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以本为根,枝繁叶茂——从一道课本题谈起


『 新赢营 数学  值, 再利用单调性 的定义判 断证 明, 最 后 运  分析  本 题 重 点 是 运 用 定 义 判 断 奇  偶 性.   用两 个性 质解 决恒 成 立 问题 .   解  ( 1 )由已知得 - 厂 ( -x ) 一一, ( z ) ,   I 即 F   b +  2 -  ̄ -   解  ( 1 )定 义 域 为 ( 一。 。 , 0

) U( 0 ,   2  ̄ - b , 一   。) .   整理得 ( 口+ 6 ) 2 。  +  + 。 2( ab + 1) 2  + C t + 6= = = 0。   ( 2 ) 厂 ( 一 z ) 一 (  j+ — } ) ( 一 z ) 。   f 口一 1 ,   f   C t +b = = = 0,   所 以 有  f d= 一 】.   I b   1 .     . 解 之 得  或  一 I 口 6 +1 — 0,   l b 一一1   一 (   一 丢 )   3   (   一 专 ) z 3   ( \   2  1一 一     2 ) /   z 。   又 ,( z ) 的定 义域 为 R, 所以 口 一1 ,   一 b 一 一 1.   ( 2 )   ) 知 m ) ;  =1 一   ,   一 (   + 专 ) z 。   , ( z ) 在 R 上 是 增 函数 , 证 明 同问题 ( 1 ) .   一 厂( z) ,   ( 3 )因 为 , ( z ) 为 奇 函数 , 所 以 f( 2 t 。 +   所 以, - 厂 ( z ) 为偶 函数 .   ( 3 )当 x > O时 , 2   一1 >0 , z 。 >0 , 所 以  , ( z ) >0 ; 当 z < 0时 , 一z >0 , 则 厂( z) 一  4 t ) +厂 ( 是 一t 。 ) < 0就 等 价 于 厂 ( 2 £   +4 t ) <  f( t 。 -k ) ,   再 由( 2 ) 得2 £   +4 £ < 一k在 t ∈[ 一3 ,   - 厂 ( 一 ) >O . 故 厂 ( z ) >0 .   3 ] 上 恒成 立 , 所以 k < 一t   一4 t 在t ∈[ 一3 ,   3 ] 上恒 成立 , 故 忌 < 一2 1 .   评析  本题 奇偶 性 的判 断有 一定 难  度, 主要 难在对 - 厂 ( 一z ) 的变 形 消 除 与 f ( x )   评析  问题 ( 2 ) 中的函数 就是将题根  的结 构差 异 , 解决 了问( 2 ) 以后, 问( 3 ) 的 证  中 的函数 里 的 一1 , 1分别 换 为参数 b , C t , 考查  明就 水 到渠成 了 , 利 用 奇 偶 性 只要 证 明定 义  了两个 性 质 , 并 运 用 性 质 解 决 不 等式 恒 成 立  问题 , 综合 性 较强 .   问 题 3   已 知 函 数 f (z ) 一  域 的一半 为正 即可. 这 里 的 函数 与题 根 中的  函数有何 联 系呢 ?我们 不 妨 先做 变 形 , 厂 (  )   一  2   ( 2   1   z   一 )   2(   一1 )一 ’ 一 2   其 中 Y一   ’   (   +   )   ( 1 )求 函数 _ 厂 ( z ) 的定 义域 ;   ( 2 )判 断