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三角函数化简求值专题复习


三角函数化简求值专题复习
基本的解题规律为:观察差异(或角,或函数,或运算) ,寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧) ,分析综合 (由因导果或执果索因) ,实现转化.解题规律:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变 换为已知角求解;在最值问题和周期问题中,解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形 式求解. 【例 1】求值


2 sin 20? ? cos10? ? tan 20? ? sin10? . csc 40? ? cot 80?

解:原式的分子 ? 2 sin20? ?
? 2 sin 20? ? ?

cos10? cos20? ? sin20? sin10? cos20?

cos10? sin 40? ? cos10? ? cos 20? cos 20?

sin 40? ? sin80? 2 sin60? cos 20? ? ? 3, cos 20? cos 20?

原式的分母=
? ?

1 cos80? 2 cos 40? ? cos80? ? ? sin 40? sin80? sin80?

cos 40? ? ?cos 40? ? cos80?? cos 40? ? 2 cos 60? cos 20? ? sin80? sin80? cos 40? ? cos 20? 2 cos30? cos10? ? ? 3, sin80? cos10?

所以,原式=1. 【变式】1、求值

2 cos 40? ? cos10??1 ? tan60?tan10?? 1 ? cos10?

?1 ? 3 2 cos 40? ? 2? cos10? ? sin10? ? ?2 ? 2 2 cos 40? ? cos10? ? 3 sin10? ? ? 原式 ? ? 解: 2 cos 5? 2 cos 5? 2 cos 40? ? 2 cos?60? ? 10?? 2?cos 40? ? cos 50?? 2 2 cos 45? cos 5? · ? ? ? ?2 2 cos 5? 2 cos 5? 2 cos 5?

【变式】2、求 (

3 sin 140
2

2

0

?

1 cos 140
2

2

0

)?

1 2 sin100
? 1



分析:原式=

3 cos 2 1400 ? sin 2 1400 sin 140 cos 140
0 0

2 sin100

?

( 3 cos1400 ? sin 1400 )( 3 cos1400 ? sin 1400 ) 1 ? 0 0 2 (? sin 40 cos 40 ) 2 sin 100

? 4 sin 800 ? sin 2000 1 sin 2000 sin 2000 ? ? ? ?8 ? ?16 ? 16 1 2 0 2 sin 100 sin 800 cos800 sin 1600 sin 80 4
【例 2】 (三兄弟)已知 cos? ? sin? ?

sin 2? ? 2 sin 3 2 3? ,求 ,且? ? ? ? 5 2 1 ? tan?

2

?

的值

解:原式= ∵ cosα ? sinα ?

sin2? cos? ? 2 sin2 ? cos? sin 2? ?cos? ? sin? ? = cos? ? sin? cos? ? sin?
18 3 2 ,上式两边平方,得: 1 ? sin 2α ? 25 5
1

∴ sin 2? ?

7 3? ;又∵ ? ? ? ? 25 2

∴ cos? ? 0, ? ? 0, ? ? sin? ? 0 sin cos ∴ ?cos? ? sin? ?2 ? ?cos? ? sin? ?2 ? 4 sin? cos? ? ?cos? ? sin? ?2 ? 2 sin 2? ?
7 ? 4 2? ? ? ?? 25 ? 5 ? 4 2 ? ? ? ? 28 ∴ cos? ? sin? ? ? ,∴原式 ? 75 5 3 2 5

32 25

【变式】 (05 天津)已知 sin(? ?

?
4

)?

? 7 2 7 ,求 sin ? 及 tan(? ? ) . , cos 2? ? 3 10 25

【解析】 :由题设条件,应用两角差的正弦公式得

7 7 2 ? 2 ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos? ) ,即 sin ? ? cos ? ? 5 10 4 2
由题设条件,应用二倍角余弦公式得



7 7 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ? (cos ? ? sin ? ) 25 5 1 故 cos ? ? sin ? ? ? ② 5 3 4 由①和②式得 sin ? ? , cos ? ? ? 5 5 3 因此, tan ? ? ? ,由两角和的正切公式 4
王新敞
奎屯 新疆

3 4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 3 tan( ? ) ? ? ? 3 11 1 ? 3 tan? 3 3 4?3 3 1? 4

?

tan? ? 3

3?

【例 3】 (最值辅助角)已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b-1, (a、b 为常数,a<0) ,它的定义域为[0, 域为[-3,1],试求 a、b 的值。 解:f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b-1 =a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b-1 =-2asin (2 x ? ) ? 2a ? b ? 1
π 6

π ],值 2

? ? 7 1 π ≤2x+ ≤ π ∴ ? ≤ sin(2 x ? ) ≤1 6 2 6 6 6 ? ∵a<0 ∴a≤-2asin (2x ? ) ≤ -2a 6 ? ∴3a+b-1≤-2asin (2 x ? ) +2a+b-1≤b-1 6
∵0≤x≤ ∴

? 2

2

∵值域为[-3,1] ∴ ?
0

?b ? 1 ? 1 ?3a ? b ? 1 ? ?3
0

∴? ?

