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利用导数证明不等式


每当人们在星空下仰望 总有你那平凡而独特的模样 每颗星星面前都是你铺的道路 固定轨迹里散发出永恒的光亮 你从宇宙到了我们身边 太阳月亮两个把你的存在隐藏 但退一步定睛细看 你又一点点露出了面庞 我们的间距忽近忽远 恍然间便离开了身旁 有时是圆的影子 而双曲线和抛物线又是你的伪装

虔诚的人为你的存在而寻觅 终于在固定的离心范围找到你的家乡 再回看那长夜中星光的轨迹 在你身影的形状中又有别样的光芒 原来每个点都有你特殊的意义 原来在你的身躯里有伟大的能量 我们循着轨道继续不断的探索 而你的踪迹指引着我们前进的方向 圆锥曲线是平面上的花园 那优雅的椭圆就是最馥郁的芬芳 在学习椭圆中感受几何的宏伟 来享受吧!课堂那边是浩瀚的海洋

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青山青,青山是山; 椭圆椭,椭圆非圆。

极目远眺,寻寻觅觅, 万千佳丽中, 唯有你----朴实而平凡,却华贵雍容, 日月星辰,唱响永恒旋律, 岁月无痕,彰显风度翩翩, 蓦然回首, 在沧海的尽头,在心田的林间, 就是你------灵犀 椭圆。

利用导数证明有关不等式: 例1.求证:当x>0时,1+2x<e2x 分析:
若令f(x)= 1+2x-e2x ? f(x)<0(在x>0时)恒成立 即把不等式问题等价转化为函数的最值问题。

利用导数证明不等式,通常 要构造函数,通过研究函数 单调性及最值来证明

[例2]:求证: x ? ?1时, 1? e

?x

x ? ; x ?1

x 1 1 ?x 证明: (1)原不等式 ? 1 ? ? e ,即 ? x , 即e x ? x ? 1 x ?1 x ?1 e
设f ?x? ? e x ? x ?1, ( x ? ?1),则f ' ?x? ? e x ?1 当x ? (?1,0)时f ' ( x) ? 0; x ? (0,??)时f ' ( x) ? 0.

即f ?x ?在(?1,0)上单调递减,在 (0,??)上单调递增 .

? f ?x ?min ? f ?0? ? 0 ? f ?x ? ? 0,即e x ? x ? 1 所以原不等式成立 .

练习]: 已知a ? ln 2 ? 1, 求证:x ? 0时,e ? x ? 2ax ? 1.
x 2

证明:设f ?x? ? e x ? x 2 ? 2ax ?1, x ? 0
则 f ' ? x ? ? e x ? 2 x ? 2a
设g ?x? ? f ' ?x?, 则g ' ?x? ? e x ? 2

二次 求导

符号无法 判断!

当0 ? x ? ln 2时, g ' ?x ? ? 0;当x ? ln 2时,g ' ?x ? ? 0.

即g ?x ?在?0, ln 2?上单调递减,在 (ln 2,??)上单调递增 .
所以g ?x?min ? g ?ln 2? ? eln2 ? 2 ln 2 ? 2a ? 2(1 ? ln 2 ? a)

? f ?x ?在(0,??)上单调递增 x 2 ? ? ? ? ? x ? 0时f x ? f 0 ? 0 ,即e ? x ? 2ax ? 1.

? a ? ln 2 ? 1? g ?x ?min ? 0 ? g ?x ? ? f ' ?x ? ? 0


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