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人教a版必修1学案:2.2对数函数(含答案)


2.2

对数函数

解读对数概念及运算 对数是中学数学中重要的内容之一, 理解对数的定义, 掌握对数的运算性质是学习对数 的重点内容.现梳理这部分知识,供同学们参考. 一、对数的概念 对数概念与指数概念有关, 指数式和对数式是互逆的, 即 ab=N?logaN=b(a>0, 且 a≠1), b 据此可得两个常用恒等式:(1)loga

a =b;(2)alogaN=N. 1 例 1 计算:log22+log51+log3 +9log32. 27 分析 根据定义,再结合对数两个恒等式即可求值. - 解 原式=1+0+log33 3+(3log32)2=1-3+4=2. 点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数. 二、对数的运算法则 常用的对数运算法则有:对于 M>0,N>0. (1)loga(MN)=logaM+logaN; M (2)loga =logaM-logaN; N (3)logaMn=nlogaM. 7 例 2 计算:lg 14-2lg +lg 7-lg 18. 3 分析 运用对数的运算法则求解. 解 由已知,得 原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. 点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证, 同学们必须能从正反两方面熟练应用. 三、对数换底公式 根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式: logcb logab= (a>0 且 a≠1,c>0 且 c≠1,b>0). logca 由对数换底公式又可得到两个重要结论: m (1)logab· logba=1;(2)loganbm= logab. n log32 例 3 计算:(log25+log4125)× . log 35 分析 在利用换底公式进行化简求值时, 一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数 进行换底,也可选择以 10 为底进行换底. 3 log32 解 原式=(log25+ log25)× 2 2log35 5 1 5 = log25× log52= . 2 2 4 点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具,同学们要牢记. 通过上面讲解, 同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据, 正确进行它 们之间的相互转换是解题的有效途径.对数的运算性质,同学们要熟练掌握,在应用过程中 避免错误,将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界.

对数换底公式的证明及应用 logcN 设 a>0,c>0 且 a≠1,c≠1,N>0,则有 logaN= ,这个公式称为对数的换底公式, logca 它在对数的运算中有着重要的应用,课本中没有给出证明,现证明如下: 证明 记 p=logaN,则 ap=N.* *式两边同时取以 c 为底的对数(c>0 且 c≠1)得 logcap=logcN,即 plogca=logcN. logcN logcN 所以 p= ,即 logaN= . logca logca 推论 1:logab· logba=1. m 推论 2:loganbm= logab(a>0 且 a≠1,b>0). n 例 4 (1)已知 log189=a,18b=5,求 log3645 的值; (2)求 log23· log34· log45· ?· log6364 的值. 解 (1)因为 log189=a,18b=5, lg 9 所以 =a. lg 18 所以 lg 9=alg 18,lg 5=blg 18. lg?5×9? lg 5+lg 9 所以 log3645= = 182 2lg 18-lg 9 lg 9 blg 18+alg 18 b+a = = . 2lg 18-alg 18 2-a (2)log23· log34· log45· ?· log6364 lg 3 lg 4 lg 5 lg 64 = · · · ?· lg 2 lg 3 lg 4 lg 63 lg 64 6lg 2 = = =6. lg 2 lg 2 点评 对数运算法则中,对数式都是同底的,凡不同底的对数运算,都需要用换底公式 将底统一,一般统一成常用对数. 1 5 例 5 已知 log8a+log4b= ,log8b+log4a2=7,求 ab 的值. 2 2 1 1 5 log a+ log b= , 6 2 2 2 2 解 由已知可得 1 log b+log2a=7, 3 2

? ? ?

?log2a+3log2b=15, ?log2a=6, ? ? 即? 解得? ? ? ?3log2a+log2b=21. ?log2b=3. 6 3 6 3 所以 a=2 ,b=2 .故 ab=2 · 2 =512. 点评 发现底数“4”,“8”与“2”的关系,将底数统一成“2”,解决问题比较简单. logaM logbM 此外还有下面的关系式:logNM= = ; logaN logbN logaM logaN logaM· logbN=logaN· logbM; = =logab;NlogaM=MlogaN. logbM logbN

对数函数图象及性质的简单应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式, 形象显示了函数的性质, 为研究它的数量关 系提供了“形”的直观性.它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径.能准确地作出对 数函数的图象是利用平移、 对称的变换来研究复杂函数的性质的前提, 而数形结合是研究与 对数函数的有关问题的常用思想.