4 ? a?? 3 ?b ? 2 ?

【变式】已知 0 <α <β <90 ,且 sinα ,sinβ 是方程 x 2 ? ( 2 cos 400 )x ? cos 2 400 ? α )的值。 解:由韦达定理得 sinα +sinβ = 2 cos40 ,sinα sinβ =cos 40 0 2 0

1 =0 的两个实数根,求 sin(β -5 2

1 2

∴ sinβ -sinα = (sin ? ? sin ?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 4 sin ? sin ? ? 2(1 ? cos 2 400 ) ? 2 sin 400 又 sinα +sinβ = 2 cos40
0

1 ? 0 0 0 ?sin ? ? 2 ( 2 cos 40 ? 2 sin 40 ) ? sin 85 ? ∴ ? ?sin ? ? 1 ( 2 cos 40 0 ? 2 sin 40 0 ) ? sin 5 0 ? 2 ?

∵ 0 <α <β < 90

0

0

0 ? ?? ? 85 ∴ ? ?? ? 5 0 ?

∴ sin(β -5α )=sin60 =
?
4

0

3 2
1 sin2 ? 的最值。 2

【例 4】 (最值二次型)已知 ? 解:∵ ?
π π ?β? 6 4

?
6

?? ?

,sin2 ? ? 2 sin2 ? ? 2 sin?,试求sin2 ? ? 3

∴-

1 1 2 , 0 ? sin2 ? ? ? sin ? ? 2 2 2

∴ 0 ? 2 sin2 ? ? 1

∵ 2 sin 2 ? ? 3 sin 2 ? ? 2 sin ?

∴ 0 ? 3 sin 2 ? ? 2 sin ? ? 1

?2 ? 3 ? sin? ? 1或 sin? ? 0 ?3 sin2 ? ? 2 sin? ? 0 ? ? 即? ?? 2 ?3 sin ? ? 2 sin? ? 1 ? 0 ?? 1 ? sin? ? 1 ? ? 3 ?

1 2 ∴ ? ? sin α ? 0或 ? sin α ? 1 3 3
1 1 1 1 1 y= sin 2 ? ? sin 2 ? ? (3 sin 2 ? ? 2 sin? ) ? sin 2 ? ? (sin? ? ) 2 ? 2 2 2 2 4

当 sin?∈[

2 2 2 ,1]时函数 y 递增,∴当 sina= 时 ymin= ? ; 3 9 3
1 1 ,0)时,函数 y 递减,∴当 sin?=0 时,ymin= 3 2
2 3 1 2 2 9 1 2

当 sin?∈( ?

∴ 故当 sin? ? 时, 2 ? ? sin2 ? ) min ? ? , (sin2 ? ? sin2 ? ) 无最大值 (sin 【变式】设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 的最大值. 解:由 y=2(cosx-
a 2 a 2 ? 4a ? 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得: 2 2 1 的 a 值,并对此时的 a 值求 y 2

3

(a ? ?2) ?1 ? 2 ? a ? 2a ? 1 (?2 ? a ? 2) f(a) ?? ? 2 (a ? 2) ?1 ? 4a ?

1 1 1 ,∴1-4a= ? a= ?[2,+∞ ) 2 2 8 2 a 1 故- -2a-1= ,解得:a=-1,此时, 2 2 1 1 y=2(cosx+ )2+ ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5. 2 2
∵f(a)= 【例 5】 (角的变换)已知 解:∵
3π π 12 3 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 的值_________. 2 4 13 5

π π 3π 3π <β <α < ,∴0<α -β < .π <α +β < , 2 4 4 4
5 4 , cos(α ? β) ? ? 1 ? sin2 (α ? β) ? ? . 13 5

∴sin(α -β )= 1 ? cos2 (α ? β) ?

∴sin2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β ) 5 4 12 3 56 ? ? ( ? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65 【变式】 (1)已知 8cos(2α +β )+5cosβ =0,求 tan(α +β )·tanα 的值; (2)已知

2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3 cos 2? ? 4 sin 2? 的值。 sin ? ? 3 cos ?

解: (1)从变换角的差异着手。 ∵ 2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α ∴ 8cos[(α +β )+α ]+5cos[(α +β )-α ]=0 展开得:13cos(α +β )cosα -3sin(α +β )sinα =0 同除以 cos(α +β )cosα 得:tan(α +β )tanα = (1)以三角函数结构特点出发 ∵

13 3

2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? sin ? ? 3 cos ? tan ? ? 3
2



2 tan ? ? 1 ? ?5 tan ? ? 3
2

∴ tanθ =2
? 7 5

∴ 3 cos 2? ? 4 sin 2? ?

3(cos 2 ? ? sin 2 ?) ? 8 sin ? cos ? sin ? ? cos ?

?

3 ? 3 tan 2 ? ? 8 tan ? 1 ? tan ?
2

4


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