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广东省第101中学高一数学培优辅导资料1(试题答案)


高一数学培优辅导资料 1
2011 年市期末 B 选编
? x 2 ? 2 x ? 2a, x ? 1 ? 10.已知 f ( x) ? ? 是 (??,??) 上的减函数,则实数 a 的取值范围是( ?log a x, x ? 1 ?

)

1 A. (0, ] 2

1 B. [ ,1) 2

r />
C. (0,1)

D. (1,2)

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ?
2 , a ? R .(1)求函数 f (x) 的定义域;(2)若 f (x) 为奇函数, 2 ?1
x

求 a 的值;(3)判断函数 f (x) 在 (0,??) 上的单调性,并证明.

2011 年市期末 A 选编
? x2 ? x ? 1 , x ? 0 10、已知函数 f ( x) ? ? .若 f (m) ? f (2 ? m 2 ) ,则实数 m 的取值范围是( 2x ?1 , x ? 0 ?

)

A. ?? ?,?1? ? ?2,?? ?

B. ?? 1,2?

C. ?? 2,1?

D. ?? ?,?2? ? ?1,?? ?

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ( a 为正实数) ,且函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象在 (1)求 a 的值; (2)对于函数 F ? x ? 及其定义域 D,若存在 x0 ? D,使 y 轴上的截距相等.
F ? x0 ? =x0 成立,则称 x0 为 F ? x ? 的不动点.若 f ? x ? ? g ? x ? ? b 在其定义域内存在不动点,求实
?4? ?? ? ?5?
g ?n ?

数 b 的取值范围; (3)若 n 为正整数,证明:10
?4? ?4? ? ? =0.0281 , ? ? =0.0038 ) ?5? ?5?
16 25

f ?n ?

?4? ? 4 . lg 2 ? 0.3010 ,? ? =0.1342 , ( ?5?

9

2010 年市期末 B 选编
14、 函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 并且当 x ? ?0,?? ? 时,f ( x) ? 2 x , 那么,f (?1) = .

19. (本小题满分 14 分) x?c 已知函数 f ( x) ? , 其中 c 为常数,且函数 f (x) 图像过原点. x ?1 (1) 求 c 的值; (2) 证明函数 f (x) 在[0,2]上是单调递增函数;
(3) 已知函数 g ( x) ? f (e ) ?
x

1 , 求函数 g (x) 的零点. 3

20. (本小题满分 14 分) 若函数 f ( x) 满足:对定义域内任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有,则称函数 f ( x) 为 H 函数.已知 f ( x) ? x 2 ? cx ,且 f (x) 为偶函数. (1) 求 c 的值; (2) 求证: f ( x) 为 H 函数; (3) 试举出一个不为 H 函数的函数 g (x) ,并说明理由.

2010 年市期末 A 选编
10.给出下列三个函数图像:
y y y y

o

x

o

x

o

x

o

x

a

b

c

d

它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的至少一条: ①对任意实数 x, y 都有 f ( xy) ? f ( x) f ( y) 成立; 成立; ③对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 成立. 则下列对应关系最恰当的是( A. a 和①, b 和②,c 和③ C. c 和①, a 和②, b 和③ B. c 和①,b 和②, a 和③ D. b 和①,c 和②, a 和③ B ) ②对任意实数 x, y 都有
f ( x ? y) ? f ( y) f ( x)

13.若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的反函数是 g (x) ,且 g (x) 在[1,2]上的最大值与最小值之和 为 ? 1,则 a ? .

19. (本小题满分 14 分) cx ? 1 已知函数 f ( x) ? ( c 为常数). x ?1 (1)若 1 为函数 f (x) 的零点, 求 c 的值; (2)在(1)的条件下且 a ? b ? 0 , 求 f (4 a ) ? f (4 b ) 的值; (3)若函数 f (x) 在[0,2]上的最大值为 3, 求 c 的值.

20. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? cx ( c 为常数). (1)若函数 f (x) 是偶函数,求 c 的值; (2)若 c ? ?3, x ? Z ,求函数 f (x) 的最小值; (3)在(1)的条件下, 满足 m ? n ? 2k , (m ? n) 的任意正实数 m, n, k ,都有
f (m) ? f (n) ? tf (k ) ,求实数 t 的取值范围。

高一数学培优辅导资料 1
2011 年市期末 B 选编
? x 2 ? 2 x ? 2a, x ? 1 ? 10.已知 f ( x ) ? ? 是 (??,??) 上的减函数,则实数 a 的取值范围是( ?log a x, x ? 1 ?
A. (0, ] )

1 2

B. [ ,1)

1 2

C. (0,1)

D. (1,2)

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

2 ,a ? R . 2 ?1
x

(1)求函数 f (x) 的定义域; (2)若 f (x) 为奇函数,求 a 的值; (3)判断函数 f (x) 在 (0,??) 上的单调性,并证明. 解:(1)由 2 ? 1 ? 0 ? x ? 0 ,
x

……………………2分 ……………………3分

?函数 f (x) 的定义域是 {x | x ? 0} .
(2)? f (x) 为奇函数,定义域是 {x | x ? 0} ,

? f (?1) ? ? f (1) ,
即 a ? 4 ? ?a ? 2 , 解得 a ? ?1 .

……………………4分 ……………………5分 ……………………6分

2 1 ? 2x ? 当 a ? ?1 时, f ( x) ? ?1 ? x , 2 ?1 1 ? 2x f (? x) ? 1 ? 2? x 2 x ? 1 ? ? ? f ( x) , 1 ? 2? x 2 x ? 1
……………………7分

此时 f ( x) 为奇函数,满足题意. (3) f (x) 在 (0,??) 上单调递增.证明如下: 证明:在 (0,??) 内任取 x1 , x 2 ,设 x1 ? x2 ,则

……………………8分 ……………………9分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2 2 ) ? (a ? x 2 ) 2 ?1 2 ?1
x1

……………………10分

?
?

2 2 ? x1 2 ?1 2 ?1
x2

2(2 x1 ? 2 x 2 ) . (2 x 2 ? 1)( 2 x1 ? 1)

……………………12分

? 0 ? x1 ? x2 ,
? 2 x2 ? 1 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2 x1 ? 2 x2 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

……………………13 分

? f (x) 在 (0,??) 上单调递增.

……………………14分

2011 年市期末 A 选编
? x2 ? x ? 1 , x ? 0 2 10、已知函数 f ( x ) ? ? .若 f (m) ? f (2 ? m ) ,则实数 m 的取值范围是( C ?2 x ? 1 , x ? 0
A. ?? ?,?1? ? ?2,?? ? B. ?? 1,2? C. ?? 2,1? D. ?? ?,?2? ? ?1,?? ? )

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 1( a 为正实数) ,且函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象在 y 轴上 的截距相等. (1)求 a 的值;

(2) 对于函数 F ? x ? 及其定义域 D, 若存在 x0 ? D, F ? x0 ? =x0 成立, 使 则称 x0 为 F ? x ? 的不动点. 若
g ?n ?

f ? x ? ? g ? x ? ? b 在其定义域内存在不动点,求实数 b 的取值范围;
(3)若 n 为正整数,证明: 10
9

f ?n ?

?4? ?? ? ?5?

?4.
16 25

?4? ?4? ?4? (参考数据: lg 2 ? 0.3010 , ? ? =0.1342 , ? ? =0.0281 , ? ? =0.0038 ) ?5? ?5? ?5?
解:⑴ ∵函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象在 y 轴上的截距相等, ∴ f ? 0 ? ? g ? 0 ? ,即 a ? 1 . 又a ? 0, ∴ a ? 1. ……………………………2 分 ……………………………1 分

? x 2 ? 3x ? b ? ⑵由(1)知, f ? x ? ? g ? x ? ? b = ? 2 ?x ? x ? 2 ? b ?

x ?1 x ?1



2 当 x ? 1时,若 f ? x ? ? g ? x ? ? b 存在不动点,则有 x ? 3x ? b=x ,即

b = ? x 2 ? 2 x ? ? ? x ? 1? ? 1 .
2

………………………3 分

∵ x ? 1,∴ ? ? x ? 1? ? 1 ? ?3 ,此时 b ? ?3 .
2

………………………4 分

当 x ? 1时,若 f ? x ? ? g ? x ? ? b 存在不动点,则有 x2 ? x ? 2 ? b=x ,即 b= ? x 2 ? 2 .…5 分 ∵ x ? 1,∴ ? x ? 2 ? ?2 ,此时 b ? ?2 .
2

………………………6 分

? 故要使得 f ? x ? ? g ? x ? ? b 在其定义域内存在不动点,则实数 b 的取值范围应为 ? ??, 2? .
………………………7 分 ⑶设 G ? n ? ? 10
f ?n ?