一、求函数的单调区间 例 6 画出函数 y=log2x2 的图象,并根据图象指出它的单调区间. 解 当 x≠0 时,函数 y=log2x2 满足 f(-x)=log2(-x)2=log2x2=f(x), 所以 y=log2x2 是偶函数,它的图象关于 y 轴对称. 当 x>0 时,y=log2x2=2log2x,

因此先画出 y=2log2x(x>0)的图象为 C1,再作出 C1 关于 y 轴对称的图象 C2,C1 与 C2 构成函数 y=log2x2 的图象,如图所示. 由图象可以知道函数 y=log2x2 的单调减区间是(-∞,0),单调增区间是(0,+∞). 点评 作图象时一定要考虑定义域, 否则会导致求出错误的单调区间, 同时在确定单调 区间时,要注意增减区间的分界点,特别要注意区间的开与闭问题. 二、利用图象求参数的值 例 7 若函数 f(x)=loga(x+1)(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则 a 等于( 1 2 A. B. 2 C. D.2 3 2 )

解析 当 a>1 时,f(x)=loga(x+1)的图象如图所示. f(x)在[0,1]上是单调增函数,且值域为[0,1], 所以 f(1)=1,即 loga(1+1)=1, 所以 a=2, 当 0<a<1 时,其图象与题意不符,故 a 的值为 2,故选 D. 答案 D 点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论; (2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域). 三、利用图象比较实数的大小 例 8 已知 logm2<logn2,m,n>1,试确定实数 m 和 n 的大小关系.

解 在同一直角坐标系中作出函数 y=logmx 与 y=lognx 的图象如图所示,再作 x=2 的 直线,可得 m>n. 点评 不同底的对数函数图象的规律是: (1)底都大于 1 时,底大图低(即在 x>1 的部分底越大图象就越接近 x 轴);(2)底都小于 1 时,底大图高(即在 0<x<1 的部分底越大图象就越远离 x 轴). 四、利用图象判断方程根的个数 例 9 已知关于 x 的方程|log3x|=a,讨论 a 的值来确定方程根的个数.



因为 y=|log3x|

? x>1, ?log3x, =? ?-log3x, 0<x<1, ? 在同一直角坐标系中作出函数与 y=a 的图象,如图可知: (1)当 a<0 时,两个函数图象无公共点,所以原方程根的个数为 0; (2)当 a=0 时,两个函数图象有一个公共点,所以原方程根有 1 个; (3)当 a>0 时,两个函数图象有两个公共点,所以原方程根有 2 个. 点评 利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型, 与利用图象解不 等式一样,需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数),再 作图象.若含有参数,要注意对参数的讨论,参数的取值不同,函数图象的位置也就不同, 也就会引起根的个数不同.

三类对数大小的比较 一、底相同,真数不同 3 例 10 比较 loga 2与 loga 3的大小. 分析 底数相同,都是 a,可借助于函数 y=logax 的单调性比较大小. 3 3 解 由( 2)6=8<( 3)6=9,得 2< 3. 当 a>1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数, 3 故 loga 2<loga 3; 当 0<a<1 时, 函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数, 3 故 loga 2>loga 3. 点评 本题需对底数 a 的范围进行分类讨论, 以确定以 a 为底的对数函数的单调性, 从 而应用函数 y=logax 的单调性比较出两者的大小. 二、底不同,真数相同 例 11 比较 log0.13 与 log0.53 的大小. 分析 底数不同但真数相同, 可在同一坐标系中画出函数 y=log0.1x 与 y=log0.5x 的图象, 借助于图象来比较大小;或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题.

