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浙江省绍兴一中2013届高三10月份阶段性测试数学理试题


浙江绍兴一中 2013 届高三 10 月份阶段性测试 高三数学(理科)
注意:务必把所有答案写在答题纸上 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a 2 ,若 A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ,则 a 的值为 A. 答案:D 2. 已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2

a5 , a 2 =1,则 a1 = A. 答案:B 3. 若 a ? 1, b ? A. 答案:B 4 . 若 M 为 ?ABC 所 在 平 面 内 一 点 , 且 满 足
2

?

?

0

B. 1

C. 2

D. 4

1 2
? ?

B.

2 2

C.

2

D. 2

? ? ? ? ? 2, a ? b ? a , 则 a 与 b 的夹角为

?

?

300

B.

450

C.

600

D.

750

? MB ? MC ? ? ? MB ? MC ? ? 0 ,
D.等腰直角三角形

???? ???? ?

???? ???? ?

???? ???? ? ???? ? MB ? MC ? 2MA ? 0 ,则 ? ABC 的形状为
A.正三角形 答案:C 5.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 x ,则下列结论正确的是 A. f ( x) 是偶函数,递增区间是 (0,+ B. f ( x) 是偶函数,递减区间是 (B.直角三角形 C.等腰三角形

)
,1)

C. f ( x) 是奇函数,递减区间是 (- 1,1) D. f ( x) 是奇函数,递增区间是 (答案:C 6. 已 知 函 数 f ( x) 对 任 意 的 实 数 x , 满 足 f ( x) ? f ? ? x), 且 当 x ? (? (

, 0)

? ?

, )时 , 2 2

f ( x) ? x ? sin x ,则
A、 f (1) ? f (2) ? f (3) C、 f (3) ? f (2) ? f (1) 答案:D 7 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) g ( x)满 足 、 B、 f (2) ? f (3) ? f (1) D、 f (3) ? f (1) ? f (2)

f ( x) , ? a x , 且 f '( x ) g ( x ) f ( x ) g '(x ) ? g ( x)

? f (n) ? f (1) f (?1) 5 31 ? ? ,若有穷数列 ? ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等于 g (1) g (?1) 2 32 ? g (n) ?
A.4 答案:B 8.在 ?ABC 中, tan A 是以-4 为第 3 项,4 为第 5 项的等差数列的公差, tan B 是以 为第 3 项,9 为第 6 项的等比数列的公比,则该三角形是 A. 锐角三角形 答案:A 9. 直线与函数 y ? sin x( x ? ? 0, ? ?) 的图像相切于点 A ,且 l // OP , O 为坐标原点, P 为图 像的极大值点,与 x 轴交于点 B ,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,则 BA?BC = A. 答案:B 10.已知函数 f ( x ) ? a ? x ? x ( a 为常数,且 a ? N * ) ,对于定义域内的任意两个实数 x1 、
x 2 ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 1 成立,则正整数 a 可以取的值有
1 3

B.5

C.6

D. 7

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

??? ??? ? ?

?2
4

B.

?2 ?4
4

C.

? 2

D. 2

A.4 个 答案:B

B.5 个

C.6 个

D.7 个

二、填空题(每题 3 分,共 21 分) 11. 函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

则 ? 的部分图象如左下图所示, ?, ? 的 2?

值分别为



.

? 答案:2, 6
12.已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) 的定义域和值域都是 ? 0,1? ,则实数 a 的值是 答案:2 13. 以下命题:①若 a ? b ? a ? b , 则 a ∥ b ;② a ? (?1,1) 在 b ? (3,4) 方向上的投影为 ▲___

1 ; 5

③若△ ABC 中, a ? 5, b ? 8, c ? 7, 则 BC ? CA ? 20 ;④若非零向量 a 、 b 满足 a ? b ? b , 则 2b ? a ? 2b .其中所有真命题的标号是 答案:①②④ ▲ .

