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高二数学上学期期中模拟试题


高二数学期中测试题
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.化简 sin 2013? 的结果是( A. sin 33? ) C. ? sin 33? D. ? cos 33? ) B. cos 33?

12.关于 x 的方程 x2 ? (a ? 1) x ? a ? b ? 1 ? 0(a ? 0, a、b ? R)

的两实根为 x1 , x2 , 若 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则 A. ( ?2, ? )

4 5

b 的取值范围是( a 3 4 B. ( ? , ? ) 2 5
2

) C. ( ?

5 2 ,? ) 4 3

D. ( ?

5 1 ,? ) 4 2

2.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ∥ b ,则 x ? ( A. ?1 B.1 C. ?9 D.9

?

?

?

?

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.已知不等式 x ? 2 ? 1的解集与不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集相同,则 a ? b 的值为_______. ) 14.数列 {an } 中, a3 ? 2, a7 ? 1,且数列 { 15.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?

3.公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 ? ( A. 1 B. 2 C. ? ) D. ?

1 } 是等差数列,则 a11 等于___________. an ? 1
.

4. 在 ?ABC 中,已知 c ? 2a cos B ,那么 ?ABC 一定是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形

2 , ? a ? b ? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为

D.等腰直角三角形 )

16. 已知 x, y ? R ?,且x ? 4 y ? 4,则xy 的最大值为___________. 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

5.已知非零实数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式成立的是( A. a ? b
2 2

1 1 B. ? a b

a b C. 2 ? 2 b a

D. a b ? ab
2

2

17. (10 分)解不等式: (Ⅰ) )

6.已知集合 M ? x | x ? x ? 3? ? 0 , N ? x | x ? 2 ,则 M ? N = ( A. ?? 2,0? B. ?0,2? C. ?2,3? D. ?? 2,3? ) D. 4

?

?

?

?

4? x ?0 ; x

(Ⅱ) ( x ? 2a)(ax ? 1) ? 0 (其中a ? 0) .

7.已知向量 a ? (1, 3) , b ? (?1,0) ,则 | a ? 2b |? ( A. 1 B.

?

?

?

?

2

C. 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? y 8. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 的最大值为( x ?x ? 1 ?
A. 6 9.若函数 y ? cos ? ? x ? A.1 B. 3



18. (12 分)在等差数列 {an } 中, a2 ? a3 ? 7, a4 ? a5 ? a6 ? 18. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求

9 C. 5

D. 1

1 1 1 ? ?? ? . S3 S 6 S3 n

? ?

?? ?? ? * ? ? ? ? N ? 的一个对称中心是 ? ,0 ? ,则 ? 的最小值为(
6? ?6 ?
B.2 C.4 D.8 )



10.P是 ?ABC 所在平面内一点,若 CB ? ? PA ? PB ,其中 ? ? R ,则P点一定在( (A) ?ABC 内部(B)AC边所在直线上 (C)AB边所在直线上 (D)BC边所在直线上

11.设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, 则 ?an ? 的前 5 项和 S 5 = ( a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, A. 10 B. 15 C. 20 D. 30



19. (12 分)在 ?ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 b ? c ? a ? bc.
2 2 2

21. (12 分 ) 已 知 角 A、B、C 是 ?ABC 的 三 个 内 角 , a、b、c 是 各 角 的 对 边 , 若 向 量

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin

9 A? B? A? B? ?5 ? m ? ?1 ? cos(A ? B), cos ? , n ? ? , cos ? ,且 m ? n ? . 8 2 ? 2 ? ?8 ?
(Ⅰ)求 tan A ? tan B 的值; (Ⅱ)求

x x x 2 ?1 时,若 a ? 3 ,求 b 的值. cos ? cos 2 ,当f ( B) ? 2 2 2 2

ab sin C 的最大值. a ? b2 ? c2
2

20. (12 分)数列{an } 满足 an ? 2an?1 ? 2 n ? 1(n ? N * , n ? 2) , a3 ? 27 .

22.(本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,满足: Sn ? 2an ? 2n(n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 的满足 bn ? log2 (an ? 2) , Tn 为数列 {

1 * (Ⅰ)求 a1 , a 2 的值; (Ⅱ)已知 bn ? n ( a n ? t )( n ? N ) ,若数列{bn } 成等差数列,求实数 t . 2

1 bn } 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? 2

高二数学期中测试题答案
一. CCAAC BCABB BD 二.13. ?1 ;14.

1 ? ;15. ;16. 1. 2 4 1 . a

三.解答题:17.(Ⅰ){x | x ? 0或x ? 4} ; (Ⅱ)解:方程 (x ? 2a)(ax ? 1) ? 0 的两根是 2 a , (1)若 a ? ?

1 2 2 ,则 2 a ? ,原不等式的解集是 {x ? R | x ? ? } ; a 2 2 1 1 2 ,则 2 a ? ,原不等式的解集是 {x | x ? 2a或x ? } ; a a 2

(2)若 a ? ?

