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2011-2012年学年(上)高三数学(文)第一次月考试卷及答案


2011-2012 年学年(上)福鼎三中高三第一次月考 年学年( 数学( 数学(文)科试卷
班级 姓名

小题, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 选择题: 1. 已知集合 A = {x | x < 3}, B = {x | log 2 x > 0},则 A ∩ B = A . { x 1 < x < 3} B. { x 1 ≤ x < 3} C.

(

)

{ x x < 3}

D. {x | x ≤ 1} ( )
7 25

2. 已知 sin x = A.
7 25

4 ,则 cos 2x = 5

B. ?

7 25

C. ?

18 25

D. ±

1 3. 过曲线 y = x 3 + 上的点 ( 1,2 ) 的切线方程是 x A. y = 2 x + 3 B. y = 2 x C. y = 4 x ? 2

D. y = 2 x ? 3 ( )

4. 在 ?ABC 中, ∠A = 30°, ∠B = 45°, BC = 2. 则 AC 边长为
6 2 6 C. 2 2 D. 3 3 2 5. 已知函数 f ( x) = x + 2 x ? 3 ,则函数 f ( x) 的值域为

A. 2

B.

( ( )

) D. [? 3,+∞ )

A. (? 4,+∞ )

B. [? 4,+∞ )

C. (? 3,+∞ )

6. 已知函数 y = A sin(ωx + ? ) + K 的一部分图象
如右图所示,如果 A > 0, ω > 0, | ? |<

π
2

,则

A.A=4 C. ω = 1

B.K=4 D. ? =

π
6

7. 原命题“设 a、b、c ∈ R, 若ac 2 > bc 2 , 则a > b ”的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题
的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

π 8. 为了得到函数 y = sin( x ? ) 的图象,可以将函数 y = cos 2 x 的图象 2 6
A.向右平移
C.向左平移

(

)

π
6

个单位长度 个单位长度

B.向右平移

π
3

个单位长度

个单位长度 6 3 9. 已知 f (x ) = a x , g (x ) = log a x ( a >0,且 a ≠ 1),若 f (3) ? g (3) <0,那么 f (x ) 与 g (x ) 在同 一坐标系内的图象可能是 ( )

π

D.向左平移

π

? ? ? x +1 x ≤ 0 10. 函数 f ( x ) = ? 的零点个数为 ( ). ? 2 ?x ? x ? 2 x > 0 ? A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 11. 定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f ( x) = f ( x + 2) ,当 x ∈ [3,4] 时, f ( x) = x ? 2 ,则

(

) A. f (sin 1) < f (cos 1) B. f (sin ) > f (cos ) 3 3 3 3 D. f (sin ) > f (cos ) 2 2

π

π

1 1 C. f (sin ) < f (cos ) 2 2 π π 12. 已知 f ( x) = sin ( x + 1) ? 3 cos ( x + 1) ,则 f (1) + f (2) + L + f (2011) = 3 3





A.2 3

B. 3

C.1

D.0

小题, 把答案填在答题卡相应位置。 二、填空题 :本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置。 ax ? 1 1 13. 已知 x 的不等式 < 0 的解集是( ? ∞,?1 )∪( ? ,+∞ ) ,则 a = x +1 2 ? x + 2, ( x ≤ ?1) 3 ? ? ? 14. 函数 f ( x) = ? x 2 , (?1 < x < 2) ,则 f ? f (? ) ? = _____________ 2 ? ? ? 2 x, ( x ≥ 2) ?

? y ≤ x, ? 15. 已知 z = 2 x ? y , 式中变量 x , y 满足约束条件 ? x + y ≥ 1, , z 的最大值为__________. 则 ? x ≤ 2, ?
16. 已知 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,外接圆半径是 1 ,且满足条件 2 sin 2 A ? sin 2 C = (sin A ? sin B)b ,则 ?ABC 的面积的最大值为 .

