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北京市延庆县2013届高三3月一模统考数学理试题


北京市延庆县 2013 届高三一模统考 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? {1,3, m } , B ? {1, m} , A ? B ? A ,则 m ? A.0 或 3 2 . 已知函数 f ( x) ? ? A. 9 B.0

或 3 C.1 或 3 ,则 f [ f ( D.1 或 3 2013 年 3 月

本试卷共 4 页,满分 120 分,考试时间 120 分钟

?log 4 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

1 )] ? 16
C. ? 9 D. ?

B.

1 9

1 9

3. 现有 12 件商品摆放在货架上, 摆成上层 4 件下层 8 件, 现要从下层 8 件中取 2 件调整到 上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 A.420 B.560
2

C.840

D.20160

4.在极坐标系下,圆 C : ? ? 4 ? sin ? ? 3 ? 0 的圆心坐标为 A. (2,0) 5.已知双曲线 B. ( 2,

?
2

)

C. (2, ? )

D. (2,?

?
2

)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点 2 a b
B. y ? ?

相同,则双曲线的渐近线方程为 A. y ? ?

3 x 2

3 x 2

C. y ? ?

3 x 3

D. y ? ? 3 x

6.已知直线 l1 : ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 ,则“ a ? ?2 ”是“ l1 ? l 2 ” A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7.一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是 A. 2 B. 2 2
3 2

C. 3

D. 2 3

(7 题图)

8.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2(a ? 0) 有且仅有两个不同的零点 x1 , x2 ,则 A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 C. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 B. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 D. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知 | a |? 1 , | b |? 2 ,向量 a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 | a ? b |? 10. 若复数 z ? (m ? m ? 2) ? (m ? 1)i (为虚数单位)为纯虚数,
2

?

?

?

?

?

?

.

其中 m ? R ,则 m ?

. .

11. 执行如图的程序框图,如果输入 p ? 6 ,则输出的 S ? 12.在 ?ABC 中, a, b, c 依次是角 A, B, C 的对边,且 b ? c . 若 a ? 2, c ? 2 3 , A ?

?
6

,则角 C ?

.

13.如图所示,以直角三角形 ABC 的直角边 AC 为直径作⊙ O , 交斜边 AB 于点 D ,过点 D 作⊙ O 的切线,交 BC 边于点 E . 则

BE ? BC

.
(13 题图)

2 4 0 14. 以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图,在数轴上截取与闭区间 [0,4] 对应的线
( 14 题 图) 段,对折后(坐标 4 所对应的点与原点重合)再均匀地拉成 4 个单位长度的线段,这一过程

称为一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标 1、3 变成 2,原来的坐标 2 变成 4, 等等).那么原闭区间 [0,4] 上(除两个端点外)的点,在第 n 次操作完成后 (n ? 1) ,恰好被 拉到与 4 重合的点所对应的坐标为 f (n) , 则 f (3) ? ; f (n) ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 sin 2 x .

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若 x ? [0,

?
6

] ,求 f (x) 的最小值及取得最小值时对应的 x 的取值.

16.(本小题满分 14 分)

P 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形,?ABC ? 60 ? ,侧面 PAB 是边长为 2
的正三角形,侧面 PAB ? 底面 ABCD .

A M
Q

D
C

B

(Ⅰ)设 AB 的中点为 Q ,求证: PQ ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求斜线 PD 与平面 ABCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)在侧棱 PC 上存在一点 M ,使得二面角

M ? BD ? C 的大小为 60 ? ,求
17. (本小题满分 13 分)

CM 的值. CP

空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这 个值越高,就代表空气污染越严重:

甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得 PM 2.5 甲城市 乙城市 日均浓度指数数据如茎叶图所示: (Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内 哪个城市空气质量总体较好?(注:不需说明理由) (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市 空气质量类别均为优或良的概率; 3 4 6 7 8 9 0224 896 151 8 230 8 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809

(Ⅲ) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优或良的天数, 求 X 的分布列及数学期望. 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ?2a 2 ln x ?

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ) 讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 在区间 [1, e] 的最小值. 19. (本小题满分 14 分) 已知动点 P ( x, y ) 与一定点 F (1,0) 的距离和它到一定直线 l : x ? 4 的距离之比为 (Ⅰ) 求动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l ? : x ? my ? 1 交轨迹 C 于 A 、 B 两点,过点 A 、 B 分别作直线 l : x ? 4 的 垂线,垂足依次为点 D 、 E .连接 AE 、 BD ,试探索当 m 变化时,直线 AE 、 BD 是否相 交于一定点 N ?若交于定点 N ,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由. 20. (本小题满分 13 分)

1 . 2

A 是由定义在 [2,4] 上且满足如下条件的函数 ? (x) 组成的集合:
(1)对任意 x ? [1,2] ,都有 ? (2 x) ? (1,2) ; (2)存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x 2 ? [1,2] ,都有 | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |

? L | x1 ? x2 | .
(Ⅰ)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A ; (Ⅱ)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (Ⅲ)设 ? ( x) ? A ,任取 xn ? (1,2) ,令 x n ?1 ? ? (2 x n ), n ? 1,2,? ? ?, 证明:给定正整数 k ,对任 意的正整数 p ,不等式 | xk ? p ? xk |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 成立. 1? L

高三数学(理科答案)
一、选择题: (5? ? 8 ? 40?) B B C D D A D B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 7 14. 10. 2 11.

