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平面解析几何 复习教案


第一节
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直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.掌握确定直线位置的几何要素;掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式 等),了解斜截式与一次函数的关系.

一、必备知识 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①一个前提

:直线 l 与 x 轴相交; 一个基准:取 x 轴作为基准; 两个方向:x 轴正方向与直线 l 向上的方向. ②当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定:它的倾斜角为 0° . ③倾斜角的取值范围为[0,π). (2)直线的斜率 ①定义:若直线的倾斜角 θ 不是 90° ,则斜率 k=tan_θ. y2-y1 ②计算公式:若由 A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于 x 轴,则 k= . x2-x1 2.直线方程的几种形式 名称 点斜式 斜截式 条件 斜率 k 与点(x0,y0) 斜率 k 与截距 b 方程 y-y0= k(x-x0) Y=kx+b y-y1 = y2-y1 x-x1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A2+ B2≠0) 适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1(x1=x2)和 直线 y=y1(y1=y2) 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 平面直角坐标系内的直线 都适用

两点式

两点(x1,y1),(x2,y2)

截距式 一般式

截距 a 与 b —

二、必记结论 直线的斜率 k 与倾斜角 θ 之间的关系

θ k

0° 0

0°<θ<90° k>0

90° 不存在

90°<θ<180° k<0

牢记口诀: “斜率变化分两段,90° 是分界线; 遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”.

一、思考辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( ) (2)过点 M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是 45° .( ) (3)直线的倾斜角越大,斜率 k 就越大. ( ) (4)经过点 P(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示.( ) (5)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x -x1)(y2-y1)表示.( ) 提示:(1)错误.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角,但斜率不一定存在. (2)错误.因为过点 M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的斜率为-1,故其倾斜角是 135° . π π π θ≠ ?.当 θ∈?0, ?时,θ 越大,斜率 k 就越大,同样 θ∈? ,π?时 (3)错误.因为 k=tan θ? 2 2 ? ? ? ? ?2 ? π 也是如此,但当 θ∈(0,π)且 θ≠ 时,不符合 θ 越大,斜率 k 就越大. 2 (4)错误. 经过点 P(x0, y0)的直线只有当其斜率存在时才可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示. (5)正确.直线 P1P2 的方程不管其斜率存在与否都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2 -y1)表示. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、牛刀小试 1.直线 x=2 的斜率为( ) A.0 B.2 C.4 D.不存在 解析:选 D 因为直线 x=2 垂直于 x 轴,故其斜率不存在. 2.直线 3x-y+a=0 的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.150° D.120° 解析:选 B k=tan α= 3,且 0° ≤α<180° ,∴α=60° . 3.(2015· 临川模拟)直线 kx-y+2=4k,当 k 变化时,所有直线都通过定点 A.(0,0) B.(2,1) C.(4,2) D.(2,4) 解析:选 C 直线方程可化为 k(x-4)-(y-2)=0,所以直线恒过定点(4,2). 4.过两点 A(0,1),B(-2,3)的直线方程为____________. y-1 x-0 解析:由两点式方程可得 = ,整理得 x+y-1=0. 3-1 -2-0 答案:x+y-1=0 5.若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 解析: kAC= =4. 答案:4 5-3 a-3 =1,kAB= =a-3.由于 A,B,C 三点共线,所以 a-3=1,即 a 6-4 5-4 ( )

考点一

直线的倾斜角与斜率

?π,π??的倾斜角的取值范围是( [例 1] (1)直线 2xcos α-y-3=0? α ∈ ? ?6 3??
π π? A.? ?6,3? π π? C.? ?4,2? π π? B.? ?4,3? π 2π? D.? ?4, 3 ?

)

(2)直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点,则直线 l 斜 率的取值范围为________. [听前试做] α≤ π π? 1 (1)直线 2xcos α-y-3=0 的斜率 k=2cos α,因为 α∈? ?6,3?,所以2≤cos

3 ,因此 k=2·cos α∈[1, 3 ].设直线的倾斜角为 θ,则有 tan θ∈[1, 3 ].又 θ∈[0, 2

π π? ?π π? π),所以 θ∈? ?4,3?,即倾斜角的取值范围是?4,3?. (2)

如图,∵kAP= kBP=

1-0 =1, 2-1

3-0 =- 3, 0-1

∴k∈(-∞,- 3 ]∪[1,+∞). 答案:(1)B (2)(-∞,- 3 ]∪[1,+∞) [探究 1] 若将题(2)中 P(1, 0)改为 P(-1, 0), 其他条件不变, 求直线 l 斜率的取值范围. 解:∵P(-1,0),A(2,1),B(0, 3), 1-0 1 ∴kAP= = , 2-(-1) 3 kBP= 3-0 = 3. 0-(-1)

1 ? 如图可知,直线 l 斜率的取值范围为? ?3, 3?.

