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26.3 实际问题与二次函数(2)


探究:计算机把数据存储在磁盘上, 探究 计算机把数据存储在磁盘上,磁盘是带有磁 计算机把数据存储在磁盘上 性物质的圆盘,磁盘上有一些同心圆轨道, 性物质的圆盘,磁盘上有一些同心圆轨道,叫做 磁道,如图,现有一张半径为45mm的磁盘. 45mm的磁盘 磁道,如图,现有一张半径为45mm的磁盘.

(1)磁盘最内磁道的半径为 mm,其上每 )磁盘最内磁道的半径为

r , 0.015mm的弧长为 个存储单元,这条磁道有多 的弧长为1个存储单元 的弧长为 个存储单元, 少个存储单元? 少个存储单元?
(2)磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm,磁 磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm, 0.3mm 盘的外圆周不是磁道,这张磁盘最多有多少条磁道? 盘的外圆周不是磁道,这张磁盘最多有多少条磁道? (3)如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同.最 如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同. 内磁道的半径r是多少时,磁盘的存储量最大? 内磁道的半径r是多少时,磁盘的存储量最大?

y? x 2 最大值

(1) 请用长 米的篱笆设计一个矩形的菜园。 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园 米的篱笆设计一个矩形的菜园。 (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大? 怎样设计才能使矩形菜园的面积最大? 怎样设计才能使矩形菜园的面积最大 y
30 25 20 15 10 5 -1 0 1 2

A

D

x
B (0<x<10)
3 4 5 6 7 8 9 1o

y
C

x

如图,用长 米的篱笆围成一个一面靠 如图,用长20米的篱笆围成一个一面靠 墙的长方形的菜园, 菜园的宽为 的宽为x米 墙的长方形的菜园,设菜园的宽为 米,面 积为y平方米 平方米。 积为 平方米。 D A (1)求y与x的函数关系式及 求 与 的函数关系式及 自变量的取值范围; 自变量的取值范围; B C

(2)怎样围才能使菜园的面积最大? 怎样围才能使菜园的面积最大? 怎样围才能使菜园的面积最大 最大面积是多少? 最大面积是多少?

如图,在一面靠墙的空地上用长为 米的篱笆 米的篱笆, 如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为 米 面积为S平方米 平方米。 篱笆的长方形花圃,设花圃的宽 为x米,面积为 平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; 的函数关系式及自变量的取值范围; 求 与 的函数关系式及自变量的取值范围 (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? 取何值时所围成的花圃面积最大, 当 取何值时所围成的花圃面积最大 最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为 米,则求围成花圃的最大面积。 若墙的最大可用长度为8米 则求围成花圃的最大面积。 若墙的最大可用长度为 解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米

24 4x ∴ 花圃宽为(24-4x)米
∴ S=x(24-4x) =-4x2+24 x (0<x<6)

A B

D C

4ac ? b 2 b (2)当x= ? = 3 时,S最大值= 4a =36(平方米) 当 2a

(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24-4x ≤6 4≤x<6 ∴当x=4cm时,S最大值=32 平方米

想一想P 想一想 62 1

何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD, , 其中AB AD分别在两直角边上 AB和 分别在两直角边上. 其中AB和AD分别在两直角边上.
M

(1).设矩形的一边AB=xm,那么 (1).设矩形的一边AB=xm,那么AD 那么AD 设矩形的一边 边的长度如何表示? 边的长度如何表示? (2).设矩形的面积为 2,当x取何 设矩形的面积为ym 当 取何 设矩形的面积为 值时,y的最大值是多少 的最大值是多少? 值时 的最大值是多少

30m

D ┐ A

C

40m

B

N

想一想P 想一想 63 3

何时面积最大

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD, 如图, 分别在两直角边上, 在斜边上. 其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. (1).设矩形的一边 设矩形的一边BC=xm,那么 那么AB 设矩形的一边 那么 边的长度如何表示? 边的长度如何表示? (2).设矩形的面积为 2,当x取何 设矩形的面积为ym 当 取何 设矩形的面积为 值时,y的最大值是多少 的最大值是多少? 值时 的最大值是多少
M
30m

C
H

D P┐

B
G

A N 解: (1) . 勾 定 得 由 股 理 MN = 50m, PH = 24m. 40m 12 设AB = bm,易得 = ? x + 24. b 12 2 ? 12 ? 25 12 2 = ? (x ? 25) + 300. (2).y = xb = x? ? x + 24? = ? x + 24x 25 25 ? 25 ? 2 b 4ac ?b 或用公式:当x = ? = 25时 y最大值 = , = 300. 2a 4a

