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3.1.2不等关系与不等式第二课时


3.1 不等关系与不等式 (二)

1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
2. a ?b ? a?b ? 0
a ?b ? a?b ? 0 a ?b ? a?b ? 0

3. 比较两个代数式的大小——作差比较法 作差 →变形 →判断符号 →得出结论

性质1:如果a>b,那么b<a

;如果b<a,那么a>b. 证明:因为
a ? b , 所以 a ? b ? 0,

所以 ? ( a ? b ) ? 0 , 即 b ? a ? 0 ,

所以 b ? a .

性质1表明,把不等式的左边和右边交换位置, 所得不等式与原不等式异向,我们把这种性质称为 不等式的对称性。

性质2:如果a>b,b>c,那么a>c. (传递性)
证明:
a ? b , b ? c ? a ? b ? 0, b ? c ? 0

? ( a ? b ) ? (b ? c ) ? 0

? a ? c ? 0 ? a ? c.

这个性质也可以表示为c<b,b<a,则c<a.这个 性质是不等式的传递性。

性质3:如果a>b,则a+c>b+c.
证明: 因为 a ? b ,
所以 ( a ? c ) ? ( b ? c ) ? a ? b ? 0 ,

所以 a ? c ? b ? c .

性质3表明,不等式的两边都加上同一个实数,
所得的不等式与原不等式同向. a+b>c ? a+b+(-b)>c+(-b) ? a>c-b.

结论:不等式中的任何一项都可以改变符号后移到 不等式另一边(移项法则)

性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;如果a>b,c<0,则
ac<bc.
由 证明: a ? b, 得 a ? b ? 0, 又 c ? 0,
所以 ( a ? b ) c ? 0 , 即 ac ? bc ? 0 ,

所以 ac ? bc .

性质5:如果a>b,c>d,则a+c>b+d. 证明:因为a>b,所以a+c>b+c,又因为c>d, 根据不等式的传递性 所以b+c>b+d, 得a+c>b+d. 几个同向不等式的两边分别相加,所得的不等 式与原不等式同向.

性质6:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd. 证明:因为a>b,c>0,所以ac>bc,

又因为c>d,b>0,所以bc>bd,
根据不等式的传递性得 ac>bd

几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘, 所得的不等式与原不等式同向.

性质7: 果 a ? b ? 0, 那 么 a n ? b n , ( n ? N , n ? 2 ) 如 性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边 同时乘方所得的不等式和原不等式同号. 性质8:如 果 a
? b ? 0, 那 么 n a ?
n

b , ( n ? N , n ? 2)

性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两 边同时开方所得不等式与原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式 问题的基本依据

1.对于实数 a , b , c 判断下列命题的真假 (1)若 a 则b ac 2 ? bc 2 ? 假 (2)若 ac
2

?则 bc

2

a ?b
1 a b a
2

真 假 假
2

(3)若 a ? b ? 0 则 (4)若 a ? b ? 0 则

? ?

1 b a b

(5)若a ? b 则 0 ?

a ? ab ? b



注:(1)运用不等式的性质时,应注意不等式成立的条件。 (2)一般地,要判断一个命题为真命题,必须严格加以证 明,要判断一个命题为假命题,可举反例,或者由题中条 件推出与结论相反的结果。

例1.已知 a > b >0, c <0, 求证

c a



c b

.

证明:因为a > b >0, 所以 ab >0,

1 ab

>0.

于是


a?

1 ab

? b?

1 ab

,

1 b

?

1 a

.
c b ? c a

思考?
, 能否用 作差法 证明 ?

由c<0, 得



c a

?

c b

.

例2.应用不等式的性质,证明下列不等式:
(1)已知a>b,ab>0,求证: 证明:(1)因为ab>0,所以 又因为a>b,所以 a ? 即
1 b ? 1 a
1 a ? 1 b



1

? 0
1 ab

ab
1 ab ? b?

因此

1 a

?

1 b

(2)已知a>b>0,0<c<d,求证:

a c

?

b d

证明:因为0<c<d,根据(1)的结论得
1 c ? 1 d
1 c ? b? 1 d

?0

又因为a>b>0,所以 a ? 即
a c ? b d

练习
1. 已知a>b,不等式:(1)a2>b2;(2)
1 ? 1 a

1 a

?

1 b



(3)a ? b (A)0

成立的个数是( (C)2

A

) (D)3

(B)1

2.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是( C ) A.a-d>b-c C.a+d>b+c
a b ? d c

B. D.ac>bd

3. 当a>b>c时,下列不等式恒成立的是 ( B )

A.ab>ac
C.a∣c∣>b∣c∣

B.(a-b)∣c-b∣>0
D.∣ab∣>∣bc|
x

4 .(1) 如 果 3 0 ? x ? 3 6, 2 ? y ? 6, 求 x - 2 y 及 的 取 值 范 围 . y x 18<x-y<32, 5 ? ? 1 8 y

(2)若-3<a<b<1,-2<c<-1,求(a-b)c2的取值范围. 因为-4<a-b<0,1<c2<4, 所以-16<(a-b)c2<0

5.

a ? b ? 0, c ? d ? 0, e ? 0, 则

e a?c

?

e b?d

.

证 明 : 因 为 a ? b ? 0, c ? d ? 0, 所 以 ? c ? ? d ? 0, a ? c ? b ? d ? 0 . 1 1 e e 所 以0< ? .因 为 e ? 0, 所 以 ? a?c b?d a?c b?d

已知:函数 f ( x ) ? ax 2 ? c ,
求:
f (3)

? 4 ? f (1) ? ? 1,

? 1 ? f (2) ? 5

的取值范围.

解:因为f(x)=ax2-c,
? f (1) ? a ? c 所以 ? ? f (2 ) ? 4 a ? c
1 ? a ? [ f (2 ) ? f (1)] ? ? 3 ? ? c ? ? 1 f (2 ) ? 4 f (1) ? 3 3 ?

解之得

所以f(3)=9a-c=

8 3

f (2) ?

5 3

f (1)

因为 ? 4 ? f (1) ? ? 1,

? 1 ? f (2) ? 5

所以

?
5 3

8 3



8 3
5 3

f (2) ≤

40 3

≤ ?

f (1) ≤

20 3

还有其它 解法吗?

两式相加得-1≤f(3) ≤20. 提示:整体构造
f (3) ? ? f (1) ? ? f (2)

利用对应系数相等

求 的 ? 与 ? ,从 而 求 其 范 围 .

注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割断 它们之间的联系

小结
不等式的性质 对称性 传递性 内
a ? b ? b ? a;


a ? b ? b ? a

a ? b, b ? c ? a ? c a ? b ? a ? c ? b ? c; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b , c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b , c ? 0 ? ac ? bc a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
n n

加法性质 乘法性质

指数运算性质 a ? b ? 0 ? a ? b ;

a ? b? 0?

n

a ?

n

b

倒数性质

a ? b , ab ? 0 ?

1 a

?

1 b

关于不等式性质的学习要注意 要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强,以 及条件与结论之间的相互联系.紧扣基本性质证明问题.


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