[探究 2] 若将题(2)条件改为“经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2, 1)的线段总有公共点”,求直线 l 的倾斜角 α 的范围. 解:法一:如图所示,kPA= -2-(-1) 1-(-1) =-1,kPB= =1,由图可观察出: 1-0 2-0

π? ?3π ? 直线 l 倾斜角 α 的范围是? ?0,4?∪? 4 ,π?.

法二:由题意知,直线 l 存在斜率.设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y+1=kx,即 kx-y-1=0. ∵A,B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上. ∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,即 2(k+1)(k-1)≤0. ∴-1≤k≤1. π? ?3π ? ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是? ?0,4?∪? 4 ,π?. y [探究 3] 将题(2)改为: 已知实数 x,y 满足 2x+y=8,当 2≤x≤3 时,则 的最大值为 x ________;最小值为________. y 解析:本题可先作出函数 y=8-2x(2≤x≤3)的图象,把 看成过点(x,y)和原点的直线的 x 斜率进行求解.

如图,设点 P(x,y),因为 x,y 满足 2x+y=8,且 2≤x≤3,所以点 P(x,y)在线段 AB 上 y 移动,并且 A,B 两点的坐标分别是 A(2,4),B(3,2).因为 的几何意义是直线 OP 的斜率, x 2 y 2 且 kOA=2,kOB= ,所以 的最大值为 2,最小值为 . 3 x 3 答案:2 2 3

求倾斜角的注意点及其取值范围的一般步骤 求倾斜角时要注意斜率是否存在.求其取值范围的一般步骤为: (1)求出斜率 k=tan α 的取值范围; (2)利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角 α 的取值范围.

已知两点 A(- 3,3),B(1,- 3),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,则直线 l 的斜率为________. 解析:设直线 l 的倾斜角为 α,则直线 AB 的倾斜角为 2α, 3-(- 3) 则由题可知 tan 2α= =- 3, - 3-1 所以 2α=120° ,解得 tan α= 3,即直线 l 的斜率为 3. 答案: 3 考点二 直 线 方 程

[例 2] 求适合下列条件的直线方程: (1)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (2)直线过点(5,10),且原点到直线的距离为 5. x y [听前试做] (1)由题设知截距不为 0,设直线方程为: + =1, a 12-a -3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (2)依题设知此直线的斜率可能不存在. 当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0; 当斜率存在时,设其斜率为 k,则 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 3 由点到直线的距离公式得: 2 =5,解得 k= . 4 k +1 故所求直线的方程为 3x-4y+25=0. 综上,所求直线的方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0.

求直线方程的注意点 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件. (1)用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在; (2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直 线,故在解题时,若采用截距式,注意分类讨论,判断截距是否为零. 经过点 P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5 的直线方程是( A.8x+5y+20=0 或 2x-5y-12=0 B.8x-5y-20=0 或 2x-5y+10=0 C.8x+5y+10=0 或 2x+5y-10=0 D.8x-5y+20=0 或 2x-5y-10=0 解析: 选 D )

1 由题意设所求方程为 y+ 4 = k(x + 5) , 即 kx - y+ 5k - 4 = 0. 由 · |5k - 2

?4-5?=5 得,k=8或 k=2.将 k 代入可得直线方程. 4|· ?k ? 5 5
考点三 直线方程的综合应用

直线方程是解析几何的一个基础内容,在高考中经常与其他知识结合考查,多以选 择、填空题的形式呈现,难度不大,多为中、低档题目,且主要有以下几个命题角度: 角度一:与基本不等式结合求最值问题 [例 3] (2014· 四川高考)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|· |PB|的最大值是________. [听前试做] 易求定点 A(0,0),B(1,3).当 P 与 A 和 B 均不重合时,因为 P 为直线 x +my=0 与 mx-y-m+3=0 的交点, 且易知两直线垂直, 则 PA⊥PB, 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2 =10,所以|PA|· |PB|≤ |PA|2+|PB|2 =5(当且仅当|PA|=|PB|= 5时,等号成立);当 P 与 A 或 B 2

