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2013 第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系


第 七 章 立 体 几 何

第 三 节 空间 点、 直线 、 平面 之间 的位 置关 系

高考成功方案第一步

高考成功方案第二步

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

考纲点击 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.

2

.了解可以作为推理依据的公理和定理.
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形 的位置关系的简单命题.

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1.下列命题正确的个数为

(

)

①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有不共线的三个公共点,则这两个平 面重合

A.0
C.2

B.1
D.3

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解析:过不在同一直线上的三点有且只有一个平面,故① 错误;因为梯形有两条边平行,所以梯形可以确定一个平 面,故②正确;当三条直线交于一点且不在同一平面内 (如三棱锥的三条侧棱所在的直线)时可以确定三个平面,

故③也正确;当两个平面有三个公共点,且这三个公共点
不在同一直线上时,两个平面重合,两个平面相交有无数 多个公共点,故④正确. 答案:D

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2.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三 个平面把空间分成 ( )

A.5部分
C.7部分

B.6部分
D.8部分

解析:三个平面α,β,γ两两相交,交线分别是a,b,c, 且a∥b∥c,则α,β,γ把空间分成7部分. 答案:C

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3.(2011· 四川高考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则 下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面 ( )

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解析:在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平

行,故A错;两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,
则另一条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条 直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的 三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错. 答案:B

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4.下列命题中不正确的是________.(填序号) . ①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两条

异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两条异
面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定 两个平面.

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解析:没有公共点的两直线平行或异面,故①错;命题
②错,此时两直线有可能相交;命题③正确,因为若直 线a和b异面,c∥a,则c与b不可能平行,用反证法证明 如下:若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾, 故c与b不可能平行;命题④也正确,若c与两异面直线a,

b都相交,由公理3可知,a,c可确定一个平面,b,c也
可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面. 答案:①②

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5.已知空间四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中 1 点,则下列判断:①MN≥2(AC+BD); 1 ②MN>2(AC+BD); 1 ③MN=2(AC+BD); 1 ④MN<2(AC+BD).其中正确的是________.

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解析:如图,设E为AD的中点,连接 1 1 ME、NE,则ME綊 BD,EN綊 AC. 2 2 1 在△EMN中,MN<ME+EN= (BD 2 +AC),故④正确.

答案:④

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名称

图示

文字表示

符号表示

如果一条直线上的 两点 A∈l,B∈l, 公理1 在一个平面内,那么这 且A∈α, 条直线在此平面内 B∈α? l?α

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名称

图示

文字表示 不在一条直线 过

符号表示 A、B、C三点 不共线?有且 只有一个平面α, 使A、B、C∈α

公理2

上的三点,有且只
有一个平面

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名称

图示

文字表示 如果两个不重合的平

符号表示 P∈α,且

公理3

面有一个公共点,那 么它们 有且只有一条 过该点的公共直线

P∈β?α∩β
=l,且P∈l

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2.空间两直线的位置关系 (1)
? 相交 直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ? ? ?共面直线? ? 平行 直线:同一平面内,没有公共点; ? ? ? ?异面直线:不同在 任何 一个平面内,没有公共点.

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(2)平行公理:

公理4:平行于同一直线 的两条直线互相平行——空
间平行线的传递性. (3)等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两 个角 相等或互补 .

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(4)异面直线所成的角: ①定义:设 a、b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直 线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的 锐角(或直角)叫 做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). π ②范围: (0, ] . 2

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3.直线与平面的位置关系

位置关系 直线l在平面α内 直线l与平面α相交
直线l与平面α平行

图示

符号表 示 l?α l∩α=A

公共点个 数 无数个 一个

l∥α

0个

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4.平面与平面的位置关系

位置关系 两平面平


图示

符号表示
α∥β

公共点个数 0个

两平面相 交

α∩β =l

无数个(这些公共点 均在交线l上)

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[做一题]
[例1] 如图,四边形ABEF和ABCD

都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° , 1 1 BC綊2AD,BE綊2FA,G、H分别为

FA、FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?

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[自主解答]

(1)由已知FG=GA,FH=HD,

1 可得GH綊2AD.

1 又BC綊2AD,∴GH綊BC. ∴四边形BCHG为平行四边形.

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(2)C、D、F、E四点共面,证明如下: 1 法一:由BE綊2AF,G为FA中点知,BE綊FG, ∴四边形BEFG为平行四边形. ∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH. ∴EF与CH共面.又D∈FH, ∴C、D、F、E四点共面.

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法二:如图,延长FE、DC分别与AB交于点M,M′, 1 ∵BE綊2AF,∴B为MA的中点.

1 ∵BC綊2AD,∴B为M′A的中点. ∴M与M′重合. 即EF与CD相交于点M(M′). ∴C、D、F、E四点共面.

