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2014年高考数学总复习教案:第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时 同角三角函数的基本关系式


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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 2 课时 同角三角函数的基本关系式 与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)42~43

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考情分析 ① 会运用同角三角函数进行简单的三角函 数式的化简、求值及恒等式证明. ② 能运用诱导公式将任意角的三角函数化 为锐角的三角函数,会运用它们进行简单的 三角函数式

的化简、求值及恒等式证明.

考点新知 ① 理解同角三角函数的基本关系式:sin2α +cos2α=1, sinα = tanα. cosα

② 理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ+ π α(k∈Z),-α,π±α, ±α]. 2

8 1. (必修 4P16 例 1 改编)α 是第二象限角,tanα =- ,则 sinα =________. 15 答案: 8 17
2 2

sin α+cos α=1, ? ? 8 解析:由? sinα 解得 sinα=± .∵ α为第二象限角,∴ sinα>0,∴ 8 17 =- , ? 15 ?cosα 8 sinα= . 17 52 ? 2. cos? ?- 3 π ?=________. 1 答案:- 2 52π π π 52π? 1 解析:cos?- =cos =cos(17π+ )=-cos =- . 3 3 3 2 3 ? ? 3. sin2(π +α)-cos(π +α)· cos(-α)+1=________. 答案:2 解析:原式=(-sinα)2-(-cosα)cosα+1=sin2α+cos2α+1=2. 4. (必修 4P21 例题 4 改编)已知 cos? ________. 2 2 答案:- 3 π 5π π 解析:cos? -α?=cos[ -? +α?] 2 ? 12 ?12 ? ? =sin? π 5π 5π ? 7 +α .又-π<α<- 2 ,所以-12π< 12 +α< 12 ? ? π 5π ? 1 ?π ? ? 12 +α?=3,且-π <α <- 2 ,则 cos?12-α?=

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π 5 2 2 2 2 ?π ? ? .所以 sin? ?12π+α?=- 3 ,所以 cos?12-α?=- 3 . 12

π sin? +θ?-cos(π -θ) ?2 ? 5. (必修 4P22 习题 9(1)改编)已知 tanθ =2,则 =__________. π ? ? sin +θ -sin(π -θ) ?2 ? 答案:-2 π sin? +θ?-cos(π-θ) ?2 ? cosθ-(-cosθ) 解析: = π cosθ-sinθ sin? +θ?-sin(π-θ) 2 ? ? = 2cosθ 2 2 = = =-2. cosθ-sinθ 1-tanθ 1-2

1. 同角三角函数的基本关系 (1) 平方关系:sin2α +cos2α =1. (2) 商数关系:tanα= 2. 诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ + α(k∈Z) sinα cosα tanα 二 π +α -sinα -cosα tanα 三 -α -sinα cosα -tanα 四 π -α sinα -cosα -tanα 函数名改变符号看象 限 五 π -α 2 cosα sinα 六 π +α 2 cosa -sinα sinα . cosα

函数名不变符号看象限

记忆规律:奇变偶不变,符号看象限. [备课札记]

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题型 1 同角三角函数的基本关系式 1 例 1 (必修 4P23 第 18 题改编)已知 α 是三角形的内角,且 sinα +cosα = . 5 (1) 求 tanα 的值; 1 (2) 将 2 用 tanα 表示出来,并求其值. cos α -sin2α 1 ? ?sinα+cosα=5 ①, 解:(1) (解法 1)联立方程? ? ?sin2α+cos2α=1 ②, 1 由①得 cosα= -sinα, 5 将其代入②,整理,得 25sin2α-5sinα-12=0.

?sinα=5, ∵ α是三角形内角,∴ ? 3 ?cosα=-5,
4 ∴ tanα=- . 3 1?2 1 1 (解法 2)∵ sinα+cosα= , ∴ (sinα+cosα)2=? , 即 1 + 2sin α cos α= , ∴ 2sin 5 ? ? 5 25 24 24 49 αcosα=- ,∴ (sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+ = . 25 25 25 12 ∵ sinαcosα=- <0 且 0<α<π,∴ sinα>0,cosα<0. 25 7 ∵ sinα-cosα>0,∴ sinα-cosα= . 5

4

?sinα+cosα=5, ?sinα=5, 4 由? 得? ∴ tanα=- . 3 7 3 ?sinα-cosα=5, ?cosα=-5,
(2) sin2α+cos2α tan2α+1 1 = . 2 = cos α-sin α cos2α-sin2α 1-tan2α
2