重合时,|PA|· |PB|=0,故|PA|· |PB|的最大值是 5. 答案:5 角度二:与圆相结合求解直线方程 [例 4] (2014· 福建高考)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2 =4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是 ( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 [听前试做] 依题意,得直线 l 过点(0,3),斜率为 1,所以直线 l 的方程为 y-3=x-0, 即 x-y+3=0.故选 D. 答案:D 角度三:由直线方程求参数问题 [例 5] (2015· 泰安模拟)已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当 0<a<2 时,直线 l1,l2 与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数 a=________. [听前试做] 由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,2),直线 l1 的纵截距为 2-a,直线 l2 的 1 2 15 1 1 a- ? + , 横截距为 a2+2,所以四边形的面积 S= × 2× (2-a)+ × 2× (a2+2)=a2-a+4=? ? 2? 4 2 2 1 当 a= 时,面积最小. 2 1 答案: 2

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题,先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等 式求解最值. (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调 性或基本不等式求解. 1.已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,O 为坐标原 点,则当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程为________________. x y 1 1 解析:设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).设直线 l 的方程为 + =1,则 + =1,所以 a b a b

?1+1?=2+a+b≥2+2 |OA|+|OB|=a+b=(a+b)· ?a b? b a

ab · =4,当且仅当 a=b=2 时取等号, ba

此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. 答案:x+y-2=0 2.(2015· 济宁一模)如果直线 x-2y+b=0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1, 那么 b 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞) 解析:选 C b 1 b? 令 x=0,得 y= ,令 y=0,得 x=-b,所以所求三角形面积为 ? |- 2 2?2?

1 1 b|= b2,且 b≠0, b2≤1,所以 b2≤4,所以 b∈[-2,0)∪(0,2]. 4 4 [课堂归纳——通法领悟] ?1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜角 α≠90°时,k=tan α.直线都有倾斜角,但并不是每条直线 都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率. ?2种方法——求直线方程的方法 (1)直接法:根据已知条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方程. (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件中构造关于待定系数 的方程(组),求出待定系数,从而求出直线方程. ?4个注意点——直线方程的 4 个注意点 (1)利用两点式计算斜率时易忽视 x1=x2 时斜率 k 不存在的情况. (2)用直线的点斜式求方程时,在斜率 k 不明确的情况下,注意分 k 存在与不存在讨论, 否则会造成失误. (3)直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件,当截距为 0 时可用点斜式. (4)由一般式 Ax+By+C=0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否为 0 的情况,当 B=0 时, A k 不存在;当 B≠0 时,k=- . B

[全盘巩固] 一、选择题 1.直线 l:xsin 30°+ycos 150°+1=0 的斜率是( A. 3 3 B. 3 C.- 3 D.- 3 3 )

sin 30° 3 解析:选 A 设直线 l 的斜率为 k,则 k=- = . cos 150° 3 2.(2015?西安模拟)过点( 3,-2)的直线 l 经过圆 x +y -2y=0 的圆心,则直线 l 的倾斜角大小为( A.30° ) C.120° D.150°
2 2

B.60°

-2-1 解析:选 C 圆心坐标为(0,1),斜率 k=tan α= =- 3, 3-0 ∴倾斜角 α =120°. x y 3.过点 A(4,-1)和双曲线 - =1 的右焦点的直线方程为( 9 16 A.y=x-5 B.y=2x-9 C.y=3x-7 解析:选 A
2 2 2 2

)

D.y=4x-17 x y 由于双曲线 - =1 的右焦点的坐标是(5,0),因此过点 A(4,-1)和 9 16
2 2

x y 1 双曲线 - =1 的右焦点的直线方程为 y= ?(x-5),即 y=x-5. 9 16 5-4 4.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0 )

解析:选 A 由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方 a c a c 程变形为 y=- x- .易知- <0 且- >0,故 ab>0,bc<0. b b b b 5.若实数 a,b 满足 a+2b=3,则直线 2ax-by-12=0 必过定点( A.(-2,8) B.(2,8) )

C.(-2,-8) D.(2,-8) 解析:选 D a+2b=3?4a+8b-12=0,又 2ax-by-12=0,比较可知 x=2,y=-8, 故选 D. 6.(2013?山东高考)过点(3,1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B, 则直线 AB 的方程为( )
2 2

A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 解析:选 A 根据平面几何知识,直线 AB 一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点 1 连线的斜率为 ,故直线 AB 的斜率一定是-2,只有选项 A 中直线的斜率为-2. 2 7.(2015?深圳调研)在同一平面直角坐标系中,直线 l1:ax+y+b=0 和直线 l2:bx +y+a=0 有可能是( )