(

)

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤. 三、解答题 :本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 、 为锐角, A、 、 所对的边分别为 a 、 、 , sin A = A B 角 B C b c 且
(1)求角 C 的值; (2)若 a-b= 2 -1,求 a 、 b 、 c 的值. 5 10 , B= sin . 5 10

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x 2 + ax + 4 ( x ≠ 0) . x (1)若 f (x) 为奇函数,求 a 的值;

(2)若 f (x) 在 [3,+∞) 上恒大于 0,求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 第(19 题) 在奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求击球手以 与连结本垒及游击手的直线成 15°的方向把球击出,根据经验及测速仪的显示,通常情 况下球速为游击手最大跑速的 4 倍,问按这样的布置,游击手能不能接着球? 20. (本小题满分 12 分)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖 于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太 长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表 明,用 f ( x ) 表示学生掌握和接受概念的能力( f ( x ) 的值越大,表示接受能力越强), x 表示 提出和讲授概念的时间(单位:分),可以有以下公式:
? ? 0.1x 2 + 2.6 x + 43 (0 < x ≤ 10 ) ? (10 < x ≤ 16 ) f (x ) = ? 59 ? ? 3 x + 107 (16 < x ≤ 30) ? (1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟? (2)开讲 5 分钟与开讲 15 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 10 分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

21. (本小题满分 12 分) 已知 a = 5 3 cos x, cos x , b = (sin x,2 cos x ) ,记函数 f ( x ) = a ? b + b .
2

(

)

(Ⅱ)求 f ( x ) 在 [0, π ] 上的单调递增区间.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的周期及 f ( x ) 的最大值和最小值;

(II)是否存在实数 m ,对任意的 x1 ∈ [? 1,2] ,都存在 x0 ∈ [0,1] ,使得 g ( x0 ) = 3 f ( x1 ) 成立? 若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

22. (本小题满分 14 分) 1 8 1 2 2 已知函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + x + b ,g ( x) = x 3 + m 2 x ? m + 1 , 且函数 f (x) 在 x = 处取 3 9 3 3 3 20 得极值 . 81 (I)求 f (x) 的解析式与单调区间;

2011-2012 年学年(上)福鼎三中高三第一次月考 学年( 数学( 数学(文)科试卷
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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 D 6 D 7 B 8 B 9 C 10 B 11 A 12 A

座位号

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 16 分。 。 13、 15、 -2 5 14、 16、
1/4

3 3 4

学号

三.解 答题: (共 74 分)

17. (本小题满分 12 分)
∵A、B 为锐角,sinA= 、 为锐角, =

5 10 ,sinB= = , 5 10 2 5 ,------------1 分 5

∴cosA= 1 ? sin A = =
2

姓名

cosB= 1 ? sin B = =
2

3 10 ,--------------2 分 10

∴cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB) cosC=+ = - =-(

2 5 3 10 5 10 2 × × .---------------5 分 - )= ? 5 10 5 10 2
3 4
-------------6 分

班级

∵0<C<π,∴C= π , =

中学

3π (2)由(1)知 C= ,∴sinC= 由 知 = = 4

2 . 2

--------7 分

b c α 由正弦定理sin A=sin B=sinC得 5 a= 10 b= 2 c,即 a= 2 b,c= 5 b, = = , = , = , ∵a-b= 2 -1,∴ 2 b-b= 2 -1,∴b=1, - = , - = , = , ∴ a= 2 , c= 5 . --------------12 分

18. (本小题满分 12 分)
解: (1) f (x ) 的定义域关于原点对称, ∵ f (x ) 为奇函数,∴ f ( ? x) =

(? x) 2 + a(? x) + 4 = ? f ( x) ?x

∴a = 0.

6分

(说明:若使用特殊值运算一样给分,如利用 f ( ?1) = ? f (1) 求解). (2) f ′( x ) = 1 ?

4 x2

7分 9分 10 分 11 分 12 分

∴在 [3,+∞) 上 f ′( x ) > 0 ∴ f (x ) 在 [3,+∞) 上单调递增 , ∴ f (x ) 在 [3,+∞) 上恒大于 0,只要 f (3) 大于 0 即可,

13 . 3 13 ∴ a 的取值范围为( ? ,+ ∞ ) 3
∴ 3a + 13 > 0 ? a > ?

