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2012福州市高三3月份质检数学试卷(理科)(word)


2012 年 福 州 市 高 中 毕 业 班 质 量 检 查

数学(理科)试卷
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密 封线内填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试 时间 12

0 分钟. 参考公式:
样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的标准差 锥体体积公式:

s?

1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ? n?

1 V ? Sh 3

其中 S 为底面面积, h 为高

球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答案 中有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为 A. x ? ?1 B. x ? 1 C. y ? ?1 D. y ? 1

2.命题“ ?x ? R , e x ? 0 ”的否定是 A. ?x ?R , e x ≤ 0 C. ?x ?R , e x ? 0
1 ①z? i; 2

B. ?x ?R , e x ≤ 0 D. ?x ?R , e x ? 0
1 3 ②z?? ? i; 4 4

3.如果执行如图所示的框图,输入如下四个复数:

③z?

2 1 ? i 2 2

④z? ?

1 2

3 i, 2
第 3 题图

那么输出的复数是 A.① B.② C.③ D.④

4. 用 m 、 n 表示两条不同的直线, ? 表示平面,则下列命题正确的是 A.若 m // n, n ? ? ,则 m // ? B.若 m // ? , n ? ? ,则 m / / n
第 1 页 共 11 页

C.若 m ? n, n ? ? ,则 m ? ?

D.若 m ? ?, n ? ? ,则 m ? n

5. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 ) , 则函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? ? 不存在零点的概率 为 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

6 . 在 ?ABC 中 , 点 O 在 线 段 BC 的 延 长 线 上 , 且 与 点 C 不 重 合 , 若
???? ??? ? ???? AO ? x AB ? (1 ? x) AC ,则实数 x 的取值范围是

A. ? ??,0 ?

B. ? 0, ?? ?

C. ? ?1,0 ?

D.

? 0,1?
A C B D

7. 如图所示 2 ? 2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以 是 1、2、3、4 中的任何一个, 允许重复.若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法共有 A.192 种 【答案】C 8.函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ? )( ? ? 0,0 ? ? ? ? )为奇函数, 该函数的部分图象如图所示,点 A、B 分别为该部分图象的最 高点与最低点,且这两点间的距离为 4 2 ,则函数 f ( x) 图象 的一条对称轴的方程为 A. x ? B.128 种 C.96 种 D.12 种

第 7 题图

?
4

B. x ?

?
2

第 8 题图

C. x ? 4

D. x ? 2

9. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 a 2 b2

T ,延长 FT 交双曲线右支于点 P ,若 T 为线段 FP 的中点,则该双曲线的渐近线方程为
A. x ? y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? y ? 0 D. x ? 2 y ? 0 10. 若将有理数集 Q 分成两个非空的子集 M 与 N , 且满足 M ? N ? Q , ? N ? ? , M 则称 ? M , N ? 为有理数集的一个分割. 试判 M 中的每一个元素都小于 N 中的每一个元素, 断,对于有理数集的任一分割 ? M , N ? ,下列选项中,不可能成立的是 ... A. M 没有最大元素, N 有一个最小元素 B. M 没有最大元素, N 也没有最小元素 C. M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 D. M 有一个最大元素, N 没有最小元素 第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位 置上. )
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11. sin 47? cos13? + sin13? sin 43? 的值等于 ★ ★ ★ . 12.函数 f ( x) ? x3 ? ax ( x ? R )在 x ? 1 处有极值,则曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线 方程是 ★ ★ ★ .