A

B

C

D

解析:选 B 直线 l1:ax+y+b=0 的斜率 k1=-a,在 y 轴上的截距为-b;直线 l2: bx+y+a=0 的斜率 k2=-b,在 y 轴上的截距为-a.在选项 A 中 l2 的斜率-b<0,而 l1 在 y 轴上截距-b>0,所以 A 不正确.同理可排除 C、D. π 8.(2015?哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax 4 -by+c=0 的倾斜角为( A.45° B.60° ) C.120° D.135°

π ?π? 解析:选 D 由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= 知,f(0)=f? ?, 4 ?2? 即-b=a,∴直线 l 的斜率为-1,∴倾斜角为 135°. 二、填空题 9.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为________. 解析:设 P(xP,1),由题意及中点坐标公式得 xP+7=2,解得 xP=-5,即 P(-5,1), 1 所以 k=- . 3 1 答案:- 3 10.(2015?中山模拟)过点 M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________. 5 解析:(1)当直线过原点时,直线方程为 y=- x; 3 x y (2)当直线不过原点时,设直线方程为 + =1, a -a 即 x-y=a.代入点(-3,5),得 a=-8. 即直线方程为 x-y+8=0. 5 答案:y=- x 或 x-y+8=0 3 11 .(2015? 泉州模拟 ) 若点 (m , n) 在直线 4x+ 3y- 10 = 0 上, 则 m + n 的最小值是 ________. 解析: 因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,所以 4m+3n-10=0,利用 m +n 表示 为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知,m +n 的最小值为 4. 答案:4 12.(2015?贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),
2 2 2 2 2 2

则其斜率的取值范围是________. 2 解析:设直线 l 的斜率为 k,则方程为 y-2=k(x-1),在 x 轴上的截距为 1- ,令-3 k 2 1 <1- <3,解得 k<-1 或 k> . k 2

?1 ? 答案:(-∞,-1)∪? ,+∞? ?2 ?
三、解答题 13.已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

? ?

3 ? -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 1 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1 π (2)①当 m=-1 时,α= ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈?-

? ?

3 ? ,0?∪(0, 3 ], 3 ?

1 ? 3 ? ∴k= ∈(-∞,- 3 ]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ? ∴α∈?

?π,π?∪?π,2π?. ? ? ? 3 ? ?6 2? ?2

?π 2π? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α ∈? , ?. 3 ? ?6
[冲击名校] 1.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α ,且 sin α +cos α =0,则 a,b 满足( A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0 解析:选 D 因为 sin α+cos α=0,所以 tan α=-1.又因为 α 为倾斜角,所以斜 a a 率 k=-1.而直线 ax+by+c=0 的斜率 k=- ,所以- =-1,即 a-b=0. b b 2.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方 程: (1)过定点 A(-3,4); 1 (2)斜率为 . 6 )

4 解:(1)设直线 l 的方程为 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k k +4,

?4 ? 由已知,得(3k+4)? +3?=±6, ?k ?
2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. 1 (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b, 则直线 l 的方程是 y= x+b, 它在 x 轴上的截距是- 6 6b, 由已知,得|-6b?b|=6,∴b=±1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 3.已知直线 l: kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (2)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值 并求此时直线 l 的方程. 1+2k 解:(1)由方程知,直线在 x 轴上的截距为- (k≠0),在 y 轴上的截距为 1+2k, k 1+2k ? ?- <-2, k 要使直线不经过第四象限,则必须有? 或 k=0,解得 k≥0. ? ?1+2k>1 ? 1+2k,0?,B(0,1+2k). (2)由 l 的方程得,A?- ? k ? ? 1 + 2k ? ?- <0, k 依题意得? 解得 k>0. ? 1 + 2k>0 , ? 1 1 ?1+2k? ∵S= ·|OA|·|OB|= ·? ?·|1+2k| 2 2 ? k ?
2 1 ? 1 1 (1+2k) 1? = · = ?4k+ +4?≥ (2?2+4)=4, k ? 2 2 k 2?

1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时 l:x-2y+4=0. 第二节 两直线的位置关系

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1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

一、必备知识 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有 l1∥l2? k1=k2; ②当不重合的两条直线 l1,l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 的关系为平行. (2)两条直线垂直 ①如果两条直线 l1,l2 的斜率存在,设为 k1,k2,则 l1⊥l2? k1k2=-1; ②如果 l1,l2 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0 时,l1 与 l2 的关系为垂 直. 2.两条直线的交点

3.三种距离 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2 =0 间的距离 |P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 |Ax0+By0+C| d= A2+B2 |C1-C2| d= 2 A +B2

二、必记结论 常见的直线系方程 (1)过定点 P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)+C=0(A2+B2≠0),还可表示为 y -y0=k(x-x0)(斜率不存在时可设为 x=x0). (2)平行于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Ax+By+C1=0(C1≠C). (3)垂直于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Bx-Ay+C1=0. (4)过两条已知直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程:A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线 A2x+B2y+C2=0).

