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(浙江专用)2015高考数学二轮复习 专题强化训练1 第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质 文(含解析)


第一部分

重点难点突破(必修模块) 函数、不等式

专题一 第1讲

函数、基本初等函数的图象与性质

(建议用时:60 分钟)

一、选择题 1.(2014·北京卷)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是 A.y=e
-x

(

/>).

B.y=x

3

C.y=ln x

D.y=|x|

解析 依据函数解析式,通过判断定义域和单调性,逐项验证.A 项,函数定义域为 R, 但在 R 上为减函数,故不符合要求;B 项,函数定义域为 R,且在 R 上为增函数,故符合 要求;C 项,函数定义域为(0,+∞),不符合要求;D 项,函数定义域为 R,但在(-∞, 0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,不符合要求. 答案 B 2.(2014·临沂一模)函数 f(x)=ln A.(0,+∞) C.(0,1) 1 +x2 的定义域为 x-1

x

(

).

B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

x≥0, ? ? 解析 要使函数有意义,则有? x > 0, ? ?x-1
即?
?x≥0, ? ? ?x

x-

>0,

解得 x>1.

答案 B
?a·2 ,x≥0, ? 3.(2014·江西卷)已知函数 f(x)=? -x ?2 ,x<0 ?
x

(a∈R),若 f[f(-1)]=1,则 a= ).

( 1 A. 4 C.1 1 B. 2 D.2

解析 根据分段函数的解析式列方程求字母的取值.
-1-

由题意得 f(-1)=2 答案 A

-(-1)

1 2 =2,f[f(-1)]=f(2)=a·2 =4a=1,∴a= . 4

4.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 关于 y 轴对称,则 f(x)= ( A.e C.e
x+1

x

).

B.e D.e
x

x-1

-x+1

-x-1

解析 与曲线 y=e 图象关于 y 轴对称的曲线为 y=e ,函数 y=e 的图象向左平移一个 单位得到函数 f(x)的图象,即 f(x)=e 答案 D 5.(2014·山东卷)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象如图,则 下列结论成立的是 ( ).
-(x+1)

-x

-x

=e

-x-1

.

A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 解析 依据对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换求解.由对数函数的图象和性质 及函数图象的平移变换知 0<a<1,0<c<1. 答案 D 6.(2013·浙江卷)已知 x,y 为正实数,则 ( A.2 C.2
lg x+lg y

).
lg(x+y)

=2 =2

lg x

+2 +2

lg y

B.2 D.2 =2
lg(xy).

=2

lg x

·2

lg y

lg x·lg y

lg x

lg y

lg(xy)

=2

lg x

·2

lg y

解析 2 答案 D

lg x

·2

lg y

=2

lg x+lg y

故选 D.

7.(2014·安徽卷)设 a=log37,b=2 ,c=0.8 ,则 A.b<a<c C.c<b<a B.c<a<b D.a<c<b
1.1

1.1

3.1

(

).

解析 利用“媒介”法比较大小.∵a=log37,∴1<a<2.∵b=2 ,∴b>2.∵c=0.8 ,∴ 0<c<1.故 c<a<b,选 B.

3.1

-2-

答案 B 二、填空题 8. 已知 f(x)=ln(1+x)的定义域为集合 M, g(x)=2 +1 的值域为集合 N, 则 M∩N=________. 解析 由对数与指数函数的知识,得 M=(-1,+∞),N=(1,+∞),故 M∩N=(1,+ ∞). 答案 (1,+∞) 9.(2014·大纲全国卷改编)奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则
x

f(8)+f(9)=______________.
解析 由函数的奇偶性和对称性推出周期性,利用周期性求函数值.因为 f(x)为 R 上的奇 函数, 所以 f(-x)=-f(x), f(0)=0.因为 f(x+2)为偶函数, 所以 f(x+2)=f(-x+2), 所以 f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以 f(x+8)=f(x),即函数 f(x)的周期为 8,故 f(8) +f(9)=f(0)+f(1)=1. 答案 1 e ,x<1, ? ? 1 10. (2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=? x3, x≥1, ? ? 值范围是________. 解析 结合题意分段求解,再取并集.当 x<1 时,x-1<0,e
x-1 x-1