(3)若 ?

1 1 2 ? a ? 0 ,则 2 a ? ,原不等式的解集是 {x | x ? 或x ? 2a} . a a 2

18.解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,依题意,
?a1+d+a1+2d=7, ? 解得 a1=2,d=1, ?a1+3d+a1+4d+a1+5d=18,

∴an=2+(n-1) ×1=n+1. 1 2 2 1 1 = = ( - ). S3n 9n(n+1) 9 n n+1

an ? 1 an ?1 ? 1 a ?1 a ?1 ? n ?1 ? 1 (n ? N * , n ? 2) ? n n ? n ?1 ? 1 (n ? N * , n ? 2) , n n ?1 2 2 2 2 1 * 令 bn ? n (an ? 1)(n ? N ) ,则数列{bn } 成等差数列,所以 t ? 1 . 2 ?? ?? ? 9 A? B A? B ? 5 ) ,且 m ? n ? , ) , n ? ( , cos 21.解: (Ⅰ)由 m ? (1 ? cos( A ? B ), cos 8 8 2 2 5 9 2 A? B ? .∴ 4cos( A ? B) ? 5cos( A ? B) , 即 [1 ? cos( A ? B)] ? cos 8 2 8 1 即 cos A cos B ? 9sin A sin B ,∴ tan A tan B ? . 9 ab sin C ab sin C 1 ? ? tan C ,-------8 分 (Ⅱ)由余弦定理得 2 2 2 a ?b ?c 2ab cos C 2 tan A ? tan B 9 9 3 ? (tan A ? tan B) ? ? 2 tan A tan B ? , 而∵ tan( A ? B ) ? 1 ? tan A tan B 8 8 4 3 即 tan( A ? B) 有最小值 .又 tan C ? ? tan( A ? B) , 4 3 1 ab sin C 3 ∴ tan C 有最大值 ? (当且仅当 tan A ? tan B ? 时取等号) ,所以 2 的最大值为 ? . 2 2 4 8 3 a ?b ?c ?
22.(Ⅰ)解: n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2 ,则 a1 ? 2 , 当 n ? N 时, Sn ? 2an ? 2n ,
*

3n(a1+a3n) 3n(2+3n+1) 9n(n+1) (Ⅱ)S3n= = = , 2 2 2

1 1 1 2 1 1 1 1 1 2n ∴ + +…+ = [(1- )+( - )+…+( - )]= . S3 S6 S3n 9 2 2 3 n n+1 9(n+1)

则当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ? 1)

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 19. (Ⅰ)解:在 ?ABC 中,由余弦定理知 cos A ? 2bc 2
注意到在 ?ABC 中, 0 ? A ? ? ,所以 A ?

两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 ? 2 ,即 an ? 2an?1 ? 2 ,∴ an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) ,∴

an ? 2 ? 2 ,当∴ an?1 ? 2

?
3

为所求.

{an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,∴ an ? 2 ? 4 ? 2n?1 ,∴ an ? 2n?1 ? 2 ;
(Ⅱ)证明: bn ? log2 (an ? 2) ? log2 2n?1 ? n ? 1 ,∴ 则 Tn ?

x x 1 1 1 2 ? 1 2 x (Ⅱ)解: f ( x) ? sin cos ? cos ? sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? , 2 2 2 2 2 2 2 4 2

bn n ?1 ? n ?1 , an ? 2 2

? 2 ? 1 2 ?1 sin( B ? ) ? ? 由 f ( B) ? 得 sin( B ? ) ? 1, 4 2 4 2 2
注意到 0 ? B ?

? 2 ? ? 11? a sin B ?, ? B ? ? ? 2. ,所以 B ? ,由正弦定理, b ? 4 3 4 4 12 sin A

20.解: (Ⅰ)由 an ? 2an?1 ? 2 n ? 1(n ? N * , n ? 2) ,得 a3 ? 2a2 ? 23 ? 1 ? 27 ? a2 ? 9 .

a2 ? 2a1 ? 22 ? 1 ? 9 ? a1 ? 2 .
(Ⅱ) an ? 2an?1 ? 2n ?1(n ? N * , n ? 2) ? (an ?1) ? 2(an?1 ?1) ? 2n (n ? N , n ? 2)
*

1 2 3 n n ?1 Tn ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 , 两式相减得 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 2 1 1 1 n ?1 1 4 2 ? n ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ?1 ? 3 ? n ? 3 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 1 4 2 2n ?1 2n ? 2 4 2n ? 2 2 2 2 2 2 2 4 2n ? 2 1? 2 3 n?3 n ? 3 n ? 2 n ?1 ,? Tn ? ? n ?1 ,当 n ? 2 时, Tn ? Tn ?1 ? ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 0 , 2 2 2 2 2 1 ∴ {Tn } 为递增数列,∴ Tn ? T1 ? . 2

2 3 n ?1 ? 3 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2


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