解 方法一 在同一坐标系中作出函数 y=log0.1x 与 y=log0.5x 的图象,如右图. 在区间(1,+∞)上函数 y=log0.1x 的图象在函数 y=log0.5x 图象的上方, 故有 log0.13>log0.53. 1 1 方法二 log0.13= ,log0.53= . log30.1 log30.5 因为 3>1,故 y=log3x 是增函数, 所以 log30.1<log30.5<0. 1 1 所以 > . log30.1 log30.5 即 log0.13>log0.53. 方 法 三 因 为 函 数 y = log0.1x 与 y = log0.5x 在 区 间 (0 , + ∞) 上 都 是 减 函 数 , 故 log0.13>log0.110=-1,log0.53<log0.52=-1,所以 log0.13>log0.53. 点评 方法一借助于对数函数的图象; 方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底 数的对数大小;方法三借助于中间值来传递大小关系.

三、底数、真数均不同 2 6 例 12 比较 log3 与 log5 的大小. 3 5 分析 底数、真数均不相同,可通过考察两者的范围来确定中间值,进而比较大小. 解 因为函数 y=log3x 与函数 y=log5x 在(0,+∞)上都是增函数, 2 6 故 log3 <log31=0,log5 >log51=0, 3 5 2 6 所以 log3 <log5 . 3 5 点评 当底数、真数均不相同时,可找中间量(如 1 或 0 等)传递大小关系,从而比较出 大小. 综上所述,比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利 用对数函数的单调性来比较大小, 对数函数的单调性由“底”的范围决定, 若“底”的范围 不明确,则需分“底数大于 1”和“底数大于 0 且小于 1”两种情况讨论,如例 10;二看真 数, 底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象, 或应用换底公式将其转化为同底的对数 来比较大小, 如例 11; 三找中间值, 底数、 真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如 1 或 0 等)来比较,如例 12. 初学对数给你提个醒 对数函数是函数的重要内容之一,由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌 握得不够好,经常出现解题错误,现将这些错误进行归纳并举例说明. 一、忽视 0 没有对数 例 13 求函数 y=log3(1+x)2 的定义域. 错解 对于任意的实数 x,都有(1+x)2≥0, 所以原函数的定义域为 R. 剖析 只考虑到负数没有对数.事实上,由对数的定义可知,零和负数都没有对数. 正解 {x|x≠-1} 二、忽视 1 的对数为 0 1 例 14 求函数 y= 的定义域. log2?2x+3? 3 错解 由 2x+3>0,得 x>- , 2 3 所以定义域为{x|x>- }. 2 剖析 当 2x+3=1 时,log21=0,分母为 0 没有意义,上述解法忽视了这一点. 3 正解 {x|x>- 且 x≠-1} 2 三、忽视底数的取值范围 例 15 已知 log(2x+5)(x2+x-1)=1,则 x 的值是( ) A.-4 B.-2 或 3 C.3 D.-4 或 5 错解 由 2x+5=x2+x-1,化简得 x2-x-6=0, 解得 x=-2 或 x=3.故选 B. 剖析 忽视了底数有意义的条件:2x+5>0 且 2x+5≠1.当 x=-2 时,2x+5=1,应舍 去,只能取 x=3. 正解 C 四、忽视真数大于零 x 例 16 已知 lg x+lg y=2lg(x-2y),求 log 2 的值. y 错解 因为 lg x+lg y=2lg(x-2y),

所以 xy=(x-2y)2,即 x2-5xy+4y2=0, x x 所以 x=y 或 x=4y,即 =1 或 =4, y y x x 所以 log 2 =0,或 log 2 =4. y y 剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件,x>0,y>0,x-2y>0, 所以 x>2y>0,所以 x=y 不成立. 正解 因为 lg x+lg y=2lg(x-2y), 所以 xy=(x-2y)2,即 x2-5xy+4y2=0, 所以 x=y 或 x=4y,因为 x>0,y>0,x-2y>0, x 所以 x=y 应舍去,所以 x=4y,即 =4, y x 所以 log 2 =4. y 五、对数运算性质混淆 log28 8 例 17 下列运算:(1) =log2 ; log24 4 (2)log28=3log22; (3)log2(8-4)=log28-log24; 4 4 (4)log2 · log23=log2( ×3).其中正确的有( ) 3 3 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 错解 A log28 剖析 (1) 真数 8 与 4 不能相除;(3)中 log2(8-4)不能把 log 乘进去运算,没有这种 log24 8 运算的,运算 log2 =log28-log24 才是对的;(4)错把 log 提出来运算了,也没有这种运算, 4 正确的只有(2). 正解 D 六、忽视对含参底数的讨论 例 18 已知函数 y=logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大 1,求 a 的值. 错解 由题意得 loga4-loga2=loga2=1, 所以 a=2. 剖析 对数函数的底数含有参数 a, 错在没有讨论 a 与 1 的大小关系而直接按 a>1 解题. 正解 (1)若 a>1, 函数 y=logax(2≤x≤4)为增函数, 由题意得 loga4-loga2=loga2=1, 所以 a=2,又 2>1,符合题意. (2)若 0<a<1,函数 y=logax(2≤x≤4)为减函数, 1 由题意得 loga2-loga4=loga =1, 2 1 1 所以 a= ,又 0< <1,符合题意, 2 2 1 综上可知 a=2 或 a= . 2