则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取

<e =1≤2,∴当 x<1 时满

0

1 3 足 f(x)≤2.当 x≥1 时,x3 ≤2,x≤2 =8,∴1≤x≤8.综上可知 x∈(-∞,8]. 答案 (-∞,8] 11.(2013·济南模拟)已知函数 f(x)=x +x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒 成立,则 x 的取值范围是________. 解析 f′(x)=3x +1>0,∴f(x)在 R 上为增函数. 又 f(x)为奇函数,由 f(mx-2)+f(x)<0 知,f(mx-2)<f(-x).∴mx-2<-x,即 mx+x -2<0, 令 g(m)=mx+x-2,由 m∈[-2,2]知 g(m)<0 恒成立,可得? 2 -2<x< . 3 2? ? 答案 ?-2, ? 3
? ?g ?g ?
2 3



=-x-2<0, =3x-2<0,



?

?
f x1 -f x2 <0,给出下列命题: x1-x2

12.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对? x∈R 都有 f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当 x1,x2 ∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有

-3-

①f(2)=0; ②直线 x=-4 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[-4,4]上有四个零点; ④f(2 014)=0. 其中所有正确命题的序号为________. 解析 令 x=-2,得 f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得 f(-2)=0,因为函数 f(x)为偶函 数,所以 f(2)=0,①正确;因为 f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x),f(-4-x)=f(-4 -x+4)=f(-x)=f(x),所以 f(-4+x)=f(-4-x),即 x=-4 是函数 f(x)的一条对 称轴,②正确;当 x1,x2∈[0,2],且 x1≠x2 时,都有

f x1 -f x2 <0,说明函数 f(x) x1-x2

在[0,2]上是单调递减函数,又 f(2)=0,因此函数 f(x)在[0,2]上只有一个零点,由偶函 数知函数 f(x)在[-2,0]上也只有一个零点,由 f(x+4)=f(x),知函数的周期为 4,所以 函数 f(x)在(2,6]与[-6,-2)上也单调且有 f(6)=f(-6)=0,因此,函数在[-4,4]上 只有 2 个零点,③错;对于④,因为函数的周期为 4,即有 f(2)=f(6)=f(10)=?=f(2 014)=0,④正确. 答案 ①②④ 三、解答题 13.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)的图象上任意一点 P 关于原点对称的 点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围. 解 (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点,因

为 Q(-x,-y)在 f(x)的图象上,所以-y=loga(-x+1), 即 y=-loga(1-x)(x<1). (2)f(x)+g(x)≥m, 1+x 即 loga ≥m. 1-x 1+x 设 F(x)=loga ,x∈[0,1). 1-x 由题意知,只要 F(x)min≥m 即可. 因为 F(x)在[0,1)上是增函数,所以 F(x)min=F(0)=0. 故 m 的取值范围是(-∞,0]. 14.已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a>0),F(x)=? 对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立.
-42

?f ?

x ,x>0, x ,x<0.

?-f ?

若 f(-1)=0,且

(1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,

∴b=a+1, ∴f(x)=ax +(a+1)x+1. ∵f(x)≥0 恒成立, ∴?
? ?a>0, ?Δ = ? ?a>0, ? ? ?
2

a+

2

-4a≤0,

即?

a-

2

≤0.
2

∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x +2x+1,
? ?x +2x+1 ∴F(x)=? 2 ?-x -2x-1 ?
2 2

x> x<



(2)由(1)知,g(x)=x +2x+1-kx=x +(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, ∴

2

k-2
2

≤-2 或

k-2
2

≥2,

解得 k≤-2 或 k≥6. 所以 k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞). 15.已知函数 f(x)=e -e (x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立?若存在,求出 t; 若不存在,请说明理由. 解
2 2

x

-x

?1?x 且 y=ex 是增函数, ?1? x (1)∵f(x)=e -? ? , y=-? ?x 是增函数, 所以 f(x)是增函数. 由 ?e? ?e?
-x

于 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e -e =-f(x),所以 f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数,∴f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x∈R 恒成立 ?f(x -t )≥f(t-x)对一切 x∈R 恒成立 ?x -t ≥t-x 对一切 x∈R 恒成立 ?t +t≤x +x 对一切 x∈R 恒成立
2 2 2 2 2 2 2 2

x

? 1?2 ? 1?2 ??t+ ? ≤?x+ ?min对一切 x∈R 恒成立 ? 2? ? 2?
1 ? 1?2 ??t+ ? ≤0?t=- . 2 ? 2?

-5-

1 2 2 即存在实数 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立. 2

-6-


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