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[悟一法]

1.证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况,
其常用方法如下: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线 在此平面内. (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再

证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合.
(3)反证法.

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2.证明空间点共线问题:
(1)一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根 据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该 直线上.

3.证明空间三线共点问题,先证明两条直线交于一点,
再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在 直线上.

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[通一类] 1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、

F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点. 证明:(1)连接EF,CD1,A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点,

∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C, ∴EF∥CD1,∴E、C、D1,F四点共面.

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(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,
∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE?平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.

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[做一题]

[例2] 对于四面体ABCD,下列命题正确的是________(写出
所有正确命题的编号). ①相对棱AB与CD所在直线异面; ②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;

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③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条 高所在的直线异面;

④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相
交于一点.

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[自主解答] 由四面体的概念可知, AB与CD所在的直线为异面直线, 故①正确; 由顶点A作四面体的高,当四面体 ABCD的对棱互相垂直时,其垂足 是△BCD的三条高线的交点, 故②错误;当DA=DB,CA=CB时,

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这两条高线共面,故③错误;设AB、BC、CD、DA的 中点依次为E、F、M、N,易证四边形EFMN为平行四

边形,所以EM与FN相交于一点,易证另一组对棱也过
它们的交点,故④正确. [答案] ①④

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[悟一法] 空间中直线位置关系的判定,主要是异面和垂直的 判定,对于异面直线的判定,常用的判定方法有:

(1)定义法:依据定义判断两直线不可能在同一平面内.

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(2)定理法:过平面内一点与平面外一点的直线与平面内

不经过该点的直线为异面直线.(此结论可作为定理使用).
(3)反证法:即假设两直线不是异面直线,那么它们是共面直 线(即假设两直线相交或平行),结合原题中的条件,得出矛 盾,否定假设.

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[通一类]
2.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中, 不正确的是________.(填序号) ①若AC与BD共面,则AD与BC共面; ②若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线; ③若AB=AC,DB=DC,则AD=BC; ④若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC.

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解析:对于①,由于点A、B、C、D共面,
显然结论正确. 对于②,假设AD与BC共面,由①正确得AC 与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立, 从而结论正确. 对于③,如图,当AB=AC,DB=DC,

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使二面角A—BC—D的大小变化时,

AD与BC不一定相等,故不正确.
对于④,如图,取BC的中点E,连接AE,DE, 则由题设得BC⊥AE,BC⊥DE. 根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE, 从而AD⊥BC.

答案:③

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[通一类] [例3] 已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB 与CD成60°角,点M、N分别是BC、AD的中点,求 直线AB和MN所成的角.

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[自主解答]

如图,设E为AC的中点,

连结EM、EN. 1 ∵EM綊2AB, ∴∠EMN即为异面直线AB与MN 所成的角(或补角). 1 1 在△MEN中,ME綊2AB,EN綊2CD.

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∴∠MEN为异面直线AB与CD所成的角(或补角),且
△MEN为等腰三角形. 当∠MEN=60°时,∠EMN=60°,即异面直线AB和 MN所成的角为60°. 当∠MEN=120°时,∠EMN=30°,即异面直线AB 和MN所成的角为30°. ∴直线AB和MN所成的角为60°或30°.

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把本例中的“直线AB与CD成60°角”改为“AB⊥CD”,结 果如何?

解:当AB⊥CD时,∠MEN=90°,∴∠EMN=45°,
即直线AB和MN所成的角为45°.

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[悟一法] 求异面直线所成角是常考内容,在高考试题中经常出现, 其解决方法常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类 型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或 中点)作平行线平移;补形平移.最终将空间角转化为平面 角,利用解三角形的知识求解.同时对特殊的图形我们常可以 建立空间直角坐标系用向量的方法求异面直线所成的角.对于 π 异面直线所成角的范围是(0,2],也应引起我们的注意.

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[通一类]

3.在四棱锥P-ABCD中,底面
是边长为2的菱形,∠DAB=60°, 对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面 ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°. (1)求四棱锥的体积;

(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与
PA所成角的余弦值.

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解:(1)在四棱锥P-ABCD中, ∵PO⊥平面ABCD, ∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, 即∠PBO=60°. 在Rt△POB中,

∵BO=AB· 30°=1, sin

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又PO⊥OB,∴PO=BO· 60° 3, tan = ∵底面菱形的面积S菱形ABCD=2 3. ∴四棱锥P-ABCD的体积 1 VP-ABCD=3×2 3× 3=2.

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(2)取AB的中点F,连结EF,DF, ∵E为PB中点,∴EF∥PA. ∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角). 在Rt△AOB中, AO=AB· cos30° 3=OP, = 6 ∴在Rt△POA中,PA= 6,∴EF= 2 .