?4? ? ? ? ?5?

g? n ?



因为 n 为正整数, ∴ G ? n ? ? 10
n ?1

?4? 2 ? ? n ? 2 n ?1? 0 . ? ?5?

………………………8 分

? 4 ? n +1 2 ? 2 n +1 ?1 10n ? ? ? ? ? ? ? G ? n +1? ?4? ?5? ∴ ? =10 ? ? ? 2 n +3 . 2 G ?n? ?4? ?5? 10n ?1 ? ? n ? 2 n ?1 ? ?5?


………………………9 分

G ? n +1? G ?n?

?1 ?4? ?4? ? 1 时, 10 ? ? ? 2 n +3? 1 ,即 ? 2n+3? lg ? ? ? ?1 ,亦即 2n ? 3 ? , 3 lg 2 ? 1 ?5? ?5?
………………………11 分

∴n ?

1 3 ? ? 3.7 . 2 ? 6lg 2 2

由于 n 为正整数,因此当 1 ? n ? 3 时, G ? n ? 单调递增;当 n ? 4 时, G ? n ? 单调递减. ∴ G ? n ? 的最大值是 max G ? 3? , G ? 4 ? . 又 G ? 3? =10 ? ?
2 16 25

?

?

………………………12 分

?4? 3 ?4? ? =100 ? 0.0281=2.81 , G ? 4 ? =10 ? ? ? =1000 ? 0.0038=3.8 , ?5? ?5?
………………………13 分

∴ G ? n? ? G ? 4? ? 4 .

………………………14 分

2010 年市期末 B 选编
14、函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,并且当 x ? ?0,?? ? 时, f ( x) ? 2 ,那么, f (?1) =
x

3

.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 c 的值; (2)证明函数 f (x) 在[0,2]上是单调递增函数; (3)已知函数 g ( x) ? f (e x ) ? 解: (1) ?函数 f (x) 图像过原点,

x?c , 其中 c 为常数,且函数 f (x) 图像过原点. x ?1

1 , 求函数 g (x) 的零点. 3

? f (0) ? 0 ,即 c ? 0 .
(2)设 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?

…………………3 分 …………………4 分

x2 x ? 1 x 2 ? 1 x1 ? 1
x2 ? x1 ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)

…………………5 分

?

…………………7 分

? 0 ? x1 ? x2 ? 2 , ? x2 ? x1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x1 ? 1 ? 0 . ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,即函数 f (x) 在[0,2]上是单调递增.
1 ex 1 ? ? 0, (3) 令 g ( x) ? f (e ) ? ? x 3 e ?1 3
x

…………………8 分 …………………9 分

…………………12 分

1 , 2 即 x ? ? ln 2 . ?ex ?
20. (本小题满分 14 分)

…………………13 分 …………………14 分

若函数 f ( x) 满足:对定义域内任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有,则称函数 f ( x) 为 H 函数.已知

f ( x) ? x 2 ? cx ,且 f (x) 为偶函数.
(1) 求 c 的值; (2) 求证: f ( x) 为 H 函数; (3) 试举出一个不为 H 函数的函数 g (x) ,并说明理由. 解:(1)因为 f ( x) 为偶函数,所以 c ? 0 . (2)由(1)知 f ( x) ? x ,所以
2

…………………2 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 x12 ? x2 2 x ?x ? f( )? ? ( 1 2 )2 2 2 2 2
=

…………………4 分

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 即 ? f ( 1 2 ) , f ( x) 为 H 函数. 2 2

1 ( x1 ? x2 )2 ? 0 , 4

…………………5 分 …………………6 分 …………………8 分

(3) 例: g ( x) ? log 2 x . (说明:底数大于 1 的对数函数或 ? x 都可以) .
2

理由:当 x1 ? 1, x2 ? 2 时,

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 1 ? (log 2 1 ? log 2 2) ? , 2 2 2 x1 ? x2 1? 2 3 1 g( ) ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? , 2 2 2 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ?x 显然不满足 ? g( 1 2 ) , 2 2
所以该函数 g ( x) ? log 2 x 不为 H 函数.