一、思考辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2.( ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(

) )

|kx0+b| (4)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 .( 1+k2

)

(5)两平行直线 2x-y+1=0,4x-2y+1=0 间的距离是 0.( ) 提示:(1)错误.当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,虽然有 k1=k2,但有可能重合. (2)错误.两条直线 l1 与 l2 垂直,它们的斜率之积等于-1,或一条直线斜率不存在,另 一条直线斜率为 0. (3)正确.若两条直线组成的方程组有唯一解时,两条直线必相交. (4)错误.点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式. (5)错误.使用两条平行线间的距离公式的条件是两条直线方程都是一般式且一次项系数 相同. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、牛刀小试 1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离是( ) A.1 B. 3 C.2 D. 5 |-5| 解析:选 D d= 2 = 5. 1 +22 2. (2015· 烟台模拟)已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0, 直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0, 则直线 l1 与 l2 的距离为( ) 8 A. 5 3 B. 2 C.4 D.8

解析:选 B l1 的方程可化为 6x+8y-14=0,又因为 l2 的方程为 6x+8y+1=0,所以 |-14-1| 15 3 l1 与 l2 的距离 d= 2 = = . 6 +82 10 2 3.两直线 l1:3x+4y-2=0 和 l2:3x+y+2=0 的交点为________.
? ?3x+4y-2=0, 解析:解方程组? 得 ?3x+y+2=0 ?

?x=- 9 , ? 4 ?y=3,

10

10 4? ∴交点坐标为? ?- 9 ,3?. 10 4? 答案:? ?- 9 ,3? 4.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=________. 1 ? 2? - =-1,∴m=1. 解析:∵直线 x-2y+5=0 与 2x+my-6=0 互相垂直,∴ × 2 ? m? 答案:1

考点一

两条直线的平行与垂直问题

[例 1] (1)(2015· 济南模拟)已知两条直线 l1:(a-1)· x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0 平行,则 a= ( ) A.-1 B.2 C.0 或-2 D.-1 或 2 (2)已知两直线方程分别为 l1:x+y=1, l2:ax+2y=0, 若 l1⊥l2,则 a= ________.

(3)经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5= 0 垂直的直线 l 的方程为________________. [听前试做] (1)若 a=0,两直线方程为-x+2y+1=0 和 x=-3,此时两直线相交,不 a-1 2 1 平行,所以 a≠0.当 a≠0 时,若两直线平行,则有 = ≠ ,解得 a=-1 或 a=2,选 D. 1 a 3 a (2)法一:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,即 =-1,解得 a=-2. 2 法二:∵l1⊥l2,∴a+2=0,a=-2.
? ?x-2y+4=0, ? ?x=0, (3)法一:由方程组? 得? 即 P(0,2). ?x+y-2=0, ?y=2, ? ?

4 ∵l⊥l3,∴直线 l 的斜率 k1=- , 3 4 ∴直线 l 的方程为 y-2=- x, 3 即 4x+3y-6=0. 法二:∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点, ∴可设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. ∵l 与 l3 垂直, ∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11, ∴直线 l 的方程为 12x+9y-18=0,即 4x+3y-6=0. 答案: (1)D (2)-2 (3)4x+3y-6=0 [探究 1] 若将题(2)中条件“l1⊥l2”改为“l1∥l2”,其他条件不变,求 a 的值. 解:∵l1∥l2,∴a=2. [探究 2] 题(2)变为:“a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 a=2 时,直线 ax+2y=0 即 x+y=0 与直线 x+y=1 平行;当直线 ax+2y=0 a 与直线 x+y=1 平行时,- =-1,a=2.综上所述,“a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x+y 2 =1 平行”的充要条件,故选 C. 答案:C [探究 3] 将题(3)中条件“与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直”改为“与直线 l3:3x-4y+5=0 平行”,求此时直线 l 的方程.
? ?x-2y+4=0, ? ?x=0, 解:法一:由方程组? 得? 即 P(0,2). ?x+y-2=0, ?y=2, ? ?

