 2 ) 2

a2 x? c

概念引入
问题2: (1)定义中有哪些已知条件? (2)定点、定比在椭圆中分别指什么? (3)定比的取值范围是什么? (4)椭圆有几条这样的定直线,它们与椭 圆有怎样位置关系?

概念分析
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 , 能不能说M到 F ?(-c0 )a 2 c 线的距离的比是一个常数 e ? (0 ? e ? 1) 时,这个点的 的距离与到直线 x ? a c 的距离比也是离 轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦 心率e呢? 点,定直线叫做椭圆的准线,,常数e是椭圆的离心率。 y x2 y2 对于椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) M a b 相应于焦点 F (c,0) 的准线
F ?(?c,0) 0
F (c,0)

a2 x 方程是 x ? c
由椭圆的对称性,相应于焦点

a x?? c

2

a2 x? c

a2 F ?(?c,0) 的准线方程是 x ? ? c

y
左 准 线

a x?? c

2

y
P

右 a x? 准 c 线

2

上 准 线 P

a2 y? c

F2

F1

O

F2

x
下 准 线

O F1

x
a2 y?? c

a2 左焦点(-c,0), 左准线 x ? ? c

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? a2 b

2

2

y2 x2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b a2 下焦点(0,-c), 下准线 y ? ? c a2 上焦点(0,c), 上准线 y ? c

右焦点(c,0),

a2 右准线 x ? c

M(x0,y0)是椭圆上任一点,e是椭圆的离心率

焦半径: |MF2|=a-ex0, |M F1|=a+ex0.

例题讲解
例1:求下列椭圆的焦点坐标和准线 2 y2 x (1) __ + __ =1 100 36

焦点坐标:(-8,0),(8,0). 准线方程:

25 __ x= ±

2

(2)

2x2+y2=8

焦点坐标:(0,-2),(0,2). 准线方程:y= ±4

例题讲解
例2 求中心在原点,一条准线方程是x=3, 离心率为 5 的椭圆标准方程。
3

x2 解:依题意设椭圆标准方程为 a 2

? b2 ? 1(a ? b ? 0)
5 3

y2

由已知有

c ? a ? 35 ? ? a2 ? c ?3 ?
2 2

解得a= 5 c=

?b ? a ? c ? 20 9
2

? 所求椭圆的标准方程为

x 5

2

?

y

2

20 9

?1

例题讲解
x2 y2 例3 椭圆方程为 ? ? 1,其上有一点P,它 100 64

到右焦点的距离为14,求P点到左准线的距离。
解:由椭圆的方程可知

由第一定义可知:

c 3 a ? 10, b ? 8,? c ? 6, e ? ? a 5

y

| PF1 |? 2a? | PF2 |? 20 ?14 ? 6
由第二定义知:

d1 P
F1

d2
0
F2

x

PF1 d1

? e ? d1 ?

PF1 e

? 10

例题讲解
x2 y2 例4 若椭圆 ? ? 1 内有一点P(1, -1), F为右焦 4 3 点,在该椭圆上求一点M,使得 MP ? 2 MF最
小,并且求最小值. y

1 e? 2

F
O P M

?2 6 ? M? ,?1 ? ? 3 ? ? ?

x

dmin ? 3

x?4

课堂练习
1. 设AB是过椭圆焦点F的弦,以AB为直径的圆与F所 对应的准线的位置关系是( A 相离 B 相切 A ) D 无法确定

C 相交

2. 方程 2 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? x ? y ? 2 所表示的椭圆

的离心率为( C )
A 3 2 B 2 C 2 2 D 3

课堂练习
3.椭圆 上一点P(3,y)到左右焦 点距离分别为13/2,7/2,求椭圆的方程。

4.已知椭圆

上的三点的横坐

标成等差数列,求证这三点到同一焦点的距离

也成等差数列。

标准方程

x2 y2 ? 2 ?((a ? b ? 0) 1 2 a b

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) b a








-a≤x≤a -b≤y≤b (a, 0) (0, b) (c, 0) (-a, 0) (0, -b) (-c, 0) -a≤y≤a -b≤x≤b (b, 0) (0, a) (0, c) (-b, 0) (0, -a) (0,-c)

顶点焦点

质 对称性
离心率 准 线

关于x,y轴成轴对称; 关于原点成中心对称。
c e ? a

∈(0,1)
y=±a2/c

x=±a2/c

课堂小结
1. 椭圆的第二定义 转化 到焦点的距离 到相应准线的距离 2. 焦半径公式
PF1 = a + ex1 PF2 = a - ex1


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