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高中数学必修1常用公式及结论


高中数学必修 1 常用公式及结论

高中数学必修 1 常用公式及结论
一、集合: 1、元素与集合的关系

x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .
2、常用集合关系

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU

B
3、集合与集合关系

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R
4、集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 真子集有 2 –1 个;非空子集有 2 二、函数与方程 1、二次函数的解析式的三种形式表示
2 2
n n n

个;
n

–1 个;非空的真子集有 2 –2 个。

(1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) 2 、 方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有 且 只 有 一 个 实 根 在 (k1 , k 2 ) 内 , 等 价 于
2

f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 , 或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k1 ? k 2 b ?? ? k2 2 2a
3、闭区间上的二次函数的最值

k ? k2 b ? 1 , 或 f (k 2 ) ? 0 且 2a 2

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 及区间的两端点处取得,具体如下: (1) 当 a>0 时,若 x ? ? (2) 则 f ( x) min ? f (?

b 处 2a

b ? ? p, q ?, 2a

b ), f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? ; 2a

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b ? ? p, q ? , 则 f ( x) (3) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ,) 若 ? m i?n f p ( )f, ?q( mi n 2a b x ? ? ? ? p, q ?, 2a 则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . x??
4、一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

1

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? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ?? ? m ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ? f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 或? 或? ; ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0 ? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ?? ? m ? 2
5、定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? ,?? ?, ? ? ,?? ,??? 不同)上含 参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒 成立的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .

?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . ?c ? 0 ?b ? 4ac ? 0 ?
6、函数的单调性 如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内 ,和函数 f ( x) ? g ( x) 也 是减函数;如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合 函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数。 7、奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函 数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数; 如果一个函数的图象关于 y 轴对称, 那么这个函数是偶函数。 8、若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函 数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) 。 9、对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是 函数 x ?

a?b 对称。 2 10、函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x ) ? f (2a ? x) ? f ( x) . a?b (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2 ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) . x?
2

a?b ; 两 个 函 数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 2

的图象关于直线

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11、两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

(3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 12、若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图 象 ; 若 将 曲 线 f ( x, y) ? 0 的 图 象 右 移 a 、 上 移 b 个 单 位 , 得 到 曲 线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 13、分数指数幂 (1) a (2) a
m n

?
?

1
n

m ? n

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

a
14、根式的性质

m n

(1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? 15、有理指数幂的运算性质

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运 算性质,对于无理数指数幂都适用. 16、指数式与对数式的互化式
p

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
17、对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
18、对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N n (3) loga M ? n loga M (n ? R) .
(2) log a
2 19、设函数 f ( x) ? logm (ax ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f ( x) 的定义域为
2

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情
形,需要单独检验. 20、 对数换底不等式及其推广

3

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1 ,则函数 y ? logax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为减函数. a a
若a ? 0,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n . (2) log a m log a n ? log a
2



m?n . 2

4


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