? x ? 1, ? 13.在约束条件 ? y ? 2, 下,目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0 )的最大值为 1, ?x ? y ?1 ? 0 ?
则 ab 的最大值等于 ★ ★ ★ . 14.设函数 f ? x ? ?
1 ? ? ?1? 2
x

( x?Z ) .给出以下三个判断:

① f ? x ? 为偶函数;② f ? x ? 为周期函数;③ f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 . 其中正确判断的序号是 ★ ★ ★ (填写所有正确判断的序号) . 15. 一个平面图由若干顶点与边组成,各顶点用一串从 1 开始 的连续自然数进行编号,记各边的编号为它的两个端点的编号差的 .. 绝对值,若各条边的编号正好也是一串从 1 开始的连续自然数,则 称这样的图形为“优美图” .已知图 15 是“优美图” ,则点 A、B 与 边 a 所对应的三个数分别为 ★ ★ ★ .
第 15 题图

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. ) 16. (本小题满分 13 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,点 (an , an ?1 ) 在直线 y ? 2 x 上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
? 1 ? (Ⅱ)若 bn ? log2 an ,求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ? bn ?1 ? 17.(本小题满分 13 分)

假设某班级教室共有 4 扇窗户,在每天上午第三节课上课预备铃声响起时,每扇窗 户或被敞开或被关闭,且概率均为 0.5 ,记此时教室里敞开的窗户个数为 X . (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞 开, 否则维持原状不变. 记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为 Y , Y 求 的数学期望.

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18.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、下顶点分别为 a 2 b2

A 、 B ,已知点 B 在直线 l : y ? ?1 上,且椭圆的离心率
e? 3 . 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, PQ ? y 轴,Q 为垂足, M 为线段 PQ 中点,直线 AM 交直线 l 于点
第 18 题图

C , N 为线段 BC 的中点,求证: OM ? MN .

19.(本小题满分 14 分) 如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60? .点 E、F 分别在边 CD、CB 上, 点 E 与点 C 、 D 不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O .沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF 的位 置,使平面 PEF ⊥平面 ABFED . (Ⅰ)求证: BD ? 平面 POA ; (Ⅱ)当 PB 取得最小值时,请解答以下问题: (ⅰ)求四棱锥 P ? BDEF 的体积; ???? ??? ? (ⅱ)若点 Q 满足 AQ=? QP(? ? 0) ,试探究:直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是 否一定大于

? ?并说明你的理由. 4

第 19 题图

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20.(本小题满分 14 分) 如图①,一条宽为 1km 的两平行河岸有村庄 A 和供电站 C,村庄 B 与 A、C 的直线 距离都是 2km ,BC 与河岸垂直,垂足为 D .现要修建电缆,从供电站 C 向村庄 A、B 供 电.修建地下电缆、水下电缆的费用分别是 2 万元 /km 、 4 万元 /km . (Ⅰ)已知村庄 A 与 B 原来铺设有旧电缆 AB ,需要改造,旧电缆的改造费用是 0.5 万元 /km .现决定利用旧电缆修建供电线路,并要求水下电缆长度最短,试求该方案总 施工费用的最小值. (Ⅱ) 如图②, E 在线段 AD 上, 点 且铺设电缆的线路为 CE 、EA 、EB .若 ?DCE ? ? (0 ?? ?

?
3

) ,试用 ? 表示出总施工费用 y (万元)的解析式,并求 y 的最小值.

第 20 题图

21. 本题有(1)、 (2)、 (3)三个选做题, 每题 7 分, 请考生任选 2 题作答, 满分 14 分. 如 果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 ?3x ? y ? 2, 利用矩阵解二元一次方程组 ? . ?4 x ? 2 y ? 3 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的
? x ? 1 ? r cos ? , 极坐标方程为 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 .圆的参数方程为 ? ( ? 为参数, r ? 0 ) , ? y ? 1 ? r sin ?

若直线 l 与圆 C 相切,求 r 的值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? b ? c ? 1 ( a , b , c ?R ) ,求 a ? b ? c 的最大值.
2 2 2

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2012 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10. C 第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. ) 11.

3 2

12. 3x ? y ? 0

13.