2013 年 3 月

31 32

12. 120 ?
n

13.

1 2

1 3 5 7 , , , ; 2 2 2 2

j 2
n?2

(这里 j 为 [1,2 ] 中的所有奇数)

三、解答题: (5? ? 6 ? 30?) 15. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1

? 2 sin( 2 x ?
?T ?
由?

?
6

) ?1

????4 分 ????5 分 ????6 分 ????7 分 ????8 分

? 2k? (k ? Z ) ,得 2 6 2 2? ? ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? 3 3 ?

?

2? ? ? ,? f (x) 最小正周期为 ? . 2

? 2k? ? 2 x ?

?

?

?

?

3

? k? ? x ?

?

6

? k?

? f (x) 单调递增区间为 [?
(Ⅱ)当 x ? [0,

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z ) .

????9 分 ????10 分 ????11 分 ????13 分

?
6

] 时, 2 x ?

?

? f (x) 在区间 [0, ] 单调递增, 6

?

?[ , ] , 6 6 2

? ?

?[ f ( x)]min ? f (0) ? 0 ,对应的 x 的取值为 0 .
16.(本小题满分 14 分)

(Ⅰ)证明:因为侧面 PAB 是正三角形, AB 的中点为 Q ,所以 PQ ? AB , 因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,侧面 PAB ? 底面 ABCD ? AB , PQ ? 侧面 PAB , 所以 PQ ? 平面 ABCD . 连结 AC ,设 AC ? BD ? O ,建立空间直角坐标系 O ? xyz , ???3 分(Ⅱ)

则 O (0,0,0) , B( 3 ,0,0) , C (0,1,0) , D (? 3 ,0,0) , P (

3 1 ,? , 3 ) ,???5 分 2 2

PD ? (?

3 3 1 ? , ,? 3 ) ,平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1) , 2 2

设斜线 PD 与平面 ABCD 所成角的为 ? ,

? ? m· PD |? 则 sin ? ?| cos ? m, PD ?|?| ? | m || PD |

3 30 ? . 10 27 1 ? ?3 4 4

???8 分

(Ⅲ)设 CM ? t CP ? (

3 3 3 3 t ,? t , 3t ) ,则 M ( t ,? t ? 1, 3t ) , 2 2 2 2
???10 分

BM ? (

3 3 t ? 3 ,? t ? 1, 3t ) , DB ? 2 3 (1,0,0) , 2 2
?

DB 设平面 MBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? DB ? n· ? 0 ? x ? 0 , ? ? 3 3 n ? MB ? n· ? 0 ? ( t ? 3 ) x ? (? t ? 1) y ? 3tz ? 0 , MB 2 2
取 z ? 3 ,得 n ? (0,

?

?

?

6t ? , 3 ) ,又平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1) ???12 分 3t ? 2

? ? m· n ? ? ? 所以 | ? ? |?| cos ? m, n ?|?| cos 60 | ,所以 |m|n|

3 1 ? , 6t 2 2 3? ( ) 3t ? 2

解得 t ? 2 (舍去)或 t ?

2 CM 2 .所以,此时 ? . CP 5 5

???14 分

17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)甲城市空气质量总体较好. ???2 分

(Ⅱ)甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天,任取 1 天,空气质量类别 为优或良的概率为

10 2 ? , 15 3

???4 分

乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天,任取 1 天,空气质量类别为优或 良的概率为

5 1 ? , 15 3

???6 分

在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

2 1 2 ? ? . 3 3 9
???8 分

(Ⅲ) X 的取值为 0,1,2 ,

???9 分

P( X ? 0) ?

2 C50 C10 3 C 2C 0 C 1C 1 10 2 , P ( X ? 0) ? 5 2 10 ? ? , P( X ? 1) ? 5 2 10 ? 2 C15 21 7 21 C15 C15

X 的分布列为:

X
P

0
3 7

2

10 21 3 10 2 2 数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 7 21 21 3

2 21
???13 分

18. (本小题满分 13 分) 解:函数 f (x) 的定义域为 (0,??) , (Ⅰ) f ?( x) ? ???1 分

x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) ? , x x

???4 分

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? 0 ,所以 f (x) 在定义域为 (0,??) 上单调递增; ?5 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a (舍去), x2 ? a , 当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化情况如下:

此时, f (x) 在区间 (0, a ) 单调递减, 在区间 (a,??) 上单调递增; (3)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a , x2 ? a (舍去), 当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化情况如下: 此时, f (x) 在区间 (0,?2a ) 单调递减, 在区间 (?2a,??) 上单调递增. ???9 分 ???7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 a ? 0 时, f (x) 在区间 (0,?2a ) 单调递减, 在区间 (?2a,??) 上单调递增. ???10 分

e 时, f (x) 在区间 [1, e] 单调递减, 2 1 所以, [ f ( x)]min ? f (e) ? ?2a 2 ? ea ? e 2 ; ???11 分 2 e 1 (2)当 1 ? ?2a ? e ,即 ? ? a ? ? 时, f (x) 在区间 (1,?2a ) 单调递减, 2 2
(1)当 ? 2a ? e ,即 a ? ? 在区间 (?2a, e) 单调递增,所以 [ f ( x)]min ? f (?2a ) ? ?2a ln(?2a ) ,???12 分
2

(3)当 ? 2a ? 1 ,即 ? 所以 [ f ( x)]min

1 ? a ? 0 时, f (x) 在区间 [1, e] 单调递增, 2 1 ? f (1) ? a ? . 2

???13 分

19. (本小题满分 14 分)

( x ? 1) 2 ? y 2 1 x2 y2 ? ,化简并整理,得 解:(Ⅰ)由题意得 ? ? 1. 4 3 | x?4| 2
所以动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程为椭圆

x2 y2 ? ? 1. 4 3
3 2 3 2

???3 分

(Ⅱ)当 m ? 0 时, A(1, ) 、 B (1,? ) , D (4, ) 、 E (4,? ) 直线 AE 的方程为: 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,直线 BD 的方程为: 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,

3 2

3 2

5 5 , y ? 0 ,直线 AE 、 BD 相交于一点 ( ,0) . 2 2 5 假设直线 AE 、 BD 相交于一定点 N ( ,0) . ???5 分 2
方程联立解得 x ?

证明:设 A(my1 ? 1, y1 ) , B (my 2 ? 1, y 2 ) ,则 D (4, y1 ) , E (4, y 2 ) ,

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y2 消去 x 并整理得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,显然 ? ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
? 6m ?9 , y1 y 2 ? . 2 3m 2 ? 4 3m ? 4 3 3 因为 NA ? (my1 ? , y1 ) , NE ? ( , y 2 ) , 2 2 3 3 3 所以 (my1 ? ) ? y 2 ? y1 ? ? my1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 2 2 ? 9m 3 ? 6m ?0 ? ? ? 2 3m ? 4 2 3m 2 ? 4
由韦达定理得 y1 ? y 2 ? 所以, NA // NE ,所以 A 、 N 、 E 三点共线, ???7 分

???11 分 ???12 分

同理可证 B 、 N 、 D 三点共线,所以直线 AE 、 BD 相交于一定点 N ( ,0) .14 分 20. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)对任意 x ? [1,2] , ? (2 x) ? 3 1 ? 2 x , x ? [1,2] ,
3

5 2

3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 ,所以 ? (2 x) ? (1,2) .

对任意的 x1 , x 2 ? [1,2] ,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |?| x1 ? x 2 |

2
3

?1 ? 2 x1 ?2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x 2 ? ? 3 ?1 ? x 2 ?

2



3?

3

?1 ? 2 x1 ?2
3

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,
2 ? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? 2
2 2

所以 0<

?1 ? 2 x1 ?2

?

2 , 3


3

?1 ? 2 x1 ?2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

= L , 0 ? L ? 1,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |? L | x1 ? x 2 | ,所以 ? ( x) ? A .

???5 分

? ? ? ? (Ⅱ)反证法:设存在两个 x0 , x0 ? (1,2), x0 ? x0 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? (2 x0 ) 则
由 | ? ( 2 x 0 ) ? ? ( 2 x 0 ) |? L | x 0 ? x 0 | ,得 | x 0 ? x 0 |? L | x 0 ? x 0 | ,所以 L ? 1 ,
/ /

/

/

矛盾,故结论成立.

???8 分

(Ⅲ) x3 ? x 2 ?

? (2 x 2 ) ? ? (2 x1 ) ? L x 2 ? x1 ,

所以 | xn ?1 ? xn |?| ? (2 xn ) ? ? (2 xn ?1 |

? L | xn ? xn?1 | ? L2 | xn?1 ? xn?2 |

?? ? L

n ?1

| x2 ? x1 |

| xk ? p ? xk |?| ( xk ? p ? xk ? p ?1 ) ? ( xk ? p ?1 ? xk ? p ?2 ) ? ?? ? ( xk ?1 ? xk ) |
? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k

? Lk ? p ? 2 x 2 ? x1 ? Lk ? p ?3 x 2 ? x1 +?+ Lk ?1 x 2 ? x1
? Lk ?1 (1 ? Lp ) Lk ?1 | x2 ? x1 | ? | x2 ? x1 | . 1? L 1? L
???13 分


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