巧借对数函数图象解题

数形结合思想, 就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维与形象思维 相结合.通过对图形的认识、数形转化,来提高思维的灵活性、形象性、直观性,使问题化 难为易、化抽象为具体.它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面. 一、利用数形结合判断方程解的范围 方程解的问题可以转化为曲线的交点问题, 从而把代数与几何有机地结合起来, 使问题 的解决得到简化. 例 1 方程 lg x+x=3 的解所在区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 答案 C

解 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y=lg x 与 y=-x+3 的图象(如图所示). 它们 的交点横坐标 x0 显然在区间(1,3)内,由此可排除选项 A、D.实际上这是要比较 x0 与 2 的大 小.当 x0=2 时,lg x0=lg 2,3-x0=1.由于 lg 2<1,因此 x0>2,从而判定 x0∈(2,3). 点评 本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lg x+x=3 的解所在的区间. 数形结合, 要在结合方面下功夫.不仅要通过图象直观估计,而且还要计算 x0 的邻近两个函数值,通 过比较其大小进行判断. 二、利用数形结合求解的个数 例 2 已知函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈[-1,1)时,f(x)=x,则方程 f(x)=lg x 的根 的个数是________. 解析 构造函数 g(x)=lg x,在同一坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图象,如图所示,易知有 4 个根.

答案 4 点评 本题学生极易填 3,其原因是学生作图不标准,尤其是在作对数函数的图象时没 有考虑到当 x=10 时,y=1.因此,在利用数形结合法解决问题时,要注意作图的准确性. 三、利用数形结合解不等式 例 3 使 log2x<1-x 成立的 x 的取值范围是______________________________________.

解析 构造函数 f(x)=log2x, g(x)=1-x, 在同一坐标系中作出两者的图象, 如图所示, 直接从图象中观察得到 x∈(0,1). 答案 (0,1) 点评 用数形结合的方法去分析解决问题,除了会读图外,还要会画图,绘制图形既是 利用数形结合方法的需要,也是培养我们动手能力的需要.

对数函数常见题型归纳 一、考查对数函数的定义 例 4 已知函数 f(x)为对数函数,且满足 f( 3+1)+f( 3-1)=1,求 f( 5+1)+f( 5-1) 的值. 解 设对数函数 f(x)=logax(a>0,a≠1), 由已知得 loga( 3+1)+loga( 3-1)=1, 即 loga[( 3+1)×( 3-1)]=1?a=2. 所以 f(x)=log2x(x>0). 从而得 f( 5+1)+f( 5-1)=log2[( 5+1)×( 5-1)]=2. 二、考查对数的运算性质 log89 例5 的值是( ) log23 2 3 A. B.1 C. D.2 3 2 log29 1 解析 原式= · log28 log23 2 log23 1 2 = · · = . 3 log22 log23 3 答案 A 三、考查指数式与对数式的互化 例 6 已知 logax=2,logbx=3,logcx=6,求 logabcx 的值. 解 由已知,得 a2=x,b3=x,c6=x, 1 1 1 所以 a=x ,b=x ,c=x . 2 3 6 1 1 1 1 于是,有 abc=x + + =x , 2 3 6 所以 x=abc,则 logabcx=1. 四、考查对数函数定义域和值域(最值) 1 例 7 (江西高考)若 f(x)= ,则 f(x)的定义域为( ) 1 log ?2x+1? 2 1 1 ? ? A.? B.? ?-2,0? ?-2,0? 1 - ,+∞? C.? D.(0,+∞) ? 2 ? 答案 A 1 1 解析 要使 f(x)有意义,需 log (2x+1)>0=log 1, 2 2 1 ∴0<2x+1<1,∴- <x<0. 2 例 8 已知函数 f(x)=2+log3x(1≤x≤9),则函数 g(x)=f2(x)+f(x2)的最大值为________, 最小值为________. 解析 由已知,得函数 g(x)的定义域为 ?1≤x≤9, ? ? ?1≤x≤3.且 g(x)=f2(x)+f(x2) 2 ?1≤x ≤9 ? =(2+log3x)2+2+log3x2 =log2 3x+6log3x+6. 则当 log3x=0,即 x=1 时,g(x)有最小值 g(1)=6; 当 log3x=1,即 x=3 时,g(x)有最大值 g(3)=13. 答案 13 6 五、考查单调性

