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C-2003年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工农医类)


2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)



学(理工农医类)
第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 10 页。考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4π R2 如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 P(A·B)=P(A) ·P(B) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P.

4 V ? ?R 3 3

那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 其中 R 表示球的半径
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n?k

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.

1 ? 3i ( 3 ? i) 2
A.

?





1 3 ? i 4 4

B. ?

1 3 ? i 4 4

C.

1 3 ? i 2 2

D. ?

1 3 ? i 2 2
( )

2. 已知 x ? (? A.

?
2

,0), cos x ?

7 24

4 , 则 tan 2 x ? 5 7 24 B.- C. 24 7

D.-

24 7
( )

?2 ? x ? 1, x ? 0, ? 3.设函数 f ( x) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是 , ?x 2 x?0 ?
-1-

A. (-1,1) B. (-1,+∞) C. (-∞,-2)∪(0,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 4.O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (
A.外心 5.函数 y ? ln A. y ?

AB | AB |

?

AC | AC |

? ? ? [0,?? ). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的
C.重心 D.垂心





B.内心

x ?1 , x ? (1,?? ) 的反函数为 x ?1
B. y ?





ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1


C. y ?

D. y ?

6.棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为(

a3 A. 3

a3 B. 4

a3 C. 6

a3 D. 12

2 7.设 a ? 0, f ( x) ? ax ? bx ? c ,曲线 y ? f (x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切处的倾斜角的取值

范围为 [0, A. [ 0, ] C. [0, |

?
4

] ,则 P 到曲线 y ? f (x) 对称轴距离的取值范围为 1 ] 2a b ?1 |] D. [0, | 2a
B. [0,
2





1 a

b |] 2a
2

8.已知方程 ( x ? 2 x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成的一个首项为

1 的等差数列,则 4
( )

| m ? n |?
A.1 B.

3 4

C.

1 2

D.

3 8

9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0),直线y ? x ? 1与其相交于M、N 两点, MN 中点的横坐标为 ?

2 , 则此双曲线的方程是 3
B.
-2-





A.

x2 y2 ? ?1 3 4

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 5 2

D.

x2 y2 ? ?1 2 5

10.已知长方形的四个顶点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)和 D(0,1).一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2,P3 和 P4(入射角等于反射角) 。设 P4 的坐标为(x4,0) ,若 1 ? x4 ? 2 , 则 tan ? 的取值范围是 A. ( ( )

1 ,1) 3

B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , )

2 1 5 2

D. ( , )

2 2 5 3

2 2 2 C2 ? C32 ? C4 ? ? ? Cn 11. lim ? n?? n(C 1 ? C 1 ? C 1 ? ? ? C 1 ) 2 3 4 n





A.3

B.

1 3

C.

1 6

D.6 )

12.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 ( A.3π B.4π C. 3 3? D.6π

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13. ( x ?
2

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是 2x

.

14.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆,为检验该公司的 产品质量。现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 , , 辆。 15.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分 (如图).现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方 法有 。 (以数字作答) 16.下列五个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 l⊥面 MNP 的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)

-3-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) . (1)求函数 f (x) 的最小正周期和最大值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y ? f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的图象. 2 2

-4-

18. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, ∠ACB=90°,侧棱 AA1=2, D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G. (Ⅰ)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离.

19. (本小题满分 12 分) 设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ?

x ? ln(x ? a)(x ? (0,??) 的单调区间.

-5-

20. (本小题满分 12 分) A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1,A2,A3,B 队队员是 B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下: 对阵队员 A 1 对 B1 A 2 对 B2 A 3 对 B3 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率

2 3 2 5 2 5

1 3 3 5 3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总 分分别为ξ 、η (1)求ξ 、η 的概率分布; (2)求 Eξ ,Eη .

-6-

21. (本小题满分 14 分) 已知常数 a>0,向量 c=(0,a) ,i=(1,0) ,经过原点 O 以 c+λ i 为方向向量的直线与 经过定点 A(0,a)以 i-2λ c 为方向向量的直线相交于点 P,其中λ ∈R.试问:是否存 在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出 E、F 的坐标;若不存在,说明理 由.

-7-

22. (本小题满分 14 分) 设 a0 为常数,且 an ? 3n?1 ? 2an?1 (n ? N ) (1)证明对任意 n ? 1, a n ?

1 n [3 ? (?1) n ?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 ; 5

(2)假设对任意 n ? 1 有 an ? an?1 ,求 a0 的取值范围.

-8-

2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学试题(理工农医类)参考解答
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 60 分。 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分。 13. ? 三、解答题 17.本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分 12 分. 解: (1)

21 2

14.6,30,10

15.120

16.①④⑤

f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x
? 1 ? 2 (sin 2 x cos

?

? cos 2 x sin ) 4 4

?

? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
4

)

所以函数

f (x) 的最小正周期为 ? ,最大值为 1? 2 .
x y ? 3? ? ? 3? 5? ? 8 8 8 8 8 1 1? 2 1 1? 2 1

(2)由(1)知

故函数

y ? f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的图象是 2 2

18.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)解:连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点,连结 EF、FC,
? D, E分别是CC1 , A1 B的中点, 又DC ? 平面ABC,? CDEF为矩形 连结DE, G是?ADB的重心,? G ? DF.在直角三角形EFD中 1 EF 2 ? FG ? FD ? FD 2 ,? EF ? 1,? FD ? 3.?? (4分) 3 1? 2 6 于是ED ? 2 , EG ? ? . 3 3 ? FC ? CD ? 2 ,? AB ? 2 2 , A1 B ? 2 3 , EB ? 3. ? sin ?EBG ? EG 6 1 2 ? ? ? . EB 3 3 3 2 . 3

? A1 B与平面ABD所成的角是arcsin

-9-

(Ⅱ)连结 A1D,有 VA ? AED
1

? VD? AA1E

? ED ? AB, ED ? EF, 又EF ? AB ? F ,
? ED ? 平面A1 AB , 设 A1 到平面 AED 的距离为 h,
则 S ?AED ? h ?

S ?A1AB ? ED

? A1 K ?

2 6. 3

故 A1 到平面 AED 的距离为

2 6 3

.

19.本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分 12 分. 解:

f ?( x) ?

1 2 x

?

1 ( x ? 0) . x?a

当a

? 0, x ? 0 时

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0
(i)当 a 即

? 1 时,对所有 x ? 0 ,有 x 2 ? (2a ? 4) ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 在 (0,??) 内单调递增.
? 1 时,对 x ? 1 ,有 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,

(ii)当 a 即

f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 在(0,1)内单调递增,又知函数 f (x) 在 x=1 处连续,因此, f (x) 在(0,+ ? )内单调递增
? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,即 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .
1 ? a , 或x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .

函数

(iii)当 0

解得 x ? 2 ? a ? 2 因此,函数

f (x) 在区间 (0,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增,在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a ,??)

内也单调递增. 令

f ?( x) ? 0,即x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,
1? a ? x ? 2 ? a ? 2 1? a .

解得 2 ? a ? 2 因此,函数

f (x) 在区间 2 ? a - 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减. (

20.本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力(满分 12 分). - 10 -

解: (1)ξ 、η 的可能取值分别为 3,2,1,0.

P(? ? 3) ?
P(? ? 2) ?
P(? ? 1) ?

2 2 2 8 ? ? ? 3 5 5 75
2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

2 3 3 1 2 3 1 3 2 2, ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5

P(? ? 0) ?
又 S ?B AE
1

1 3 3 3 ? ? ? 3 5 5 25

?

1 1 S ?A1 AB ? A1 A ? AB ? 2 , 2 4
? 2 6. 3

S ?AED ?

1 6, AE ? ED ? 2 2

h?

2? 2 6 2

解法二: (1)连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠A1BG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系,坐标原点为 O,设 CA=2a, 则 A(2a,0,0) ,B(0,2a,0) ,D(0,0,1) A1(2a,0,2) E(a,a,1) G(

2a 2a 1 , , ). 3 3 3

a a 2 ? GE ? ( , , ), BD ? (0,?2a,1) , 3 3 3 2 2 ? GE ? BD ? ? a 2 ? ? 0 ,解得 a=1. 3 3 2 4 1 ? BA1 ? (2,?2,2), BG ? ( ,? , ), 3 3 3
? cos?A1 BG ? BA1 ? BG ? | BA1 || BG | 14 / 3 7. ? 1 3 2 3? 21 3

A1B 与平面 ABD 所成角是 arccos

7 3

.

(2)由(1)有 A(2,0,0) 1(2,0,2) ,A ,E(1,1,1) ,D(0,0,1)

AE ? ED ? (?1,1,1) ? (?1,?1 0) 0, 1 ? ED ? (0,0,2) ? (?1,?1,0) ? 0 , ? AA
? ED ? 平面 AA1E,又 ED ? 平面 AED. ∴平面 AED⊥平面 AA1E,又面 AED ? 面 AA1E=AE,
∴点 A 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上. 设

AK ? ? AE ,

则AK 1

? A1 A ? AK ? (??, ?, ? ? 2)
- 11 -



A1 K ? AE ? 0 ,即 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ,

解得 ?

?

2 . 3

2 2 4 ? A1 K ? (? , ,? ) 3 3 3
根据题意知ξ +η =3,所以 P(η =0)=P(ξ =3)=

8 , P(η 75
.

=1)=P(ξ =2)=

28 75

P(η =2)=P(ξ =1)= (2) E?

2 5

,

P(η =3)=P(ξ =0)=

3 25

? 3?

8 28 2 3 22 ; 因为ξ +η =3,所以 ? 2? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15

E? ? 3 ? E? ?

