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21-2.2.1对数与对数运算(3)


2.2.1 对数与对数运算 (3) 一、【教学目标】
重点: 换底公式和对数运算性质的简单应用,及用对数解决生活中的实际问题. 难点:换底公式的推导过程的组织和引导以及正确应用. 知识点:换底公式、对数运算性质以及在实际中的应用. 能力点:如何探究换底公式的证明思路;如何把实际问题转化成对数问题. 教育点:经历由特殊到一般的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,并通过换底

公式使学生体会知识之 间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣,培养学生严谨的科学精神. 训练点: 掌握换底公式, 并会用换底公式将一组不同底的对数化为同底对数, 从而进行对数的化简与证明. 自主探究点:如何运用对数的概念与指数式与对数式的关系证明换底公式. 考试点: 用指数式与对数式的关系及换底公式、 对数运算性质解决一些对数的运算问题和简单的实际问题. 易错易混点:在应用换底公式的过程中不能适当选取底数解决已知对数式、指数式的条件表示对数. 拓展点:在实际问题中利用对数和对数的运算性质解决问题.

二、【引入新课】
前两节课我们学习了以下内容:1、对数的定义及性质;2、对数恒等式;3、对数的运算性质 那么,对数运算有哪三条基本性质? 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N (2) log a

M ? log a M ? log a N N

(3) loga M n ? n loga M

(n ? R)

问题 1:对数运算有哪三个常用结论? 答案: (1) loga a ? 1, (2) loga 1 ? 0, (3)a
loga N

?N

问题 2:对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算,那么不同底数的对数集中在一起,如何解 决呢? 【设计意图】通过复习对数的运算性质,提出不同底数的对数运算问题,从而引出要探究的问题,让 学生发现要探究的问题.

三、【探究新知】 (一)推导公式
假设

log2 5 ? x, 则o l g log2 3

2

5 ? xo l g

2

3 ?o l g

2

log 5 3x ? 5 , 从而有: 所以 x ? log3 5 即: 2 ? log3 5 。 3x , log2 3

化简:①

log 6 5 log 7 11 ,② log 6 3 log 7 2

1

猜想得到:

log c b ? log a b(a ? 0且a ? 1, b ? 0, c ? 0且c ? 1) log c a

【设计意图】 给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生 归纳、概括、提出数学问题的能力(一般性探究) .避免直接将公式抛给学生.

(二)公式证明
设 x ? loga b 转化成指数式 a ? b , 两边取 c 为底的对数 logc a x ? logc b ,则 x logc a ? log c b ,
x

即:

log c b ? log a b(a ? 0且a ? 1, b ? 0, c ? 0且c ? 1) . log c a

【设计意图】让学生在应用定义的同时强化利用对数式转化成指数式的方法解决对数问题的意识,培 养学生对数学转化思想的应用能力.

四、【理解新知】
分析公式的结构特征. 思考 1: loga b 和 logb a 有什么关系? 答案: loga b ? logb a
n

?1

(或 loga b =

1 ). logb a

思考 2: logam b 与 log a b 有什么关系? 答案: log a m b
n

?

n log a b ( m ? 0, n ?R). m

【设计意图】 逆向运用公式,便于学生全面的认识公式, 提高理解、运用知识的能力.

五、【运用新知】
例 1 求 log8 9 ? log27 32 的值. 解法一: log8 9 ? log27 32 ?

log2 9 log2 32 2 log2 3 5 log2 2 10 ? ? ? ? . log2 8 log2 27 3 log2 2 3 log2 3 9
lg 9 lg 32 2lg 3 5lg 2 10 ? ? ? ? lg8 lg 27 3lg 2 3lg 3 9

解法二: log8 9 ? log 27 32 ?