1 8

14.①②③

15. 3、6、3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.) 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 an ?1 ? 2an ,所以
an ?1 ?2 an

又 a1 ? 2 ,

所以数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,···························3 分 ·························· 所以 an ? a1 ? 2n ?1 ? 2n (n ? N* ) . ············································5 分 ··········································· (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ,所以 bn ? log 2 an ? n , ······················· 7 分 ······················· 所以
1 1 1 1 , ······································· 10 分 ······································· ? ? ? bn ? bn ?1 n ? (n ? 1) n n ? 1

所以 Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n n ?1 ?
? 1? 1 n . ··············································· 13 分 ··············································· ? n ?1 n ?1

?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?

?1

1 ?

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, X ? B(4,0.5) , ············1 分 ···········
1 1 ?1? 1?1? ∴ P( X ? 0) ? C ? ? ? , P( X ? 1) ? C4 ? ? ? , 4 ? 2 ? 16 ?2?
0 4 4 4

3 1 2?1? 3?1? P( X ? 2) ? C4 ? ? ? , P( X ? 3) ? C4 ? ? ? , 4 ?2? 8 ?2? 1 4?1? P( X ? 4) ? C4 ? ? ? , ? 2 ? 16
4

4

4

·············································6 分 ············································

∴ X 的分布列为:

第 6 页 共 11 页

X
p

0

1

2

3

4

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16
···················· 7 分 ····················

(Ⅱ) Y 的所有可能取值为 3,4,则 ····································· 8 分 ····································· 1 ··············································· P(Y ? 3) ? P( X ? 3) ? ,················································9 分 4 3 ············································ P(Y ? 4) ? 1 ? P(Y ? 3) ? , ············································ 11 分 4 1 3 15 ?Y 的期望值 E(Y ) ? 3 ? ? 4 ? ? . 4 4 4 15 答: Y 的期望值 E (Y ) 等于 . ··········································13 分 ········································· 4 18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题意,得 b ? 1. ··········································· 1 分 ··········································· ∵e ?
c 3 2 2 2 2 , a ? c ? b ? 1 ,∴ a ? 4 . ······························3 分 ····························· ? a 2

∴椭圆的标准方程为

x2 ······································· ? y 2 ? 1 . ········································4 分 4

(Ⅱ) (法一) 证明:设 P ? x0 , y0 ? , x0 ? 0 , 则 Q(0, y0 ) ,且
x0 2 ? y0 2 ? 1 . 4

?x ? ∵ M 为线段 PQ 中点, ∴ M ? 0 , y0 ? .·································· 5 分 ·································· ?2 ? 2( y0 ? 1) 又 A ? 0,1? ,∴直线 AM 的方程为 y ? x ?1 . x0
? x0 ? 0,? y0 ? 1,

? x ? 令 y ? ?1 ,得 C ? 0 , ?1? . ? 1 ? y0 ?

·········································· 8 分 ··········································

? ? x0 又 B ? 0, ?1? , N 为线段 BC 的中点,∴ N ? ···················· , ?1? . ···················· 9 分 ? 2(1 ? y0 ) ? ???? ? x ? ? x0 ∴ NM ? ? 0 ? ······································· , y0 ? 1? . ······································· 10 分 ? 2 2(1 ? y0 ) ?

???? ???? x ? x ? ? ? x0 x2 x0 2 ? y0 ? ( y0 ? 1) ? 0 ? ? y0 2 ? y0 ∴ OM ? NM ? 0 ? 0 ? ? 2 ? 2 2(1 ? y0 ) ? 4 4(1 ? y0 )
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=(

x0 2 x0 2 ················ ? y0 2 ) ? ? y0 ? 1 ? (1 ? y0 ) ? y0 ? 0 . ·················12 分 4 4(1 ? y0 )

∴ OM ? MN . ······················································· 13 分 ······················································· ? ? x0 ?x ? (法二)同(法一)得: M ? 0 , y0 ? , N ? ···················· , ?1? . ·····················9 分 ?2 ? ? 2(1 ? y0 ) ? 当 y0 ? 0 时, x0 ? 2 , 此时 P ? 2, 0 ? , M ?1, 0 ? , N ?1, ?1? , ∴ kOM ? 0 , kMN 不存在,∴ OM ? MN . ············ 10 分 ············ 当 y0 ? 0 时, kOM
y 2y ? 0 ? 0 , x0 x0 2

kMN ?