3 ∵l∥l3,∴直线 l 的斜率 k1= , 4 3 ∴直线 l 的方程为 y-2= x,即 3x-4y+8=0. 4 法二:∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点, ∴可设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0,

即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. ∵l 与 l3 平行,∴3(λ-2)-(-4)(1+λ)=0,且(-4)(4-2λ)≠5(λ-2), 2 ∴λ= ,∴直线 l 的方程为 3x-4y+8=0. 7

用一般式确定两直线位置关系的方法
2 2 l1:A1x+B1y+C1=0(A1 +B1 ≠0) 2 2 l2:A2x+B2y+C2=0(A2+B2≠0)

直线方程 l1 与 l2 垂直 的充要条件 l1 与 l2 平行 的充分条件 l1 与 l2 相交 的充分条件 l1 与 l2 重合 的充分条件

A1A2+B1B2=0 A 1 B1 C1 = ≠ (A B C ≠0) A 2 B2 C2 2 2 2 A 1 B1 ≠ (A B ≠0) A 2 B2 2 2 A 1 B1 C1 = = (A B C ≠0) A 2 B2 C2 2 2 2

1.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a=________. 解析:因为两直线垂直,所以 a(a+2)+1=0,解得 a=-1. 答案:-1 2.若直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=-7+a 平行, 则实数 a 的值为________. a 3 解析:显然当 a=1 时两直线不平行;当 a≠1 时,k1=- ,k2= ,因为两条直线平 2 1-a 行,所以 k1=k2,解得 a=3 或 a=-2.经检验,a=-2 时两直线重合,故 a=3. 答案:3 考点二 2 ,这样的点 P 共有( 2 有关距离问题

[例 2] (1)(2015· 安康模拟)点 P 到点 A(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且 P 到直线 y =x 的距离等于 )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 (2)已知两条平行直线 l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0 间的距离为 5,则直线 l1 的方程为__________. [听前试做] (1)设点 P(x,y),由题意知 (x-1)2+y2=|x+1|,且
2 ? ?y =4x, ? 所以 ?|x-y|=1, ?

2 |x-y| = , 2 2

?y2=4x, ? 即? ① ? ?x-y=1, ?y2=4x, ? 或? ② ? ?x-y=-1.

?x=3-2 2, ?x=3+2 2, 解①得? 或? ?y=2-2 2 ?y=2+2 2,
? ?x=1, 解②得? ?y=2, ?

因此,这样的点 P 共有 3 个.
?m=4, ? ?m=-4, ? m 8 n (2)∵l1∥l2,∴ = ≠ ,∴? 或? 2 m -1 ?n≠2. ? ? ?n≠-2

①当 m=4 时,直线 l1 的方程为 4x+8y+n=0, 把 l2 的方程写成 4x+8y-2=0, |n+2| ∴ = 5,解得 n=-22 或 18. 16+64 故所求直线 l1 的方程为 2x+4y-11=0 或 2x+4y+9=0. ②当 m=-4 时,直线 l1 的方程为 4x-8y-n=0, 把 l2 的方程写成为 4x-8y-2=0, |-n+2| ∴ = 5,解得 n=-18 或 22. 16+64 故所求直线 l1 的方程为 2x-4y+9=0 或 2x-4y-11=0. 答案:(1)C (2)2x± 4y+9=0 或 2x± 4y-11=0

与距离有关问题的解题策略 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求. (2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在两 定点所在线段的垂直平分线上,从而计算简便. 已知点 P(2,-1),过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程为__________________, 原点到直线 l 的最大距离为__________________. 解析: 作图可得过点 P 与原点 O 距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线, 如图. 由 l⊥OP,得 klkOP=-1,

1 所以 kl=- =2. kOP 又点 P(2,-1)在直线 l 上,由点斜式得 y+1=2(x-2),即 2x-y-5=0. |-5| ∴直线 2x-y-5=0 是过点 P 且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为 = 5. 5 答案:2x-y-5=0 5 考点三 对 称 问 题