? ?? 4 ? 14. 设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin(2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
17 2 答案: 50 。
15. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA和OB ,它们的夹角为 90? ,如图所示,点 C 在以 O 为 圆心的圆弧 AB 上运动, OC ? xOA ? yOB , 若 其中 x, y ? R , x ? y 则 的最大值是 答案: 2 16. 将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0—1 三角数表.从上往下数 ,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全行的 数都为 1 的是第 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 行. ▲ .

??? ??? ? ?
??? ?

????

??? ?

???? 答案: 2 ? 1
n

17. 在平面直角坐标系中, 定义 d ( P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间

的“折线距离”. 则坐标原点 O 与直线 2 x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”的最小 值是__▲ __;圆 x ? y ? 1上一点与直线 2 x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”的最
2 2

小值是__▲ _.

5 答案: 5 , 2

?3x ? 2 5 x ? 5 ? ? 解析: (1)d ? x ? 2 x ? 2 5 ? ?? x ? 2 5 0 ? x ? 5 , 画图可知 x ? 5 时,d 取最小值. ? ??3x ? 2 5 ? x ? 0 ? ?

? ?

?

?

(2)设圆上点 P ? cos ? ,sin ? ? ,直线上点 Q ? x, y ? , 则 d ? x ? cos ? ? y ? sin ? ? x ? cos ? ? 2 x ? ? 5 ?

? ?

sin ? ? ? 2 ?

? sin ? ? ? ?3 x ? cos ? ? sin ? ? 2 5 ? x ? 5 ? 2 ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? x ? cos ? ? sin ? ? 2 5 ? cos ? ? x ? 5 ? ?, 2 ? ? ? ? ?3 x ? cos ? ? sin ? ? 2 5 ? x ? cos ? ? ? ? sin ? 画出此折线,可知在 x ? 5 ? 时, d 取最小值, 2 sin ? ? 1 5 ? d min ? x ? 5 ? sin ?? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 5 ? sin ? ? 5 ? ? sin ? ? 2 cos ? ? ? 5 ? 2 ? 2 2 ?
三、解答题(共 49 分) 18. (本小题满分 9 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 | BA ? BC |? 2, 求?ABC 的面积的最大值。 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,? (2a ? c) cos B ? b cosC, 根据正弦定理有 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC,

? 2 sin A cos B ? sin(C ? B), 即2 sin A cos B ? sin A.
? sin A ? 0,? cos B ?
(Ⅱ)?| BA ? BC |? 2,
2 2

1 , 2

又? B ? (0, ? ),? B ?

?
3

.

------(4 分)

?| CA |? 2,即b ? 2.
2 2 2

根据余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B, 有4 ? a ? c ? ac

? a 2 ? c 2 ? 2ac (当且仅当 a ? c ? 2 时取“=”号)

? 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac,
即 ac ? 4,? ?ABC 的面积 S ?

1 3 ac sin B ? ac ? 3, 2 4
------(9 分)

即当 a=b=c=2 时,△ABC 的面积的最大值为 3.

19. (本小题满分 10 分) 已知数列 {a n } 满足递推式 a n ? 2a n ?1 ? 1(n ? 2) ,其中 a 4 ? 15 . (Ⅰ)求 a1 , a 2 , a3 ; (Ⅱ) 求证数列?an ? 1?是等比数列, 并求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)已知数列 {bn } 有 bn ?

n 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n 。 an ? 1

解: (Ⅰ)由

a n ? 2a n ?1 ? 1(n ? 2)

a ? 2a 3 ? 1 a 3 ? 7 ,及 a 4 ? 15 . 知 4 得
------(3 分)

同理得 a2 ? 3, a1 ? 1

(Ⅱ)由 a n ? 2a n ?1 ? 1(n ? 2) 得 a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1) 所以,数列{ a n ? 1 }是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列

a n ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2 n ?1 ,
n 所以,数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 2 ? 1

------(3 分)

(Ⅲ)∵ a n ? 2 n ? 1

∴ bn ?

n n = n an ? 1 2
① ②

1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 由①-②错位相减得: (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n?1 2 2 2 2 2 2 1 n 故: S n ? 2 ? n?1 ? n ------(4 分) 2 2
∴ S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

20. (本小题满分 10 分) 已知 f ? x ? ? x ? ln x , g ? x ? ?

ln x ,其中 x ? ? 0, e ? (e 是自然常数). x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调性和极小值; (Ⅱ)求证: g ? x ? 在 ? 0, e ? 上单调递增; (Ⅲ)求证: f ( x) ? g ( x) ?