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在正三角形ABD和正三角形PDB中,DF=DE= 3, DE2+EF2-DF2 ∴cos∠DEF= 2DE· EF 62 6 2 ? 3? +? 2 ? -? 3? 4 2 = = = . 6 3 2 4 2× 3× 2
2

2 即异面直线DE与PA所成角的余弦值为 4 .

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[热点分析]

异面直线的判定、异面直线所成的角的求法以及
共点、共面问题是本节的主要考点,一般在客观题中考 查,有时也会作为解答题的一问出现,难度中等偏下.

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[考题印证] (2011· 广东高考)如图所示的几何体是 将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过 轴的平面切开后,将其中一半沿切面 向右水平平移后得到的.A,A′,
? ? ? B,B′分别为 CD , C ?D? , DE ,
? D?E ? 的中点,O1,O′1,O2,

O′2分别为CD,C′D′,DE,D′E′的中点.

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(1)证明:O′1,A′,O2,B四点共面; (2)设G为AA′中点,延长A′O′1到H′,使得O′1H′=A′O′1.证

明:BO′2⊥平面H′B′G.
[考题巧解]———————(一样的结果,更简洁的过程) [巧思] 由于A′,O′1,H′三点共线,且O′1H′=O′1A′,由 对称可知H′也在圆柱的上底面上,故可考虑将两个半圆 柱补形为完整的圆柱,然后求解即可.

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[妙解]

(1)如图,将两个半圆柱补充为两个圆柱,延长

AO1交圆O1于点H,由题知O′1H′平移到O′2B′, O1H平移到O2B,于是O′2B′∥O′1H′.? (2分)
? ? ∵B,B′分别是 DE , D?E ? 的中点,

(4分)

∴BO2∥B′O′2,即BO2∥H′O′1, ∴BO2∥O′1A′,故O′1,A′,O2,B四点共面.? (5分)

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? (2)由点B′是 D?E ? 的中点得D′E′⊥B′O′2,

又D′E′⊥O′2O2,B′O′2∩O′2O2=O′2, ∴D′E′⊥平面B′O′2O2B, 而BO′2?平面B′O′2O2B, ∴D′E′⊥BO′2, 又H′B′∥D′E′, ∴BO′2⊥H′B′.? (9分) (7分)

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另一方面,可得BO′2∥HO′1, ∴HO′1⊥H′G,于是BO′2⊥H′G, 又∵H′B′∩H′G=H′, ∴BO′2⊥平面H′B′G.?

(10分)

在正方形HAA′H′中,点G,O′1分别是AA′,A′H′的中点,

(12分)

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1.以下四个命题中,正确命题的个数是

(

)

①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面, 则A、B、C、D、E共面;

③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面

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A.0

B.1

C.2

D.3

解析:①正确,可以用反证法证明;②不正确,从 条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、 B、C共线.则结论不正确;③不正确,共面不具

有传递性;④不正确,空间四边形的四条边不在一
个平面内. 答案:B

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2.已知直线l1、l2与平面α,则下列结论中正确的是( A.若l1?α,l2∩α=A,则l1、l2为异面直线

)

B.若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α
C.若l1⊥l2,l1⊥α,则l2∥α D.若l1⊥α,l2⊥α,则l1∥l2 解析:对于选项A,当A∈l1时,结论不成立;对于选 项B、C,当l2?α时,结论不成立.

答案:D

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3.下列四个命题:

①若直线a、b异面,b、c异面,则a、c异面;
②若直线a、b相交,b、c相交,则a、c相交; ③若a∥b,则a、b与c所成的角相等; ④若a⊥b,b⊥c,则a∥c. 其中真命题的个数是 ( )

A.4

B.3

C.2 D.1 解析:只有③为真命题,①②④均错误.

答案:D

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4.如果两条异面直线称为“1对”,那么在正方体的十二条 棱中共有异面直线________对.
解析:如图所示,与AB异面的直线有 B1C1,CC1,A1D1,DD1四条,因为各 棱具有相同的位置且正方体共有12条 棱,排除两棱的重复计算,共有异面直 12×4 线 =24(对). 2

答案:24

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5.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体, AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30°, 则AB与A1C1所成的角为________,AA1与 B1C所成的角为________.

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解析:∵AB∥A1B1,∴∠B1A1C1即是AB与A1C1所成的角, ∴AB与A1C1所成的角为30° . ∵AA1∥BB1,∴∠BB1C即是AA1与B1C所成的角, 由已知条件可以得出BB1=a,AB1=A1C1=2a,AB= ∴B1C1=a. ∴四边形BB1C1C是正方形,∴∠BB1C=45° . 3 a,

答案:30°

45°

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