…………………10 分 …………………12 分

…………………14 分

2010 年市期末 A 选编
10.给出下列三个函数图像: y y y y

o

x

o

x

o

x

o

x

a

b

c

d

它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的至少一条: ①对任意实数 x, y 都有 f ( xy) ? f ( x) f ( y) 成立; ②对任意实数 x, y 都有

f ( x ? y) ? f ( y ) 成立; f ( x)
B )

③对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 成立. 则下列对应关系最恰当的是( A. a 和①, b 和②,c 和③ C. c 和①, a 和②, b 和③ B. c 和①,b 和②, a 和③ D. b 和①,c 和②, a 和③

13.若函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 的反函数是 g (x) ,且 g (x) 在[1,2]上的最大值与最小值之和为 ? 1 ,
x

则a ?

1 2

.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

cx ? 1 ( c 为常数). x ?1

(1)若 1 为函数 f (x) 的零点, 求 c 的值; (2)在(1)的条件下且 a ? b ? 0 , 求 f (4 ) ? f (4 ) 的值;
a b

(3)若函数 f (x) 在[0,2]上的最大值为 3, 求 c 的值. 解: (1)

?1 为 f (x) 的一个零点,
? f (1) ? 0 即 c ? 1 .
…………………2 分 …………………3 分

(2) 由(1)知: f ( x) ?
a

x ?1 , x ?1
b

所以 f (4 ) ? f (4 ) ?

4 a ? 1 4b ? 1 2 ? 4 a ?b ? 2 ? b ? a ? 0 .…………………6 分 4 a ? 1 4 ? 1 (4 ? 1) ? (4 b ? 1)

(3)先证 f (x) 的单调性. 设 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?

cx2 ? 1 cx1 ? 1 ( x 2 ? x1 ) ? (c ? 1) ? ? . x 2 ? 1 x1 ? 1 ( x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)

…………………8 分

因 为 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 所 以 当 c ? ?1 时 , 增, 所以 f ( x) max ? f (2) ? 3 ,即

f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 即 函 数 f (x) 在 [0,2] 上 是 单 调 递
…………………9 分

2c ? 1 ? 3 ,解得 c ? 5 . 2 ?1

…………………10 分

当 c ? ?1 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,即函数 f (x) 在[0,2]上是常函数, 所以 f ( x) ? ?1 ,不合题意. …………………11 分

当 c ? ?1 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,即函数 f (x) 在[0,2]上是单调递减, 所以 f ( x) max ? f (0) ? 3 ,即 ? 1 ? 3 ,显然不成立. 综上所述, c ? 5 . …………………13 分 …………………14 分

20. (本小题满分 14 分)

已知二次函数 f ( x) ? x ? cx ( c 为常数).
2

(1)若函数 f (x) 是偶函数,求 c 的值; (2)若 c ? ?3, x ? Z ,求函数 f (x) 的最小值; (3)在(1)的条件下, 满足 m ? n ? 2k , (m ? n) 的任意正实数 m, n, k ,都有 f (m) ? f (n) ? tf (k ) , 求实数 t 的取值范围。 解: (1)?函数 f (x) 是偶函数,

? f ( x) ? f (? x) 恒成立,即 x 2 ? cx ? x 2 ? cx 恒成立, ?c ? 0.
3 9 f ( x) ? x 2 ? 3 x ? ( x ? ) 2 ? . 2 4 ? x?Z ,

…………………1 分 …………………2 分(2)

…………………3 分

?当 x ? 1或x ? 2 时,函数 f (x) 取得最小值为 ? 2 .
(3)由(1)知 f ( x) ? x .
2

…………………6 分

由题意知: m ? n ? t ? k ,
2 2 2

? m 2 ? (2k ? m) 2 ? t ? k 2 ,
m m ? 2( ) 2 ? 4 ? ? 4 ? t ? 0 . k k m 令s ? , k

…………………8 分

? 2s 2 ? 4 s ? 4 ? t ? 0 , ? 2( s ? 1) 2 ? 2 ? t ? 0 .
当 s ? 1时,即 m ? k ,此时 n ? m ,与已知 m ? n 矛盾, ? S ? 1, …………………10 分

…………………12 分 …………………14 分

? 2 ? t ? 0,

?t ? 2.