1 . 2

解:(Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?
/

1 x ?1 ? x x
/

∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单 调递增 ∴ f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1 (Ⅱ) g ? ? x ? ? ------(4 分)

1 ? ln x x
------(3 分)

当 0 ? x ? e 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 (0, e] 上单调递增

(Ⅲ)? f ( x) 的极小值为 1,即 f ( x) 在 (0, e] 上的最小值为 1,∴ f ( x) ? 0 , f ( x) min ? 1 ∴ g max ? x ? ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 ? f min ? x ? 2 e 2 2 2

------(3 分)

21. (本小题满分 10 分) 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈R,有 f(x+T)=T f(x)成立. (Ⅰ)函数 f(x)= x 是否属于集合 M?说明理由;

(Ⅱ)设函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点,证明: f(x)=a ∈M; (Ⅲ)若函数 f(x)=sinkx∈M ,求实数 k 的值. 解: (Ⅰ)对于非零常数 T,f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意 x∈R,x+T= Tx 不能恒成立,所以 f(x)= x ? M . ------(2 分)
x x

x

(Ⅱ)因为函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x 的图象有公共点, 所以方程组: ?

?y ? ax ?y ? x
x

有解,消去 y 得 a =x,
T

x

显然 x=0 不是方程 a =x 的解,所以存在非零常数 T,使 a =T. 于是对于 f(x)=a 有 f ( x ? T ) ? a
x

x ?T

? a T ? a x ? T ? a x ? Tf ( x)

故 f(x)=a ∈M.

x

------(3 分)

(Ⅲ)当 k=0 时,f(x)=0,显然 f(x)=0∈M. 当 k≠0 时,因为 f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数 T,对任意 x∈R,有 f(x+T)=T f(x)成立,即 sin(kx+kT)=Tsinkx . 因为 k≠0,且 x∈R,所以 kx∈R,kx+kT∈R, 于是 sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1], 故要使 sin(kx+kT)=Tsinkx .成立, 只有 T= ? 1 ,当 T=1 时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则 k=2mπ , m∈Z . 当 T=-1 时,sin(kx-k)=-sinkx 成立, 即 sin(kx-k+π )= sinkx 成立, 则-k+π =2mπ , m∈Z ,即 k=-2(m-1) π , m∈Z . 综合得,实数 k 的取值范围是{k|k= mπ , m∈Z} ------(5 分)

22. (本小题满分 10 分) 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

, n ? N *,

(Ⅰ)设 bn ?1 ? 1 ?

bn , n ? N *, an

2 ?? b ? 2 ? ? bn ? bn ?1 ? ? 求证: (1) ? 1 ? ? ? (2)数列 ?? n ? ? 是等差数列,并求出其公差; an ? ? an?1 ? an ? ?? ? ?

(Ⅱ)设 bn ?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

解: (Ⅰ) (1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2



?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。 an?1 ? an ?
2

2

------(3 分)

2 2 2 ? 2 ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? (2) ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? 1 ? ? n ? ? ? ? n ? ? 1? n ? N *? ? ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ?



?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?
(Ⅱ)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an ?1 ?

------(2 分)

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2。 (﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q=1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1q n > 2 ,与(﹡)矛盾。 a1 q

若 0 < q < 1, 则 a1 =

a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1q n < 1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

∴综上所述, q=1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

2?
∴ bn =

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。

------(5 分)


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