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26.3 实际问题与二次函数 第1课时


26.3

实际问题与二次函数
第1课时

1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方法,并会 应用函数关系式求利润的最值; 2.会应用二次函数的性质解决实际问题.

1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 x=3 , 顶点坐标是 (3,5) .当x= 3 时,y的最 小 值 是 5 . 2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 x=-4 , 顶点坐标是 (-4,-1) .当x= -4 时,函数有最大 ___ 值,是 -1 . 3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 x=2 ,顶 大 点坐标是 (2,1) .当x= 2 时,函数有最_______ 值,是 1 .

问题:用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大? 分析:先写出S与l的函数关系式,再求出使S最大的l的值. 矩形场地的周长是60m,一边长为l,则另一边长为
( 60 ? l) m,场地的面积: S=l(30-l) 即S=-l2+30l (0< l<30) 2

请同学们画出此函数的图象

s 可以看出,这个函数的图 象是一条抛物线的一部分, 这条抛物线的顶点是函数 图象的最高点,也就是说, 当l取顶点的横坐标时,这 个函数有最大值.
b 30 因此,当l ? ? ?? ? 15时 2a 2 ? (?1)
4ac ? b 2 ? 302 S有最大值 ? ? 225. 4a 4 ? (?1)

200

100

O

5

10 15 20 25 30

l

即l是15m时,场地的面积 S最大.(S=225㎡)

一般地,因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)
点,所以当
b 时,二次函数 y=ax2+bx+c有 x? ? 2a 2 4 ac ? b .

最小(大)值

4a

某商品现在的售价为每件60元, 每星期可卖出300件,市场调查 反映:如调整价格,每涨价1元, 每星期少卖出10件;每降价1元, 每星期可多卖出20件,已知商品 的进价为每件40元,如何定价才 能使利润最大? 请同学们带着以下几个问题读题 (1)题目中有几种调整价格的方法? (2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是自变量?哪些量随 之发生了变化?

分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况:⑴设每件涨价x元,则每星期售出商品 的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式.涨 价x元,则每星期少卖 10x 件,实际卖出 (300-10x) 件, 每件利润为 (60+x-40) 元,因此,所得利润
怎样确定x 的取值范 围

为 (60+x-40)(300-10x) 元.
y=(60+x-40)(300-10x) 即y=-10(x-5)2+6250 ∴当x=5时,y最大值=6250 (0≤x≤30)

也可以这样求极值
x?? b ? 5时,y最大值 ? ?10 ? 52 ? 100 ? 5 ? 6000 ? 6250 2a

所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元
y\元

6250 6000

可以看出,这个函数的图 像是一条抛物线的一部分, 这条抛物线的顶点是函数 图像的最高点,也就是说 当x取顶点坐标的横坐标时, 这个函数有最大值.由公式 可以求出顶点的横坐标.

0

5

30

x\元

在降价的情况下,最大利润是多少?请你参考(1)的过程 得出答案. 解析:设降价x元时利润最大,则每星期可多卖20x件,实 际卖出(300+20x)件,每件利润为(60-40-x)元,因此, 得利润 y=(300+20x)(60-40-x) 怎样确 =-20(x?-5x+6.25)+6125 定x的取 =-20(x-2.5)? +6125 (0<x<20) 值范围 ∴x=2.5时,y极大值=6125

你能回答了吧! 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价 能使利润最大了吗?

解决这类题目的一般步骤
(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的 实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.

1.(2010·包头中考)将一条长为20cm的铁丝剪成两 段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则
25 这两个正方形面积之和的最小值是 2 或12.5 cm2.

2.某商店购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元售 出,那么每月可售出500个,据销售经验,售价每提高1元,

销售量相应减少10个.
(1)假设销售单价提高x元,那么销售每个篮球所获得的利
x+10 元,这种篮球每月的销售量是 500?10x 个(用 润是_______

x的代数式表示)
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润? 如果是,说明理由,如果不是,请求出最大月利润,

此时篮球的售价应定为多少元?
8000元不是每月最大利润,最大月利润为9000元,此时篮

球的售价为70元.

3.(2010·荆门中考)某商店经营一种小商品,进价为
2.5元,据市场调查,销售单价是13.5元时平均每天销售 量是500件,而销售单价每降低1元,平均每天就可以多售 出100件. (1)假设每件商品降低x元,商店每天销售这种小商品的

利润是y元,请你写出y与x之间的函数关系式,并注明x的
取值范围; (2)每件小商品销售价是多少元时,商店每天销售这种 小商品的利润最大?最大利润是多少?(注:销售利润= 销售收入-购进成本)

解析:(1)降低x元后,所销售的件数是(500+100x), y=-100x2+600x+5500 (0<x≤11 )

(2)y=-100x2+600x+5500 (0<x≤11 )
配方得y=-100(x-3)2+6400 当x=3时,y的最大值是6400元. 即降价为3元时,利润最大. 所以销售单价为10.5元时,最大利润为6400元.

答:销售单价为10.5元时,最大利润为6400元.

4.(2011·菏泽中考)我市一家电子计算器专卖店每只进价

13元,售价20元,多买优惠 ;凡是一次买10只以上的,每
多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,例如,某 人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此,

所买的全部20只计算器都按照每只19元计算,但是最低价为
每只16元. (1).求一次至少买多少只,才能以最低价购买?

(2).写出该专卖店当一次销售x(只)时,所获利润y(元)与x
之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)若店主一次卖的只数在10至50只之间,问一次卖多少 只获得的利润最大?其最大利润为多少?

【解析】(1)设一次购买x只,才能以最低价购买,则有: 0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50. 答:一次至少买50只,才能以最低价购买 (2)
10) ?20 x ? 13x ? 7 x(0<x≤50 ? 1 ? y ? ?[(20 ? 13) ? 0.1( x ? 10)] ? ? x 2 ? 8 x(10<x<50) 10 ? ? ?16 x ? 13x =3x( x≥50)
y?? 1 2 x ? 8x 10

(说明:因三段图象首尾相连,所以端点10、50包括在哪个区间均可)

(3)将

配方得

y??

1 (x ? 40) 2 ? 160 10

,所以店主一次卖

40只时可获得最高利润,最高利润为160元.(也可用公式
法求得)

5.(2010?安徽中考)春节期间某水库养殖场为适应市场需
求,连续用20天时间,采用每天降低水位以减少捕捞成本 的办法,对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售.九(1)班数 学建模兴趣小组根据调查,整理出第x天(1≤x≤20且x为 整数)的捕捞与销售的相关信息如表:

(1)在此期间该养殖场每天的捕
捞量与前一末的捕捞量相比是如 何变化的?

(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失,且 能在当天全部售出,求第x天的收入y(元)与x(天)之 间的函数关系式?(当天收入=日销售额-日捕捞成本)

试说明(2)中的函数y随x的变化情况,并指出在第几天
y取得最大值,最大值是多少?

解:(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10kg;

(2)由题意,得
x y ? 20(950 ? 10x) ? (5 ? )(950 ? 10x) F 5 ? ?2x 2 ? 40x ? 14250

(3)∵-2<0,y=-2x2+40x+14250=-2(x-10)2+14450, 又∵1≤x≤20且x为整数, ∴当1≤x≤10时,y随x的增大而增大;

当10≤x≤20时,y随x的增大而减小;
当x=10时即在第10天,y取得最大值,最大值为14450.

1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题,特别是如

何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时,根据利润公式等关系写

出二次函数表达式是解决问题的关键.


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