做一做P 做一做 62 5

何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 半部是矩形,制造窗框的材料总长( 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和) 15m.当 等于多少时 等于多少时, 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 0.01m)?此时 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 ? 7x ?πx x x 解: (1). 4y + 7x +πx =15. 得, y = 由 . 4 2 2 πx ?15 ? 7x ?πx ? πx

= 2x? ?+ 2 4 2 y 2 ? ? 7 2 15 7 15 ? 225 = ? x + x = ? ?x? ? + . ? 2 2 2 ? 14 ? 56 b 15 4ac ?b2 225 或用公式:当x = ? = ≈1.07时 y最大值 = , = ≈ 4.02. 2a 14 4a 56

(2).窗户面积S = 2xy +

例2:有一根直尺的短边长2cm,长边长 有一根直尺的短边长 ,长边长10cm,还有一块锐角 , 为45°的直角三角形纸板,其中直角三角形纸板的斜边长为 °的直角三角形纸板, 12cm.按图 的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形 .按图14—1的方式将直尺的短边 放置在与直角三角形 的方式将直尺的短边 纸板的斜边AB上,且点D与点 重合.若直尺沿射线AB方向平 纸板的斜边 上 且点 与点A重合.若直尺沿射线 方向平 与点 重合 行移动,如图14—2,设平移的长度为 (cm),直尺和三角形 ),直尺和三角形 行移动,如图 ,设平移的长度为x( ), 纸板的重叠部分(图中阴影部分 的面积为S 图中阴影部分)的面积为 纸板的重叠部分 图中阴影部分 的面积为 cm 2). ). (1)当x=0时,S=_____________; ) 时 ; 当x = 10时,S =______________; 时 ; (2)当0<x≤4时,如图14—2,求S与x的函数关系式; ) < 时 如图 , 与 的函数关系式; 的函数关系式 的函数关系式; (3)当6<x<10时,求S与x的函数关系式; ) < < 时 与 的函数关系式 为何值时, (4)请你作出推测:当x为何值时,阴影部分的面积最大?并写 )请你作出推测: 为何值时 阴影部分的面积最大? 出最大值. 出最大值.
C C F G C C

F A E B 图14—1

A

x

D

E 图14—2

B A 备选图一 B

A 备选图二

B

(D)

1.某工厂为了存放材料,需要围一个周长160米的 1.某工厂为了存放材料,需要围一个周长160米的 某工厂为了存放材料 160 矩形场地,问矩形的长和宽各取多少米, 矩形场地,问矩形的长和宽各取多少米,才能使 存放场地的面积最大。 存放场地的面积最大。 2.窗的形状是矩形上面加一个半圆 窗的形状是矩形上面加一个半圆。 2.窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等 6cm,要使窗能透过最多的光线, 于6cm,要使窗能透过最多的光线,它的尺寸应 该如何设计? 该如何设计? A O D

B

C

3.用一块宽为 3.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 用一块宽为 m 一个水槽,水槽的横断面为底角120 120?的等 一个水槽,水槽的横断面为底角120 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大, 腰梯形。要使水槽的横断面积最大,它的 侧面AB应该是多长? AB应该是多长 侧面AB应该是多长? A D

B

C

4.如图3,规格为 cm×60 cm的正方形地砖在运输过程中受 如图3 规格为60 × 的正方形地砖在运输过程中受
损,断去一角,量得AF=30cm,CE=45 cm。现准备从五边形 断去一角,量得 , = 。 地砖ABCEF上截出一个面积为 的矩形地砖 上截出一个面积为S的矩形地砖 地砖 上截出一个面积为 的矩形地砖PMBN。 。 的代数式表示y,并写出x的取 (1)设BN=x,BM=y,请用含 的代数式表示 ,并写出 的取 ) , ,请用含x的代数式表示 值范围; 值范围; 的代数式表示S, (2)请用含 的代数式表示 ,并在给定的直角坐标系内画出该 )请用含x的代数式表示 函数的示意图; 函数的示意图; 取何值时, 有最大值 有最大值? (3)利用函数图象回 答:当x取何值时,S有最大值?最大值 )利用函数图象回2答 取何值时 是多少? 是多少?
B M A