?2 ?1 ? y0 2 ? ? x0 ?1 ? y0 ?1 ? y0 ? ? ? , x0 x x0 y0 x0 y0 2 y0 ? 0 2 ?1 ? y0 ? 2 2 ?1 ? y0 ?

∵ kOM ? kMN ? ?1 ,∴ OM ? MN ·········································12 分 ········································ 综上得 OM ? MN . ··················································· 13 分 ··················································· 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴ BD ? AC ,∴ BD ? AO , ·············································1 分 ············································ ∵ ∵ ,∴ PO ? EF . E F? A C 平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF ,

且 PO ? 平面 PEF , ∴ ∵ ∴ ∵ ∴
PO ? 平面 ABFED ,

···············································2 分 ··············································

BD ? 平面 ABFED ,

························································ PO ? BD . ·························································3 分
A O? P O ?

, O

·················································· BD ? 平面 POA . ···················································4 分 (Ⅱ)如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz . ·······················5 分 ······················ (ⅰ)设 AO ? BD ? H . 因为 ?DAB ? 60? ,所以 ?BDC 为等边三角形, 故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 . 又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . 所以 O(0,0,0) , P(0,0, x) , B(2 3 ? x, 2,0) , ??? ??? ??? ? ? ? 故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x, 2, ? x) , ······································ 6 分 ······································
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??? ? 所以 PB ? (2 3 ? x) 2 ? 22 ? x 2 ? 2( x ? 3) 2 ? 10 ,

当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. ·······················7 分 ······················ 由(Ⅰ)知, PO ? 平面 BFED,
1 1 3 3 2 所以 V四棱锥P ? BFED ? ? S梯形BFED ? PO ? ? ( ? 42 ? ············· ? 2 ) ? 3 ? 3 . ············· 8 分 3 3 4 4 (ⅱ)设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? ,

由(i)知, OP ? 3 ,则 A(3 3, 0, 0) , B( 3, 2,0) , D( 3, ?2, 0) , P(0,0, 3) . ???? ??? ? 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ? a, 0, 3 ? c , ·····························9 分 ····························

?

?

?

?

???? ??? ? ∵ AQ=? QP ,

? 3 3 , ?a ? ? a ? 3 3 ? ?? a, ? ? ? ?1 . ∴? ?? ? c ? 3? ? ? c ? c ? 3? ? ? ? ?1 ?

3 3 3? ,0, ), ? ?1 ? ?1 ???? 3 3 3? ∴ OQ ? ( ········· 10 分 ········· , 0, ). ? ?1 ? ?1 ? ??? ? ? ??? ? ? 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 . ??? ? ??? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? ∵ PB ? 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4,0 ? ,∴ ? , ??4 y ? 0 ? ? 取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) . ····························11 分 ···························

∴ Q(

?

?

设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? ,
???? ? OQ ? n ???? ? ∴ sin ? ? cos ? OQ, n ? ? ???? ? ? OQ ? n
1 2

3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

?

9 ? 6? ? ? 2 1 6? ? 1? . ·················12 分 ················ 2 9?? 9 ? ?2 2

又∵ ? ? 0 ∴ sin ? ?

∵ ? ? [0, ] ,∴ ? ? . 4 2 因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于 20.(本小题满分 13 分)
第 9 页 共 11 页

?

?

2 . ···············································13 分 ·············································· 2

? ,即结论成立. ·················· 14 分 ·················· 4

解: (Ⅰ)由已知可得 △ABC 为等边三角形. 因为 CD ? AD ,所以水下电缆的最短线路为 CD . 过 D 作 DE ? AB 于 E,可知地下电缆的最短线路为 DE 、 AB . ···············3 分 ·············· 又 CD ? 1, DE ?
3 , AB ? 2 , 2

故该方案的总费用为
1? 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 0.5 2

? 5 ? 3 (万元)

????6 分
? ?