例 9 若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 为( ) 2 2 1 1 A. B. C. D. 4 2 4 2 解析 由于 0<a<1,所以 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上递减,在区间[a,2a]上的最大 2 值为 f(a),最小值为 f(2a),则 f(a)=3f(2a),即 logaa=3loga(2a)?a= . 4 答案 A 六、考查对数函数的图象 1 例 10 若不等式 x2-logax<0 在(0, )内恒成立,则 a 的取值范围是________. 2 2 解析 由已知,不等式可化为 x <logax. 1 所以不等式 x2<logax 在(0, )内恒成立, 2

1 可转化为当 x∈(0, )时, 2 函数 y=x2 的图象在函数 y=logax 图象的下方,如图所示. 1 答案 [ ,1) 16 点评 不等式 x2<logax 左边是一个二次函数,右边是一个对数函数,不可能直接求解, 充分发挥图象的作用,则可迅速达到求解目的. 巧比对数大小 一、中间值法 若两对数底数不相同且真数也不相同时,比较其大小通常运用中间值作媒介进行过渡. 理论依据:若 A>C,C>B,则 A>B. 3 例 11 比较大小:log9 ,log8 3. 2 3 1 解 由于 log9 <log9 3= =log8 2 2<log8 3, 2 4 3 所以 log9 <log8 3. 2 1 点评 以 为纽带,建立起放缩的桥梁,解题时常通过观察确定中间值的选取. 4 二、比较法 比较法是比较对数大小的常用方法,通常有作差和作商两种策略. 理论依据:(1)作差比较:若 A-B>0,则 A>B; A (2)作商比较:若 A,B>0,且 >1,则 A>B. B 例 12 比较大小:(1)log47,log1221; (2)log1.10.9,log0.91.1. 解 (1)log47-log1221=(log47-1)-(log1221-1) 7 7 1 1 =log4 -log12 = - , 4 4 7 7 log 4 log 12 4 4 7 7 由于 0<log 4<log 12, 4 4

