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修改2.2.3 向量数乘运算及其几何意义


向量的数乘运算

思考:已知非零向量a, 作出a ? a ? a和(-a) ? (? a ) ? (?a ), 你能说出它们的几何意义吗? a
O

a
A

a
B

a
C

3a ?3a

?a
N

/>
?a
M
Q

?a

P

显然,3a的方向与a的方向相同,3a 的 长度是a的长度的3倍,即|3a | = 3 |a |. 显然,-3a的方向与a的方向相反,-3a的 长度是a的长度的3倍,即|-3a | =3 | a | 。

一)向量的数乘的定义: 规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算 叫做向量的数乘,记作 ? a ,它的长度和方向规 定如下: ① ? a 是一个向量; (1 ) | ? a |?| ? || a |;
② ? a 的长度等于?的 绝对值与向量a的长度 的乘积。

(2)当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反。 特别的,当 ? ? 0时, ? a ? 0.

教材90页练习:

AC 5 2,点C在线段AB上,且 ? ,则 AC ? CB 2

2 BC ? ? 7

5 7
B

AB,

AB
C

A
实数?的求法:

说明:已知直线上三点A,B,C,用向量 AB表示 AC时, (1)先根据向量 AB, AC的方向确定?的值的符号, 同向为正,反向为负; (2)再求?的绝对值 ? ? AC AB 。

二)向量数乘的运算律: 设 ? , ? 为实数,那么
结合律:

(1)? ( ? a) ? (?? )a; ? ? )a ? ? a ? ? a; ? ? a ? ? b.

第一分配律: (2)(?

第二分配律: (3)? ( a ? b) 特别的,我们有

(?? )a ? ?(? a) ? ? (?a),
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算. 对于任意向量 a、 ,以及任意实数 λ 、μ1、μ2, b 恒有

? (a ? b) ? ? a ? ? b.

? (?1 a ? ?1b )= ??1 a ? ??1b.

例1.计算:

(1)(?3) ? 4a

?12a

(2)3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a

5b

(3)(2a ? 3b ? c) ? (3a ? 2b ? c). ? a ? 5b ? 2c

三)向量共线定理: (1)向量b与非零向量a共线, 则有且只有一个实数?,使得b ? ? a; (2)若存在唯一实数?,使b ? ? a,则a与b 共线。
即向量b与非零向量a共线 ? 存在唯一实数?,使b ? ?a

说明:定理中,(1)a是非零向量但b可以为0, 这时0 ? ? a,存在唯一实数? ? 0;若b ? 0,则?为非0常数; (2)若a ? 0,b ? 0,则?不存在; (3)若a ? 0,b ? 0,则?不唯一。 (4)若a,b不共线,有k1a ? k2b ? 0,则k1 ? k2 ? 0

向量共线定理: 向量b 与非零向量a共线 ? 存在唯一实数?,使b ? ? a

共线定理的应用: (1)证明向量共线; (2)证明A,B,C三点共线:AB ? ? BC ? AB BC又 AB与BC有公共点B ? A,B,C三点共线 (3)证明直线AB CD:AB ? ? CD ? AB CD又AB与CD没有公共点 ? AB CD

例2.如图,已知任意两个向量 a、 b,试作 OA ? a ? b,

OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
C

a

b

3b

B

解: 2b AB ? OB ? OA ? a ? 2b ? (a ? b ) ? b

A

AC ? OC ? OA ? a ? 3b ? (a ? b ) ? 2b

? AC ? 2 AB ? AC AB 又 AC与AB有公共点 ? A, B, C三点共线。

b
O

a

练习1: 向量a,b不共线若ka ? b 与a ? kb 共线,则k ?

2, 两非零向量a,b不共线,若 AB ? 2a ? 3b, BC ? 6a ? 23b CD ? 4a ? kb,且A, B, D三点共线,则k ?

解: ka ? b与a ? kb共线 ? ka ? b =? (a ? kb) ?k ? ? ?? ? k ? ?1 ?1 ? k ?

?1

(23+k)b 解: BD ? BC ? CD ? 10a ?
A, B, D三点共线 ? AB ? ? BD即2a ? 3b ? ?10a ? ? (23+k)b ??10 ? 2 1 ?? ? ? ? , k ? ?8 (23+k) 5 ?3 ? ?

?8

例3.如图, ABCD 的两条对角线相交于点M,且 AB ? a, ,你能用 a 、 MB、 MC 和 MD b 来表示 MA、

AD ? b
解:

D

b
A

平行四边形的两条对角线互相平分, 1 1 ? MA ? ? AC ? ? (a ? b) 2 2 1 1 MB ? DB ? (a ? b) 2 2 C 1 1 MC ? AC ? (a ? b) M 2 2
B

a

1 MD ? ? MB ? ? (a ? b) 2

例2:如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的 中点,点N是BD上的一点,BN ? 1 BD , 3 求证M、N、C三点共线.
解:设BA ? a, BC ? b ,

1 1 1 1 ? ? a ? (a ? b ) ? ? a ? b 2 3 6 3 1 MC ? BC ? BM ? BC ? BA 2 1

1 1 1 1 MN ? MB ? BN ? ? BA ? BD ? ? a ? ( BA ? 2 3 2 3
D

AD)
C N

1 ? MN ? MC ? MN MC,又MN与MC有公共点 3

?b? a 2

A

M

B

所以M.N.C三点共线

一、①λ

a 的定义及运算律
(a≠0)

②向量共线定理

b=λa

向量a与b共线

共线定理的应用: (1)证明向量共线; (2)证明A,B,C三点共线:AB ? ? BC ? AB BC又 AB与BC有公共点B ? A,B,C三点共线 (3)证明直线AB CD:AB ? ? CD ? AB CD又AB与CD没有公共点 ? AB CD


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