对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型,且主要有以下 几个命题角度: 角度一:点关于点中心对称 [例 3] (2015· 泉州模拟)过点 P(0,1)作直线 l,使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y +10=0 截得的线段被点 P 平分,则直线 l 的方程为________________. [听前试做] 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a),则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(- a,2a-6)在 l2 上,代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上,所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 答案:x+4y-4=0 角度二:点关于直线对称 [例 4] (2015· 日照模拟)已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2),则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为________. [听前试做] 设 A′(x,y),由已知得 y+2 2 33 ? ?x=-13, ?x+1×3=-1, 解得? ? x-1 y-2 4 ? ?2× 2 -3× 2 +1=0, ?y=13, 33 4 ? 故 A′? ?-13,13?. 33 4 - , ? 答案:? ? 13 13? 角度三:直线关于直线的对称问题 [例 5] (2015· 泰安模拟)已知直线 l:2x-3y+1=0,求直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程. [听前试做] 在直线 m 上任取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必 在直线 m′上.设对称点 M′(a,b),则 6 ?a+2?-3× ?b+0?+1=0, 2× ? ?a=13, ? ? 2 ? ? 2 ? 解得? ?b-0 2 30 b= , × =-1, ? ? 13 ?a-2 3 6 30? ∴M′? ?13,13?. 设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
? ?2x-3y+1=0, 由? 得 N(4,3). ?3x-2y-6=0, ?

又∵m′经过点 N(4,3),

∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. 角度四:对称问题的应用 [例 6] (2015· 福州模拟)光线从点 A(-4,-2)射出,到直线 y=x 上的点 B 后被直线 y =x 反射到 y 轴上的点 C,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的 直线方程. [听前试做]

作出草图,如图所示,设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′,D 关于 y 轴的对称点为 D′, 则易得 A′(-2,-4),D′(1,6).由入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C.故 BC y-6 x-1 所在的直线方程为 = ,即 10x-3y+8=0. 6+4 1+2

解决对称问题的方法 (1)中心对称
?x′=2a-x, ? ①点 P(x,y)关于 O(a,b)的对称点 P′(x′,y′)满足? ? ?y′=2b-y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ① 点 A(a , b) 关 于 直 线 Ax + By + C = 0(B≠0) 的 对 称 点 A′(m , n) , 则 有 n-b ? A? ? ?m-a×?-B?=-1, ? a+m b+n ? ?A· 2 +B· 2 +C=0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 1.(2015· 广州模拟)直线 x-2y+1=0 关于 x=1 对称的直线方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 解析:选 D 由题意得直线 x-2y+1=0 与 x=1 的交点坐标为(1,1).又直线 x-2y+1 =0 上的点(-1,0)关于 x=1 的对称点为(3,0),所以由直线方程的两点式,得 y-0 x-3 = , 1-0 1-3

即 x+2y-3=0. 2.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则 m+n=________. 解析:设 A(0,2),B(4,0),则线段 AB 的中点为(2,1),直线 AB 的斜率 kAB= 0-2 = 4-0

1 - ,则线段 AB 的垂直平分线方程为 y-1=2(x-2),即 2x-y-3=0.又点(7,3)与点(m, 2 n)重合,则有 n-3 1 =- , ? ?m-7 2 ?m+2n-13=0, ? 即? ? 7+m 3+n ?2m-n+5=0. ? ?2× 2 - 2 -3=0, ?

?m=5, 34 解得? ∴m+n= . 5 31 ?n= 5 ,
34 答案: 5 3.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直 线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到点 P,则光线所经过的路程是________.

3

解析:直线 AB 的方程为 x+y=4,点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2),关于 y 轴的对称点为 C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|= 62+22=2 10.

答案:2 10 [课堂归纳——通法领悟] 1 ? 条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. ?1种思想——转化思想在对称问题中的应用 一般地,对称问题包括点关于点的对称,点关于直线的对称,直线关于点的对称,直 线关于直线的对称等情况,上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决. ?2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间 的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有 斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑; |C1-C2| (2)运用两平行直线间的距离公式 d= 的前提是将两方程中的 x, y 的系数化为 A2+B2

[全盘巩固] 一、选择题 1.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0 垂直,则实数 a=( A. 2 3 B.-1 C.2 D.-1 或 2
2

)

2 解析:选 A ∵a?1+(a-1)?2=0,∴a= . 3 2.已知点(m,1)(m>0)到直线 l:x-y+2=0 的距离为 1,则实数 m 的值为( A. 2 B.2- 2 C. 2-1 D. 2+1 )

解析:选 C

|m-1+2| |m+1| d= = =1,∴m=-1± 2. 2 2

又∵m>0,∴m= 2-1. 1 3.当 0<k< 时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在( 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选 B
?kx-y=k-1, ? ? k ,2k-1?.因为 0<k<1,所以 k 解方程组? 得交点为? ? 2 k-1 ?k-1 k-1 ? ? ?ky-x=2k,

)

