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利用导数证明不等式


每当人们在星空下仰望 总有你那平凡而独特的模样 每颗星星面前都是你铺的道路 固定轨迹里散发出永恒的光亮 你从宇宙到了我们身边 太阳月亮两个把你的存在隐藏 但退一步定睛细看 你又一点点露出了面庞 我们的间距忽近忽远 恍然间便离开了身旁 有时是圆的影子 而双曲线和抛物线又是你的伪装

虔诚的人为你的存在而寻觅 终于在固定的离心范围找到你的家乡 再回看那长夜中星光

的轨迹 在你身影的形状中又有别样的光芒 原来每个点都有你特殊的意义 原来在你的身躯里有伟大的能量 我们循着轨道继续不断的探索 而你的踪迹指引着我们前进的方向 圆锥曲线是平面上的花园 那优雅的椭圆就是最馥郁的芬芳 在学习椭圆中感受几何的宏伟 来享受吧!课堂那边是浩瀚的海洋

每当人们在星空下仰望 总有你那平凡而独特的模样 每颗星星面前都是你铺的道路 固定轨迹里散发出永恒的光亮 你从宇宙到了我们身边 太阳月亮两个把你的存在隐藏 但退一步定睛细看 你又一点点露出了面庞 我们的间距忽近忽远 恍然间便离开了身旁 有时是圆的影子 而双曲线和抛物线又是你的伪装

虔诚的人为你的存在而寻觅 终于在固定的离心范围找到你的家乡 再回看那长夜中星光的轨迹 在你身影的形状中又有别样的光芒 原来每个点都有你特殊的意义 原来在你的身躯里有伟大的能量 我们循着轨道继续不断的探索 而你的踪迹指引着我们前进的方向 圆锥曲线是平面上的花园 那优雅的椭圆就是最馥郁的芬芳 在学习椭圆中感受几何的宏伟 来享受吧!课堂那边是浩瀚的海洋

青山青,青山是山; 椭圆椭,椭圆非圆。

极目远眺,寻寻觅觅, 万千佳丽中, 唯有你----朴实而平凡,却华贵雍容, 日月星辰,唱响永恒旋律, 岁月无痕,彰显风度翩翩, 蓦然回首, 在沧海的尽头,在心田的林间, 就是你------灵犀 椭圆。

利用导数证明有关不等式: 例1.求证:当x>0时,1+2x<e2x 分析:
若令f(x)= 1+2x-e2x ? f(x)<0(在x>0时)恒成立 即把不等式问题等价转化为函数的最值问题。

利用导数证明不等式,通常 要构造函数,通过研究函数 单调性及最值来证明

[例2]:求证: x ? ?1时, 1? e

?x

x ? ; x ?1

x 1 1 ?x 证明: (1)原不等式 ? 1 ? ? e ,即 ? x , 即e x ? x ? 1 x ?1 x ?1 e
设f ?x? ? e x ? x ?1, ( x ? ?1),则f ' ?x? ? e x ?1 当x ? (?1,0)时f ' ( x) ? 0; x ? (0,??)时f ' ( x) ? 0.

即f ?x ?在(?1,0)上单调递减,在 (0,??)上单调递增 .

? f ?x ?min ? f ?0? ? 0 ? f ?x ? ? 0,即e x ? x ? 1 所以原不等式成立 .

练习]: 已知a ? ln 2 ? 1, 求证:x ? 0时,e ? x ? 2ax ? 1.
x 2

证明:设f ?x? ? e x ? x 2 ? 2ax ?1, x ? 0
则 f ' ? x ? ? e x ? 2 x ? 2a
设g ?x? ? f ' ?x?, 则g ' ?x? ? e x ? 2

二次 求导

符号无法 判断!

当0 ? x ? ln 2时, g ' ?x ? ? 0;当x ? ln 2时,g ' ?x ? ? 0.

即g ?x ?在?0, ln 2?上单调递减,在 (ln 2,??)上单调递增 .
所以g ?x?min ? g ?ln 2? ? eln2 ? 2 ln 2 ? 2a ? 2(1 ? ln 2 ? a)

? f ?x ?在(0,??)上单调递增 x 2 ? ? ? ? ? x ? 0时f x ? f 0 ? 0 ,即e ? x ? 2ax ? 1.

? a ? ln 2 ? 1? g ?x ?min ? 0 ? g ?x ? ? f ' ?x ? ? 0


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