1

4

4 ∵ tanα=- , 3 tan2α+1 1 ∴ = cos2α-sin2α 1-tan2α

?-4? +1 ? 3? 25 = . 2=- 7 4? ? 1-?-3?
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2

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变式训练 已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ ,且 θ∈(0,2π ). sin2θ cosθ (1) 求 + 的值; sinθ -cosθ 1-tanθ (2) 求 m 的值; (3) 求方程的两根及此时 θ 的值. 解:(1) 由韦达定理可知 +1 ? sinθ+cosθ= 32 ? m ? sinθ·cosθ= 2 ①, 而 ②, sin2θ cosθ + = sinθ-cosθ 1-tanθ

sin2θ cos2θ 3+1 + =sinθ+cosθ= . 2 sinθ-cosθ cosθ-sinθ 2+ 3 (2) 由①两边平方得 1+2sinθcosθ= , 2 将②代入得 m= (3) 当 m= 3 . 2

3 3 3 1 时,原方程变为 2x2-(1+ 3)x+ =0,解得 x1= ,x2= , 2 2 2 2 1

?sinθ= 23 ?sinθ=2, ∴ ? 或? 1 3 cos θ= ? ?cosθ= 2 . 2
π π ∵ θ∈(0,2π),∴ θ= 或 . 6 3 例 2 (必修 4P23 第 10(2)题改编)化简: ( 1+sinα - 1-sinα 1-sinα )· ( 1+sinα 1+cosα - 1-cosα 1-cosα ). 1+cosα (1-sinα)2 )( cos2α (1+cosα)2 - sin2α

解 : 原 式 = (

(1+sinα)2 - cos2α

(1-cosα)2 1+sinα 1-sinα 1+cosα 1-cosα 2sinα 2cosα )=( - )( - )= · sin2α |cosα| |cosα| |sinα| |sinα| |cosα| |sinα|
?4,α在第一、三象限时, ? =? ? ?-4,α在第二、四象限时.

备选变式(教师专享) 已知 sinα·cosα<0,sinα tanα >0,化简: α cos · 2 α 1-sin 2 α +sin · α 2 1+sin 2 α 1+cos 2 =________. α 1-cos 2

α π? 答案:± 2sin? ?2+4? 解析:∵sinα·cosα<0,∴α为第二或第四象限角.
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又∵sinα·tanα>0,∴α为第四象限角, α ∴ 为第二或四象限角. 2 α α 1-sin 1+cos 2 2 α α ∴原式=cos · +sin · 2 ? α? 2 ? α? ?cos2? ?sin2?

? ?sin2+cos2? ?2为第二象限角?, =? α α α ? ?-sin2-cos2? ?2为第四象限角?,
α π? ∴原式=± 2sin? ?2+4?. 题型 2 利用诱导公式进行化简求值 sin(π -α)+5cos(2π -α) 例 3 已知 sin(α-3π )=2cos(α-4π ),求 的值. 3π ? ? 2sin ? 2 -α?-sin(-α) 解:∵ sin(α-3π)=2cos(α-4π), ∴ -sin(3π-α)=2cos(4π-α), ∴ sinα=-2cosα,且 cosα≠0. ∴ = sinα+5cosα -2cosα+5cosα 原式= = -2cosα+sinα -2cosα-2cosα

α

α α

3cosα 3 =- . 4 -4cosα 备选变式(教师专享)

1 已知 cos(π +α)=- ,且角 α 在第四象限,计算: 2 (1) sin(2π -α); (2) sin[α+(2n+1)π ]+sin(π +α) (n∈Z). sin(π -α)· cos(α+2nπ )

1 1 1 解:∵ cos(π+α)=- ,∴ -cosα=- ,cosα= . 2 2 2 又角α在第四象限,∴ sinα=- 1-cos2α=- 3 . 2 3 . 2 =

(1) sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]=sin(-α)=-sin α= (2) sin[α+(2n+1)π]+sin(π+α) sin(π-α)cos(α+2nπ) =

sin(α+2nπ+π)-sinα sinαcosα

sin(π+α)-sinα -2sinα 2 = =- =-4. sinαcosα sinαcosα cosα

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1. (2013· 广东文)已知 sin? 1 答案: 5 解析:sin?

5π 1 +α?= ,那么 cosα =________. ? 2 ? 5

5π ? 1 ?π ? ? 2 +α?=sin? 2 +α?=cosα=5.