(Ⅱ)因为 ?DCE ? ? ? 0 ? ? ? 所以 CE ? EB ? 则y?

??

?, 3?

1 ····························· , ED ? tan ? , AE ? 3 ? tan ? .····························· 7 分 cos ?

1 1 ?4? ?2? cos ? cos ?

?

3 ? tan ? ? 2 ? 2 ?

?

3 ? sin ? ················· ? 2 3 , ················· 9 分 cos?

令 g ?? ? ?

? cos2 ? ? ? 3 ? sin ? ?? ? sin ? ? 3sin ? ? 1 3 ? sin ? , ··········10 分 ········· ? , 则 g ? ?? ? ? cos 2 ? cos 2 ? cos ?

因为 0 ? ? ?

?
3

,所以 0 ? sin ? ?

3 , 2

1 ? 记 sin ?0 ? ,?0 ? (0, ), 3 3

当 0 ? sin ? ? ,即 0 ≤ ? ? ?0 时, g ? ?? ? ? 0, 当 ? sin ? ?
1 3 3 ? ,即 ? 0 < ? ≤ 时, g ? ?? ? ? 0 , 2 3
1 3 ? 2 2 ,从而 y ? 4 2 ? 2 3 , ·····················12 分 ? g (? 0 ) ? ···················· 2 2 3 3?

1 3

所以 g ?? ?min

此时 ED ? tan ?0 ?

2 , 4

因此施工总费用的最小值为( 4 2 ? 2 3 )万元,其中 ED ? 21.(本小题满分 7 分) 选修 4-2,矩阵与变换

2 . ············13 分 ··········· 4

? 3 1?? x ? ? 2? 解:方程组可写为 ? ··········· ·········· · ·········· ··········· · ? ? ? ? ? ? , ··········· ··········· · 2 分 ? 4 2?? y ? ?3 ?

系数行列式为 3 ? 2 ? 4 ?1 ? 2 ,方程组有唯一解.
第 10 页 共 11 页

1? ? ?1 ? 1 ?2? 3 1? ? 利用矩阵求逆公式得 ? ······························ ? ,······························· 5 分 ? ?? ? ?2 3 ? ? 4 2? ? ? ? 2 ? 1? 1 ?1? ? ? 1 ? ? ?x ? 2 , ?x? ? ? 2 ? 2? ? 2 ? 因此原方程组的解为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? y ? ? ?2 3 ? ? 3 ? ? 1 ? ?y ? 1 . ? ? ? ? ? ? 2 ? ?2? ? 2

················ 7 分 ················ (2) (本小题满分 7 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 解:∵直线 l 的极坐标方程为 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 , ∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,································ 2 分 ································ 又圆 C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 , 所以圆心为 (1,1) ,半径为 r . 因为圆心到直线 l 的距离 d ? ········································· 4 分 ········································
1?1 ?1 2 ? 2 , ······························· 6 分 ······························· 2

又因为直线 l 与圆 C 相切,所以 r ?

2 . ································· 7 分 ································· 2

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 (法一)解:∵ a , b , c ? R , a2 ? b2 ? c2 ? 1 , ∴ (a ? b ? c)2 ? (a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1)2 ? (a 2 ? b2 ? c2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? 3 . ···············5 分 ··············
3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 . ······················· 7 分 ······················· 3 (法二)解:∵ a2 ? b2 ? 2ab , b2 ? c2 ? 2bc , a2 ? c2 ? 2ac ∴ (a ? b ? c)2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac

当且仅当 a ? b ? c ?

? a 2 ? b2 ? c2 ? (a 2 ? b2 ) ? (b2 ? c2 ) ? (a2 ? ?c2 ) ·····························3 分 ····························

∵ a2 ? b2 ? c2 ? 1 , ∴ (a ? b ? c)2 ? 3 ,当且仅当 a ? b ? c ?
3 时等号成立, ······················6 分 ····················· 3

∴ a ? b ? c 的最大值为 3 . ················································ ················································

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