19. (本小题满分 12 分)
解: 设游击手能接着球,接球点为 B,而游击手从点 A 跑出,本垒为 O 点(如图所示). 设从击出球到接着球的时间为 t,球速为 v,则∠AOB=15°, 2分 OB=vt, AB ≤

v ?t 。 4 OB AB , 4分 = sin ∠OAB sin15o

在△AOB 中,由正弦定理,得

?∴ sin ∠OAB =

OB vt 6? 2 sin15o ≥ ? = 6 ? 2 高考资源网 AB vt / 4 4

而 ( 6 ? 2) 2 = 8 ? 4 3 > 8 ? 4 × 1.74 > 1 ,即 sin∠OAB>1, ∴这样的∠OAB 不存在,因此,游击手不能接着球. 12 分

20. (本小题满分 12 分)
(1)当 0 < x ≤ 10 时, f ( x ) = ?0.1x + 2.6 x + 43
2

为开口向下的二次函数,对称轴为 x = 13 故 f ( x ) 的最大值为 f (10 ) = 59 当 10 < x ≤ 16 时, f ( x ) = 59 当 x > 16 时, f ( x ) 为减函数,且 f ( x ) < 59 因此,开讲 10 分钟后,学生达到最强接受能力(为 59),能维持 6 分钟时间.…5 分 (2) f (5) = 53.5 , f (15) = 59 故开讲 15 分钟时学生的接受能力比开讲 5 分钟时要强一些. (3)令 f ( x ) = 55 解得 x = 6 或 x = ……………8 分

52 52 ,且当 6 ≤ x ≤ 时 f ( x ) ≥ 55 3 3 52 34 因此学生达到(含超过)55 的接受能力的时间为 ?6= > 10 3 3

老师能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题. ……………12 分

21. (本小题满分 12 分)
解(Ⅰ) a ? b = 5 3 cos x sin x + 2 cos x, b
2 2

= sin 2 x + 4 cos 2 x

f ( x ) = 5 3 cos x sin x + sin 2 x + 6 cos 2 x =
=

5 3 1 ? cos 2 x sin 2 x + + 3(1 + cos 2 x ) 2 2

5 3 sin 2 x + 5 cos 2 x + 7 π? 7 ? = 5 sin ? 2 x + ? + 2 6? 2 ? 2π 17 3 = π , f ( x )的最大值和最小值分别为 ,? 2 2 2

∴T =

(Ⅱ) f ( x ) 的单调递增区间为 2kπ ?

π

∴ kπ ?

π
3

≤ x ≤ kπ +

π π
6 ,∴ 0 ≤ x ≤

2

≤ 2x +

π

6

≤ 2kπ +

π
2

令k = 0,∴ ?

π
3

≤x≤

π
6

6

k = 1,

2π 7π 2π ? π ? ? 2π ? ≤x≤ ,∴ ≤ x ≤ π ∴ [0, π ] 上的单调递增区间为 ?0, ?, ? , π ? 3 6 3 ? 6? ? 3 ?

22. (本小题满分 14 分)
8 2 4 4 8 f ′( ) = + a + = 0 (1) 解: 得 a = ?1 , 9, 3 9 3 9 2 20 1 3 8 2 且 f( )= , b = 0 ,则 f ( x ) = x ? x + x ………4 分 3 81 3 9 8 f ′( x) = x 2 ? 2 x + 9 4 2 2 4 令f ′( x) > 0得x > 或x < ; f ′( x) < 0得 < x < ; 3 3 3 3 2 4 2 4 ……7 分 ∴ f (x)的递增区间为( ? ∞, ),( , ∞) 递减区间为 ( , ) + ; 3 3 3 3 f ′( x) = x 2 + 2ax +
(II)由(1)得 x -1

2 (?1, ) 3
+

2 3
0

2 4 ( , ) 3 3


4 3
0

4 ( , 2) 3
+

2

f ' ( x) f (x)
?

16 增 81 20 4 20 4 所以当 x1 ∈ [? 1,2] 时, ? ≤ f ( x1 ) ≤ , ? ≤ 3 f ( x1 ) ≤ 9 9 3 3


20 9

20 81

4 9
……10 分

假设对任意的 x1 ∈ [? 1,2] 都存在 x0 ∈ [0,1] 使得 g ( x0 ) = 3 f ( x1 ) 成立, 设 g ( x0 ) 的最大值为 T,最小值为 t,则 T ≥ 又 g ′( x) = x 2 + m 2 ,所以当 x0 ∈ [0,1] 时

4 20 ,t ≤ ? 3 3

1 2 4 2 + m 2 ? m + 1 ≥ , m ≥ , 或m ≤ 0 3 3 3 3 2 20 23 且 t = g ( 0) = ? m + 1 ≤ ? , m≥ . 3 3 2 23 综上, m ≥ 2 T = g (1) =

………14 分


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