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三元整合导学模式数学学科导学稿极坐标方程


三元整合导学模式数学学科导学稿(学生版)
主编人: 审稿人: 定稿日期:2013-3-18 一、课题:简单曲线的极坐标方程(人教 A 版选修 4-4P12-15) 二、课型分析:本课属于数学规则课型 三、学习目标: 1、理解圆的极坐标方程的意义, 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 3、曲线的极坐标方程的求法 4、直角坐标方程与极坐标方程的互化 四、学习重点:曲线

的极坐标方程 五、学习难点:曲线的极坐标方程求法 六、学习过程 (一)知识回顾 1、极坐标系的四个要素:____________________________________________________ ______________________________________________________ 2、点与极坐标一一对应的条件:________________________________

3、设 M 是平面内任一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐标是 ( ? ,? ) ,则 ①极坐标化直角坐标 x= ②直角坐标化极坐标 ? 2 ? ,y= ; , tan? ? __ 的极

(二)基础知识填空 1、曲线极坐标方程概念:在极坐标系中,如果平面曲线 C 上 坐标中 点

有一个满足方程 f ( ? ,? ) ? 0 ,并且坐标适合方程 f ( ? ,? ) ? 0 的 ,那么方程 f ( ? ,? ) ? 0 叫做曲线 C 的极坐标方程。

2、求曲线极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程类似,(1)建立适当的极坐 标系;(2)找出曲线上的动点 P( ? ,? ) 的极径ρ 和极角θ 的相互关系;(3)设法用ρ 和θ 的方程表示这种关系;(4)化简并证明所得的方程是所求的极坐标方程。求 曲线极坐标方程关键是找出曲线上的点满足的几何条件。 常用解三角形的知识来 建立ρ 和θ 的关系。注意ρ 和θ 的取值范围与题设条件。 3、若ρ <0,则–ρ >0,规定 M ( ? ,? ) 与 P(? ? ,? ) 关于________ 对称;

(三)、新课导学 问题:在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程 f(x,y)=0 表示;那么:在极坐标系中, 平面曲线C是否可以用方程 f(ρ ,θ )=0 表示呢? 1、 圆的极坐标方程 探究:如图,半径为 a 的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点的极 坐标(?,?)满足的条件?

【典例分析】 例 1:已知圆心 O 的半径为 r ,建立怎样的极坐标系,可以使圆的极坐标方程更

简单?

例 2、在极坐标平面内,已知圆的圆心 C ( ? 0 ,? 0 ) ,半径为 r ,求其极坐标方程。

常见圆的极坐标方程: (1)圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程 (2)圆心在位于 C (a,0) ,半径为 r 的圆的极坐标方程 (3)圆心在位于 C (a, ) ,半径为 r 的圆的极坐标方程 2 2、直线的极坐标方程 ? 例 3、如图,直线 l 经过极点,从极轴到直线 l 的角是 ,求直线 l 4
的极坐标方程。

; ; ;

?

例 4、改为:过点 A(a,0)( a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐 标方程;

例 5、改为:过点 P( ?1 ,?1 ) 且与极轴所成的角为 ? 的直线 l 的极坐标方程;

常见直线的极坐标方程: (1)过极点,从极轴到直线 l 的角为θ 0,直线 l 的直线方程为 (2)过点 A(a,0)( a ? 0) 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程为 (3)过点 P( ?1 ,?1 ) 且与极轴所成的角为 ? 的直线 l 的极坐标方程为 3、 直坐标方程与极坐标方程的互化 例 6 把下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1) x ? 4 (2) y ? 2 ? 0

; ; ;

(3) 2 x ? 3 y ? 1 ? 0

(4) y ? 4 x
2

例 7 把下列极坐标方程化为直角坐标方程 (1) ? sin ? ? 2 (2) ? (2 cos? ? 5 sin ? ) ? 4 ? 0

(3) ? ? ?10 cos?

(4) ? ? 2 cos? ? 4 sin?

巩固练习: 1、在极坐标系中,求适合下列条件的圆的极坐标方程: (1)圆心在 A(1,

?
4

) ,半径为 1 的圆;

(2) 圆心在 B(a,

3? ) ,半径为 a 的圆。 2

2、说明下列极坐标表示什么曲线,并画图; (1) ? ? 5 (2) ? ?

5? ( ? ? R) 6

(3) ? ? 2 sin ?

3、在极坐标系中,求适合下列条件的直线的极坐标方程: (1) 过极点,倾斜角是

? 的直线; 3

(2) 过点 (2,

?
3

) ,并且和极轴垂直的直线;

4、已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

)?

2 7? ,求点 A(2, ) 到这条直线的距 2 4

5、 极坐标方程分别是 ? ? cos? 和 ? ? sin? 的两个圆的圆心距是(



A 2



2

C 1



2 2


6、 在极坐标系中,点 (3, A

?
2

) 关于 ? ?
C

(3,0)

B

(3, ) 2

?

( ? ? R) 的对称的点的坐标为 ( 6 2? 11? D (3, (?3, ) ) 3 6
) D 两条射

?

7、 极坐标方程 cos? ? A 余弦曲线 【高考连接】

2 ( ? ? 0) 表示的曲线是 ( 2
C 一条射线

B 两条相交直线

1、 若曲线的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ? 4cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直 角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为__________________________ 2、 在极坐标系中,点(1,0)到直线 ? (cos ? ? sin ? ) ? 2 的距离为_____________________


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