F

N

P

C

E

D

图3

5.在矩形ABCD中 AB=6cm,BC=12cm, 5.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A 在矩形ABCD 从点A 出发, AB边向点 1cm/秒的速度移动 同时, 边向点B 秒的速度移动, 出发,沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动,同时, 从点B出发沿BC边向点C 2cm/秒的速度移动 BC边向点 秒的速度移动。 点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。 如果P 两点在分别到达B 两点后就停止移动, 如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动, 回答下列问题: 回答下列问题: D C 运动开始后第几秒时, (1)运动开始后第几秒时, PBQ的面积等于 的面积等于8cm △PBQ的面积等于8cm2 Q 设运动开始后第t秒时, (2)设运动开始后第t秒时, 五边形APQCD的面积为Scm APQCD的面积为 五边形APQCD的面积为Scm2, 写出S 的函数关系式, 写出S与t的函数关系式, 并指出自变量t的取值范围; 并指出自变量t的取值范围; A B P 为何值时S最小?求出S的最小值。 t为何值时S最小?求出S的最小值。

6.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C 如图,在平面直角坐标系中,四边形 为菱形, 如图 为菱形 的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于 轴的直线 从y轴出发, 轴的直线l从 轴出发 轴出发, 的坐标为 , ° 垂直于x轴的直线 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动 沿x轴正方向以每秒 个单位长度的速度运动,设直线 与菱形 轴正方向以每秒 个单位长度的速度运动,设直线l与菱形 OABC的两边分别交于点 、N(点M在点 的上方 的两边分别交于点M、 点 在点 的上方). 在点N的上方 的两边分别交于点

(1)求A、B两点的坐标; 求 、 两点的坐标 两点的坐标;
的面积为S,直线l运动时间为 运动时间为t秒 (2)设△OMN的面积为 ,直线 运动时间为 秒(0≤t≤6), 设 的面积为 , 试求S 的函数表达式; 试求 与t的函数表达式; 的函数表达式 (3)在题(2)的条件下 t为何值时 S的面积最大 (3)在题(2)的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积 在题 的条件下, 为何值时, 的面积最大? 是多少? 是多少?

2 7.二次函数 二次函数y=ax +bx+c的图象的一部分如图所示, 的图象的一部分如图所示, 二次函数 的图象的一部分如图所示 已知它的顶点M在第二象限 且经过点A( , ) 在第二象限, 已知它的顶点 在第二象限,且经过点 (1,0)和 杭州) 点B(0,1)。(04杭州) ( , )。 杭州

的取值范围, (1)请判断实数 的取值范围,并说明理由; )请判断实数a的取值范围 并说明理由; -1<a<0 (2)设此二次函数的图象 ) 轴的另一个交点为C, 与x轴的另一个交点为 , 轴的另一个交点为 的面积为△ 当△AMC的面积为△ABC 的面积为 倍时, 的值。 的 5 倍时,求a的值。 的值 4
y

1B A 1

O

x

议一议

4

“二次函数应用” 的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积” 回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解 决问题的过程,你能总结一下解决此类问题的基本 决问题的过程,你能总结一下解决此类问题的基本 思路吗 与同伴交流. 思路吗?与同伴交流. 1.理解问题 理解问题; 理解问题 2.分析问题中的变量和常量 以及它们之间的关系 分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 分析问题中的变量和常量 以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系 用数学的方式表示出它们之间的关系; 用数学的方式表示出它们之间的关系 4.做数学求解 做数学求解; 做数学求解 5.检验结果的合理性 拓展等 检验结果的合理性,拓展等 检验结果的合理性 拓展等.


26.3 实际问题与二次函数(2)(含答案)-

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26.3实际问题与二次函数球类

建立实际问题中的数据与二次函数中的对应关系. 3、函数的性质解决实际问题,获得利用数学方法解决实际问题的经验. 问: (1)当 h=2.6 时,求 y 与 x 的关系...

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26.3 实际问题与二次函数(3)建立适当的平面直角坐标系 例 1.某涵洞是抛物线...ax2 (a ? 0) .此时只需抛物线上的一个点就能 求出抛物线的函数关系式. 2...

【教案一】26.3实际问题与二次函数

26.3 实际问题与二次函数教案一一、教学目标 (一)知识与技能 1.经历实际问题与二次函数关系的探究,体会数学的实用价值。 2.通过本节课学习,巩固理解顶点与最值...

26.3.3实际问题与二次函数(桥洞问题)

26.3.3实际问题与二次函数(桥洞问题)_军事/政治_人文社科_专业资料。九年级数学...2:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底 部宽 AB=4m,顶部 C 离地面...

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