说明:底数可以换成任何一个大于 0 且不等于 1 的数,我们经常把底数换成以 10 为底的对数进行运 算. 变式训练:课本 P68 4 . 例2

设3a ? 4b ? 36,求

2 1 ? 的值 . a b
2

解法一:由 3a ? 4b ? 36得:a ? log3 36 ? 2 log3 6;b ? log4 36 ? log2 6 所以

2 1 2 1 ? ? ? ? log6 3 ? log6 2 ? 1 . a b 2 log3 6 log2 6

解法二:对已知条件取以 6 为底的对数,得:

a log6 3 ? 2,b log6 2 ? 1 2 1 ? log6 3, ? log6 2 a b 2 1 ? ? ? log6 3 ? log6 2 ? 1 a b ?
说明:本题考查对数的性质和换底公式的应用.一个等式的两边取对数,是一种常用的技巧,一般地 说,给出的等式是以指数形式出现的,常用此法,在取对数时要注意对底数的合理选择,本题也可以取常 用对数或自然对数. 变式训练 1.已知 2 x ? 3 y ? 6 z ? 1,求证 ?

1 x

1 1 ? . y z

证明: 设2 x ? 3y ? 6 z ? k (k ? 1),则x ? log2 k, y ? log3 k , z ? log6 k

1 1 1 1 1 1 ? log k 2, ? log k 3, ? log k 6,? ? ? log k 2 ? log k 3 ? log k 6 ? ,即证. x y z x y z
变式训练 2.已知log18 9 ? a,18b ? 5, 试用a, b表示log36 45.

解法一:有 log18 9 ? a,18b ? 5, 得b ? log18 5 ? log36 45 ? log18 45 log18 9 ? log18 5 log18 9 ? log18 5 a?b ? ? ? log18 36 log18 18 ? log18 2 1 ? (log18 18 ? log18 9) 2 ? a

解法二:有 log18 9 ? a,18b ? 5, 得b ? log18 5 ? log 36 45 ? ? log18 45 log18 9 ? log18 5 log18 9 ? log18 5 ? ? log18 36 log18 4 ? log18 9 2 log18 2 ? log18 9

log18 9 ? log18 5 a?b ? 2(1 ? log18 9) ? log18 9 2 ? a

例 3 20 世纪 30 年代,查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 M, 其计算公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是被测地震的最大振幅, A0 是“标准地震”的振幅(使用标准地 震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20,此时标准地震的振 幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2)5 级地震给人的振感已比较明显,计算 7.6 级地震最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍?(精确到 1) 分析:读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算. 解答见教材 P66. 例 4.生物机体内碳 14 的“半衰期”为 5730 年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残余含量约 占原始含量的 76.7%,试推算马王堆古墓的年代. 解答见教材 P67.
3

六、【课堂小结】
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法? 学生作答: 1.知识: (1)换底公式及几个对数恒等式和对数运算性质. (2)对数在生活实际中的应用. 2.思想:特殊与一般的思想、转化的思想. 教师总结: 1.对数换底公式; 2.用换底公式解题时应注意: (1)针对具体问题,选择恰当的底数; (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用; (3)换底公式的正用与逆用; (4)对数恒等式可简化运算。 【设计意图】 加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .

七、【布置作业】
1.必做题: 2.选做题: P74A 组 4,11.
2 3

P82A 组 3

(1)若 a >0, a ?

(2)如果 f 10a ? a ,则 f ?3? ? (3)化简 ? log 2 5+log 4 0.2 ? ?log 5 2+log 250.5 ? .

? ?

4 ,则 log2 a = 9 3

. .

1 1 1 (4)设 a 、 b 、 c 为正数,且 3a ? 4b ? 6c ,求证: ? ? . c a 2b (5)我国的 GDP 年平均增长率保持为 7.3%,约多少年后我国的 GDP 在 2007 年的基础上翻两番? 【设计意图】巩固本节课公式和对数运算性质的应用.

八、【教后反思】
本堂课主要是学习对数的换底公式,它在以后的学习中有着非常重要的作用,由于对数的运算性质是 在同底的基础上,因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要,有时也可以逆用对 数换底公式达到我们的目的,结合学生实际,在公式的运用上主要体现在化简与求值上,对数在实际问题 中的应用,可以锻炼学生分析问题、解决问题的能力.只是本节课堂容量有些大,还需根据学生的具体情况 调整.

九、【板书设计】
2.2.1 对数与对数运算 一.换底公式:一般地,如果 a >0,且 a ? 1 , c >0, 变式训练 且 c ? 1 , b >0, 则 loga b ? 换底公式推导: 例1 例4 例2

logc b . logc a

例3

4


21-2.2.1对数与对数运算(3)

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