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【优化探究】2016高考数学一轮复习 7-3 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业 文


【优化探究】2016 高考数学一轮复习 7-3 空间点、直线、平面之间 的位置关系课时作业 文
一、选择题 1.如果直线 a?平面 α,直线 b?平面 α,点 M∈a,点 N∈b,且 M∈l,N∈l,则( ) A.l?α B.l?α C.l∩α=M D.l∩α=N 解析:因为 M∈a,N∈b,而直线 a?平面 α,直线 b?平面 α,所以 M∈α,N∈α,则 l?α, 故选 A. 答案:A 2.(2015 年长春联考)若空间三条直线 a,b,c 满足 a⊥b,b∥c,则直线 a 与 c( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.一定垂直 解析:因为 a⊥b,b∥c,则 a⊥c,故选 D. 答案:D 3.(2015 年甘肃检测)如图所示,ABCD A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论正确的是( )

A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O、A1 不共面 C.A,M,C,O 不共面 D.B,B1,O,M 共面 解析: 连接 A1C1, AC, 则 A1C1∥AC, 所以 A, C, C1, A1 四点共面, 所以 A1C?面 ACC1A1, 因为 M∈A1C,所以 M∈面 ACC1A1,又 M∈面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上,同理 O 在面 ACC1A1 与面 AB1D1 的交线上,所以 A、M、O 三点共线, 故选 A. 答案:A 4.如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,且 PQ∥AC,则下列命题中,错 误的是( )

A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°
1

解析:由题意可知 PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以 AC⊥BD,故 A 正确;由 PQ∥AC 可得 AC∥截面 PQMN,故 B 正确;由 PN∥BD 知,异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN 所成的角,又四边形 PQMN 为正方形,所以∠MPN=45° ,故 D 正确;而 AC=BD 没有条件说明其相等,故选 C. 答案:C 5.已知三棱锥 S ABC,SA⊥底面 ABC,∠ABC=90° ,AB=SA=4,BC=3,则直线 SB 与 AC 所成角的余弦值为( ) A. C. 17 5 2 2 2 2 B.- 5 5 41 D. 41

1 1 解析:如图所示:取 SA、SC、BC 的中点 E、F、G,则 EF 綊 AC,FG 綊 SB,则∠EFG 2 2 5 为 SB 与 AC 所成的角或其补角,EF= ,FG=2 2,EG= EA2+AG2= 2 = 89 . 2 3? 22+42+? ?2?2

cos∠EFG=

?5?2+? 2 2? 2-? 89?2 ?2? ? 2 ?
5 2· · 2 2 2

-8 2 2 = =- . 5 10 2

答案:B 二、填空题 6.(2015 年太原质检)在如图的正方体中,M,N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则异面直线 AC 和 MN 所成的角为________.

解析:连接 AD1,D1C,BC1.因为 M、N 分别为棱 BC 与 CC1 的中点,所以 C1B∥MN, 又 C1B∥AD1, 所以 AD1∥MN, 所以∠D1AC 为异面直线 AC 和 MN 所成的角或其补角. 又 D1AC 为等边三角形,所以∠D1AC=60° ,即异面直线 AC 和 MN 所成角为 60° . 答案:60° 7.一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体, 则水面在容器中的形状可以是:①三角形;②长方形;③正方形;④正六边形.其中正确的

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结论是________(把你认为正确的序号都填上). 解析:∵正方体容器中盛有一半容量的水,无论怎样转动,其水面总过正方体的中心,三角 形截面不过正方体的中心,故①不正确;过正方体的一对棱和中心可作一截面,截面形状为 长方形,故②正确;过正方体的四条互相平行的棱的中点得截面形状为正方形,该截面过正 方体的中心,故③正确;过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心,得截面形状为 正六边形,故④正确. 答案:②③④ 8.对于空间三条直线,有下列四个条件: ①三条直线两两相交且不共点; ②三条直线两两平行; ③三条直线共点; ④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交. 其中使三条直线共面的充分条件有________. 解析:易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②错;三棱锥 三侧棱交于一点,但不共面,故③错;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这 两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面. 答案:①④ 三、解答题 9.正方体 ABCD A1B1C1D1 中, (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E,F 分别为 AB,AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小 . 解析:(1)如图,连接 B1A、B1C,由 ABCD A1B1C1D1 是正方体,易知 A1D∥B1C,从而 B1C 与 AC 的夹角就是 AC 与 A1D 所成的角. ∵AB1=AC=B1C,∴∠B1CA=60° . 即 A1D 与 AC 所成角为 60° .