1 1 所以 > ,即 log47>log1221. 7 7 log 4 log 12 4 4 (2)由于 log1.10.9,log0.91.1 都小于零, |log1.10.9| 所以 =(log1.10.9)2=(-log1.10.9)2 |log0.91.1| 10 11 =(log1.1 )2>(log1.1 )2=1, 9 10 故|log1.10.9|>|log0.91.1|, 所以 log1.10.9<log0.91.1. 点评 将本例(1)推广延伸为:若 1<A<B,C>0,则 logAB>logAC(BC),进而可比较形如 此类对数的大小. 三、减数法 将对数值的大概范围确定后,两边同减去一个数,通过局部比较大小. 理论依据:若 A-C>B-C,则 A>B. 例 13 比较大小: logn+2(n+1),logn+1n(n>1). 解 因为 logn+2(n+1)-1 n+1 n n =logn+2 >logn+2 >logn+1 n+2 n+1 n+1 =logn+1n-1. 所以 logn+2(n+1)>logn+1n. 点评 将本例推广延伸为:若 1<A<B,C>0,则 logA+C(B+C)>logAB,进而可比较形如 此类对数的大小. 四、析整取微法 将对数的整数部分分别析取出来,通过比较相应小数部分的大小使得问题获解. 理论依据:若 A=logaM=k+x,B=logbN=k+y,且 x>y,则 A>B. 1 1 例 14 比较大小:log 3,log 8. 2 3 1 1 解 令 log 3=-2+x,log 8=-2+y, 2 3 - - + - - + 于是 2 ( 2 x)=3,3 ( 2 y)=8, 3 8 - - - - 则 2 x-3 y= - <0,故 2 x<3 y. 4 9 两边同时取对数,化简得 xlg 2>ylg 3, x lg 3 1 1 则 > >1,即 x>y,故 log 3>log 8. y lg 2 2 3 点评 这种方法便于操作,容易掌握,并且所涉及的知识又都是通性通法,有利于“回 归课本,夯实基础”,此法值得深思. 例 15 对于函数 y=f(x),x∈D,若存在一常数 c,对任意 x1∈D,存在惟一的 x2∈D, f?x1?+f?x2? 使 =c,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 c.已知 f(x)=lg x,x∈[10,100],则函数 f(x) 2 =lg x 在[10,100]上的均值为( ) 3 3 1 A. B. C. D.10 2 4 10 分析 该题通过定义均值的方式命题, 以定义给出题目信息, 是当前的一种命题趋势. 其 本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化. 解析 首先从均值公式可得 lg (x1x2)=2c, 所以 x1x2=102c=100c. 因为 x1,x2∈[10,100], 所以 x1x2∈[100,10 000]. 所以 100≤100c≤ 10 000.所以 1≤c≤2.

3 从选项看可知成为均值的常数可为 .故选 A. 2 答案 A 例 16 函数 y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度 b-a 的最小 值为( ) 3 2 A.3 B. C.2 D. 4 3 分析 对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点, 尤其是二次函数、 指数函数和 对数函数等重点函数的形态研究. 本题正是以函数 y=log2x 为基础而编制, 从定性分析和定 量的计算中刻划 a,b 的关系.结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于 寻找、确定二者的关系.

解析 画出函数图象如图所示. 1 由 log2a=-2 得 a= . 4 由 log2b=2 得 b=4. 1 数形结合知 a∈[ ,1],b∈[1,4]. 4 考虑函数定义域,满足值域[0,2]的取值情况可知, 1 1 3 当 b=1,a= 时,b-a 的最小值为 1- = .故选 B. 4 4 4 答案 B 解题要学会反思 解题中的反思是完善解题思路的有效方法,面对一道较为综合的题,寻找解题思路时, 想一步到位,往往不太现实;边解边反思,逐步产生完善、正确的解题思路,却是可行的, 请看: x-3 题目:已知函数 f(x)=logm ,试问:是否存在正数 α,β,使 f(x)在[α,β]上的值域为 x+3 [logm(β-4),logm(α-4)]?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,说明理由. 甲:在[α,β]上的值域为[logm(β-4),logm(α-4)],也就是 α-3 log ? ? α+3=log ?β-4?, ? β-3 ? ?log β+3=log ?α-4?
m m m m

?αβ-5α+3β=9, ? ?? ? ?αβ-5β+3α=9

?α=β,与 α<β 矛盾,故不存在. 乙:你的解答不全面,你的求解建立在一个条件的基础上,就是函数 f(x)是增函数,而 题目并没有说明这个函数是增函数呀! 丙:没错,应该对 m 进行讨论. 设 0<α≤x1<x2≤β, x1-3 x2-3 6?x1-x2? 由于 - = <0, x1+3 x2+3 ?x1+3??x2+3? x1-3 x2-3 那么 0< < . x1+3 x2+3 讨论:(1)若 0<m<1, x1-3 x2-3 则 logm >logm , x1+3 x2+3

即 f(x1)>f(x2),得 f(x)为减函数. x1-3 x2-3 (2)若 m>1,则 logm <logm , x1+3 x2+3 即 f(x1)<f(x2),得 f(x)为增函数. 若 m 存在,当 0<m<1 时,则 β-3 log ? ? β+3=log ?β-4?, ? α-3 ? ?log α+3=log ?α-4?
m m m m

?β2-2β-9=0, ? ?? 2 ? ?α -2α-9=0.