23 . 15

21.本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质, 曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力,满分 12 分. 解:根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点 P 到两定点 距离的和为定值. ∵i=(1,0) ,c=(0,a) , ∴c+λ i=(λ ,a) ,i-2λ c=(1,-2λ a). 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为

?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax .

消去参数λ ,得点 P( x, y) 的坐标满足方程 y( y ? a) ? ?2a 2 x 2 .

整理得

x2 ? 1 8

a ( y ? )2 2 ? 1. ……① a 2 ( ) 2

因为 a

? 0, 所以得:

(i)当 a

?

2 2

时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F;

(ii)当 0 ? a ? 个定点; (iii)当 a ?

2 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( 1 2 2

1 a 1 1 a ? a 2 , ) 和 F (? ? a 2 , ) 为合乎题意的两 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 时,方程①也表示椭圆,焦点 E (0, (a ? a 2 ? )) 和 F (0, (a ? a 2 ? )) 为合乎 2 2 2 2 2

题意的两个定点. 22.本小题主要考查数列、等比数列的概念,考查数学归纳法,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题 的能力,满分 14 分. (1)证法一: (i)当 n=1 时,由已知 a1=1-2a0,等式成立; (ii)假设当 n=k(k≥1)等式成立,则 a k 那么 a k ?1

1 ? [3 k ? (?1) k ?1 2 k ] ? (?1) k 2a 0 , 5

2 ? 3 k ? 2a k ? 3 k ? [3 k ? (?1) k ?1 2 k ] ? (?1) k 2 k ?1 a0 5 1 k ?1 ? [3 ? (?1) k 2 k ?1 ] ? (?1) k ?1 2 k ?1 a 0 . 5
- 12 -

也就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 证法二:如果设 an

根据(i)和(ii) ,可知等式对任何 n∈N,成立. 用 an

? 3n?1 ? 2(an?1 ? a3n?1 ),

? 3n?1 ? 2an?1 代入,可解出 a ?

1 . 5

n 所以 ?a ? 3 ? 是公比为-2,首项为 a ? 3 的等比数列. ? n ? 1 5 5? ?

? an ?

3n 3 3n ? (?1) n ?1 2 n ? (1 ? 2a0 ? )(?2) n ?1 (n ? N ). 即 a n ? ? (?1) n 2 n a0 . 5 5 5

2 ? 3n?1 ? (?1) n?1 3 ? 2 n?1 ? (?1) n 3 ? 2 n?1 a0 . 5 3 ? an ? an?1 (n ? N ) 等价于 (?1) n ?1 (5a0 ? 1) ? ( ) n ? 2 (n ? N ). ……① 2 3 (i)当 n=2k-1,k=1,2,…时,①式即为 ( ?1) 2 k ? 2 (5a 0 ? 1) ? ( ) 2 k ?3 2 1 3 1 即为 a 0 ? ( ) 2 k ?3 ? . ……② 5 2 5
(2)解法一:由 an 通项公式

a n ? a n?1 ?

②式对 k=1,2,…都成立,有

a0 ?

1 3 ?1 1 1 ?( ) ? ? . 5 2 5 3

(ii)当 n=2k,k=1,2,…时,①式即为 即为

3 (?1) 2 k ?1 (5a 0 ? 1) ? ( ) 2 k ? 2 . 2

1 3 1 a 0 ? ? ? ( ) 2 k ? 2 ? . ……③ ③式对 k=1,2,…都成立,有 5 2 5 1 3 1 1 a 0 ? ? ? ( ) 2?1? 2 ? ? 0. 综上,①式对任意 n∈N*,成立,有 0 ?a 0 ? . 5 2 5 3 1 故 a0 的取值范围为 (0, ). 3
解法二:如果 a n

? an?1 (n∈N*)成立,特别取 n=1,2 有 a1 ? a0 ? 1 ? 3a0 ? 0.
因此

a2 ? a1 ? 6a0 ? 0.
an ? an?1 ? 0.

1 0 ? a0 ? . 3

下面证明当 0

1 ? a 0 ? . 时,对任意 n∈N*, 3

由 an 的通项公式

5(an ? an?1 ) ? 2 ? 3n?1 ? (?1) n?1 3 ? 2n?1 ? (?1) n 5 ? 3 ? 2n?1 a0 .

(i)当 n=2k-1,k=1,2…时,

5(an ? an?1 ) ? 2 ? 3n?1 ? 3? 2 n?1 ? 5 ? 3? 2 n?1 a0

? 2 ? 2 n?1 ? 3 ? 2 n?1 ? 5 ? 3 ? 2 n?1 ? 0
(ii)当 n=2k,k=1,2…时, 5(an ? an?1 ) ? 2 ? 3n?1 ? 3? 2 n?1 ? 5 ? 3? 2 n?1 a0

? 2 ? 3n?1 ? 3 ? 2 n?1 ? 0.
故 a0 的取值范围为 (0,

1 ). 3
- 13 -


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