(2)如图,连接 A1C1、EF、BD,在正方形 ABCD 中,AC⊥BD,AC∥A1C1.

∵E、F 为 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD.∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1.即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° . 10.(2014 年上海调研)在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,∠ABC=90° ,AB=BC=1,BB1=2, 求:

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(1)异面直线 B1C1 与 A1C 所成角的正切值的大小; (2)四棱锥 A1 B1BCC1 的体积. 解析:(1)因为 B1C1∥BC,所以∠A1CB(或其补角)是异面直线 B1C1 与 A1C 所成的角. 因为 BC⊥AB,BC⊥BB1,所以 BC⊥平面 ABB1A1,所以 BC⊥A1B. A1B 在 Rt△A1BC 中,tan∠A1CB= = 5, BC 所以异面直线 B1C1 与 A1C 所成角的正切值的大小为 5. (2)因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥BB1, 所以 A1B1⊥平面 B1BCC1, 1 2 则 VA1 B1BCC1= SB1BCC1× A1B1= . 3 3 B 组 高考题型专练 1.(2014 年高考大纲全国卷)已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( ) 1 A. 6 1 C. 3 B. D. 3 6 3 3

解析:如图所示,取 AD 的中点 F,连接 EF,CF,则 EF∥BD,∴异面直线 CE 与 BD 所成 的角即为 CE 与 EF 所成的角∠CEF.

1 由题知,△ABC,△ADC 为正三角形,设 AB=2,则 CE=CF= 3,EF= BD=1. 2 ∴在△CEF 中,由余弦定理, 得 cos∠CEF= CE2+EF2-CF2 ? 3? 2 +12-? 3? 2 3 = = ,故选 B. 2CE· EF 6 2× 3× 1

答案:B 2.(2014 年高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2∥l3, l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4
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C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 解析:如图所示正方体 ABCD A1B1C1D1,取 l1 为 BB1,l2 为 BC,l3 为 AD,l4 为 CC1, 则 l1∥l4,可知选项 A 错误;取 l1 为 BB1,l2 为 BC,l3 为 AD,l4 为 C1D1,则 l1⊥l4, 故 B 错误,则 C 也错误,故选 D.

答案:D 3.如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点, 过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的是________(写出所 有正确命题的编号).

1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; 2 1 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; 4 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 6 . 2

1 解析:当 CQ= 时,D1Q2=D1C2 1+C1Q2,AP2=AB2+BP2,所以 D1Q=AP.又因为 AD1 2 1 ∥PQ,AD1=2PQ,所以②正确;当 0<CQ< 时,截面为 APQM,所以为四边形,故①也正 2 确,如图(1)所示.

3 如图(2),当 CQ= 时,由△QCN∽△QC1R 得 4

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1 4 C1R C1Q C1R 1 = ,即 = ,C1R= ,故③正确. CQ CN 3 1 3 4

如图(3)所示,当 CQ=1 时,截面为 APC1E. 可知 AC1= 3,EP= 2且 APC1E 为菱形, S 四边形 APC1E= 6 ,故⑤正确. 2

3 当 <CQ<1 时,截面为五边形 APQMF. 4 所以④错误. 答案:①②③⑤ 4. (2014 年高考湖南卷)如图, 已知二面角 α?MN?β 的大小为 60° , 菱形 ABCD 在面 β 内, A, B 两点在棱 MN 上,∠BAD=60° ,E 是 AB 的中点,DO⊥面 α,垂足为 O.

(1)证明:AB⊥平面 ODE; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值. 解析:(1)证明:如图,因为 DO⊥α,AB?α,所以 DO⊥AB.

连接 BD,由题设知,△ABD 是正三角形, 又 E 是 AB 的中点,所以 DE⊥AB. 而 DO∩DE=D,故 AB⊥平面 ODE. (2)因为 BC∥AD,所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角,即∠ADO 是 BC 与
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OD 所成的角. 由(1)知,AB⊥平面 ODE,所以 AB⊥OE. 又 DE⊥AB,于是∠DEO 是二面角 α?MN?β 的平面角,从而∠DEO=60° . 不妨设 AB=2,则 AD=2. 易知 DE= 3. 3 在 Rt△DOE 中,DO=DE· sin 60° = . 2 3 DO 2 3 连接 AO,在 Rt△AOD 中,cos∠ADO= = = . AD 2 4 3 故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 . 4

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