显然 α,β 是方程 x2-2x-9=0 的两根,由于此方程的两根中一根为正,另一根为负, 与 0<α<β 不符,因此 m 不存在; 当 m>1 时,就是甲的解题过程,同样满足条件的 α,β 不存在. 老师:乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思.通过你们的讨论可以看出,反思的作用 相当大,它可以使思路逐步完善,最终形成完美的解题过程.

对数函数高考考点例析 对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分, 关于对数函数的考查在高考中一直占有 重要的地位. 下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析, 希望 对大家的学习有所帮助. 考点一 判断图象交点个数
?4x-4, x≤1, ? 1.(湖南高考)函数 f(x)=? 2 的图象和函数 g(x)=log2x 的图象的交点 ? ?x -4x+3, x>1 个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

解析 作出函数 f(x)与 g(x)的图象, 如图所示, 由图象可知: 两函数图象的交点有 3 个. 答案 C 考点二 函数单调性的考查 2.(江苏高考)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 1 - ,+∞?,令 t=2x+1(t>0).因为 y=log5t 在 t∈(0,+ 解析 函数 f(x)的定义域为? ? 2 ? 1 ? ? ∞)上为增函数,t=2x+1 在?-2,+∞?上为增函数,所以函数 y=log5(2x+1)的单调增区 1 ? 间为? ?-2,+∞?.

1 ? 答案 ? ?-2,+∞? 考点三 求变量范围
1 x ? ?2 , ? 3.(辽宁高考)设函数 f(x)= ?1-log2x, ?


x≤1, x>1,

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是

(

) A.[-1,2] C.[1,+∞)

B.[0,2] D.[0,+∞)

1 - 解析 当 x≤1 时, 由 21 x≤2, 知 x≥0, 即 0≤x≤1.当 x>1 时, 由 1-log2x≤2, 知 x≥ , 2 即 x>1,所以满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是[0,+∞). 答案 D 考点四 比较大小 (一)图象法 1?b 1?c 1 1 4.(天津高考)设 a,b,c 均为正数,且 2a=log a,? =log b,? =log2c,则( 2 ?2? 2 ?2? A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解析 )

由 2a>0, 1 ∴log a>0, 2 ∴0<a<1. 同理 0<b<1,c>1, ∴c 最大 1?x 1 在同一坐标系中作出 y=2x,y=? , y = log x 的图象如图所示, ?2? 2 观察得 a<b.∴a<b<c. 答案 A (二)排除法 当我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时, 可以从反 面入手,因为选择题的正确答案已在选项中列出,从而逐一考虑所有选项,排除其中不正确 的,则剩下的就是正确的答案. ln 2 ln 3 ln 5 5.(全国高考)若 a= ,b= ,c= ,则( ) 2 3 5 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解析 首先比较 a,b, 即比较 3ln 2,2ln 3 的大小, ∵3ln 2=ln 8<ln 9=2ln 3, ∴a<b.故排除 B、D. 同理可得 c<a. 答案 C

(三)媒介法 对于直接比较困难时,常插入媒介,以此为桥梁进行比较,常插入 0 或 1. 6.(山东高考)下列大小关系正确的是( ) A.0.43>30.4<log40.3 B.0.43<log40.3<30.4 C.log40.3<0.43<30.4 D.log40.3<30.4<0.43 解析 分析知 0<0.43<1,30.4>30=1, log40.3<log41=0, 故 log40.3<0.43<30.4.故选 C. 答案 C (四)特值法 对于有些有关对数不等式的选择题, 通过取一些符合条件的特殊值验证, 往往也能简便 求解. 7.(青岛模拟)已知 0<x<y<a<1,则有( ) A.loga(xy)<0 B.0<loga(xy)<1 C.1<loga(xy)<2 D.loga(xy)>2 1 1 1 解析 取 x= ,y= ,a= ,代入 loga(xy)检验即可得 D. 8 4 2 答案 D


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