2. 已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π ,则 cos(a2+a8)=________. 1 答案:- 2 解析:由条件,知π=a1+a5+a9=3a5,∴ a5= 1 - . 2 π 1 3. 已知 sinα = ,且 α∈? ,π ?,则 tanα =________. 3 ?2 ? 答案:- 2 4 1 2 2 1- =- ,从而 tanα=- 9 3 π 2π ,∴ cos(a2+a8)=cos2a5=cos = 3 3

π 1 解析:因为 sinα= ,α∈? ,π?,所以 cosα=- 3 ?2 ? 2 . 4

π π 4. 已知 2tanα ·sinα =3,- <α<0,则 cos(α- )=____________. 2 6 答案:0 2sin2α 1 解析: 依题意得 =3, 即 2cos2α+3cosα-2=0, 解得 cosα= 或 cosα=-2(舍 2 cosα 去). π π 又- <α<0,因此 α=- , 2 3 π π π π 故 cos?α- ?=cos?- - ?=cos =0. 2 6? ? ? 3 6?

1 1. 已知 0<x<π ,sinx+cosx= . 5 (1) 求 sinx-cosx 的值; (2) 求 tanx 的值. 1 1 解:(1) ∵ sinx+cosx= ,∴ 1+2sinxcosx= , 5 25

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24 24 ∴ 2sinxcosx=- , 又∵ 0<x<π, ∴ sinx>0, 2sinxcosx=- <0, ∴ cosx<0, ∴ sinx 25 25 7 -cosx>0,∴ sinx-cosx= 1-2sinxcosx = . 5 (2) sinx+cosx 1 tanx+1 1 4 = , = ,tanx=- . 7 7 3 sinx-cosx tanx-1

π ? 2 2 2. 已知 3cos2(π+x)+5cos? ?2-x?=1,求 6sinx+4tan x-3cos (π-x)的值. 1 解:由已知得 3cos2x+5sinx=1,即 3sin2x-5sinx-2=0,解得 sinx=- 或 sinx=2(舍 3 1? 8 sin x 1 2 2 2 ? 1? 去).这时 cos x=1-? ?-3? =9,tan x=cos2x=8,故 6sinx+4tan x-3cos (π-x)=6×?-3?
2
2

2

1 8 25 +4× -3× =- . 8 9 6 1 3. 已知在△ABC 中,sinA+cosA= . 5 (1) 求 sinA· cosA; (2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3) 求 tanA 的值. 1 1 12 解: (1) 因为 sinA+cosA= ①, 两边平方得 1+2sinAcosA= , 所以 sinA· cosA=- . 5 25 25 12 (2) 由(1) sinAcosA=- <0,且 0<A<π,可知 cosA<0,所以 A 为钝角,所以△ABC 25 是钝角三角形. 24 49 (3) (sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1+ = . 25 25 又 sinA>0,cosA<0,sinA-cosA>0, 7 所以 sinA-cosA= ②, 5 4 3 所以由①,②可得 sinA= ,cosA=- , 5 5 4 5 sinA 4 则 tanA= = =- . cosA 3 3 - 5 4. 已 知 sin(3 π + θ) = 1 3 , 求 cos(π +θ) cosθ [cos(π -θ)-1] +

的值. 3π 3π sin?θ - ?cos(θ-π )-sin? +θ? 2 ? ? ? 2 ? 1 1 解:因为 sin(3π+θ)=-sinθ= ,所以 sinθ=- . 3 3

cos(θ-2π )

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原 式 =

-cosθ + cosθ(-cosθ-1)

cos(2π-θ) 1 = + 3 π 1 + cos θ -sin? -θ?cos(π-θ)+cosθ ? 2 ?

cosθ 1 1 2 2 2 = + = = = =18. -cos2θ+cosθ 1+cosθ 1-cosθ 1-cos2θ sin2θ ? 1?2 - ? 3?

1. 利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角 α 的范围进行 确定. 2. 应熟练应用诱导公式. 诱导公式的应用原则是: 负化正、 大化小、 化到锐角为终了. 诱 导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:① 负角变正角,再写成 2k π + α(k∈Z),0≤α <2π ;② 转化为锐角. π 3 3. 在应用诱导公式时需先将角变形,有一定技巧,如化 π +α 为π +? +α?或 2π - 2 ?2 ?

?π -α?. ?2 ?
请使用课时训练(A)第2课时(见活页).

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