2k-1 <0, >0.故交点在第二象限. k-1 4.已知平面内两点 A(1,2),B(3,1)到直线 l 的距离分别是 2, 5- 2,则满足条 件的直线 l 的条数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C 由题知满足题意的直线 l 在线段 AB 两侧各有 1 条.又因为|AB|= 以还有 1 条为过线段 AB 上的一点且与 AB 垂直的直线,故共 3 条. 5. 已知直线 l1: y=2x+3, 直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称, 则直线 l2 的斜率为( A. 1 1 B.- C.2 2 2 D.-2 ) 5,所

解析:选 A 因为 l1,l2 关于直线 y=-x 对称,所以 l2 的方程为-x=-2y+3,即 y= 1 3 1 x+ ,即直线 l2 的斜率为 . 2 2 2 6.(2015?张家界模拟)若动点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线 l1:x-y-5=0,l2:

x-y-15=0 上移动,则 P1P2 的中点 P 到原点的距离的最小值是( A. 5 2 2 B.5 2 15 2 C. 2 D.15 2

)

解析:选 B 由题意得 P1P2 的中点 P 的轨迹方程是 x-y-10=0,则原点到直线 x-y- 10=0 的距离为 d= 10 2 =5 2. )

7.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点( A.(0,4) C.(-2,4) B.(0,2) D.(4,-2)

解析: 选 B 直线 l1: y=k(x-4)恒过定点(4, 0), 其关于点(2, 1)对称的点为(0, 2). 又 由于直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 恒过定点(0,2). 8.(2015?哈尔滨模拟)设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 3,且|PA|=|PB|, 若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 )

C.x-2y+4=0 D.x+y-7=0 解析:选 D 由|PA|=|PB|知点 P 在 AB 的垂直平分线上.由点 P 的横坐标为 3,且 PA 的方程为 x-y+1=0,得 P(3,4).直线 PA,PB 关于直线 x=3 对称,直线 PA 上的点(0,1) 关于直线 x=3 的对称点(6,1)在直线 PB 上,∴直线 PB 的方程为 x+y-7=0. 二、填空题 9.直线 Ax+3y+C=0 与直线 2x-3y+4=0 的交点在 y 轴上,则 C 的值为________. C 4 C 解析:因为两直线的交点在 y 轴上,所以当 x=0 时,y1=- ,y2= ,则 y1=y2,即- 3 3 3 4 = ,故 C=-4. 3 答案:-4 10.(2015?玉溪模拟)已知点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相 等,则实数 a 的值为________. |-3a-4+1| |6a+3+1| 1 7 解析:由题意及点到直线的距离公式得 = ,解得 a=- 或- . 2 2 3 9 a +1 a +1 1 7 答案:- 或- 3 9 11.已知直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8, l1∥l 2,则实数 m 的值 为________. 解析:由(3+m)(5+m)-4?2=0,得 m=-1 或 m=-7,

当 m=-1 时,直线 l1 与 l2 重合,舍去; 5-3m 13 8 当 m=-7 时, = ≠ ,两直线平行. 4 2 5+m 答案:-7 12.已知平面上三条直线 x+2y-1=0,x+1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划 分为六部分,则实数 k 的所有取值为________. 解析:若三条直线有两条平行,另外一条与这两条直线相交,则符合要求,此时 k=0 或 2;若三条直线交于一点,也符合要求,此时 k=1,故实数 k 的所有取值为 0,1,2. 答案:0,1,2 三、解答题 13.已知两条直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等. 解:(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)?1=0, 即 a -a-b=0.① 又点(-3,-1)在 l1 上, ∴-3a+b+4=0② 由①②得 a=2,b=2. a a (2)∵l1∥l2,∴ =1-a,b= , b 1-a 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为: 4(a-1) (a-1)x+y+ =0, a a (a-1)x+y+ =0, 1-a 又原点到 l1 与 l2 的距离相等. ∴4?
2

?a-1?=? a ?,∴a=2 或 a=2, ? ? ? 3 ? a ? ?1-a?

2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 [冲击名校] 1. (2015?南昌模拟)点 P 在直线 3x+y-5=0 上, 且 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 则点 P 坐标为( ) 2,

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) |x-5+3x-1| 解析:选 C 设 P(x,5-3x),则 d= 2 = 2,|4x-6|=2,4x-6=±2, 2 1 +(-1) 即 x=1 或 x=2,故 P(1,2)或(2,-1). 2.已知直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若点 A,B 的坐标分别是(-4, 2),(3,1),则点 C 的坐标为( A.(-2,4) C.(2,4) B.(-2,-4) D.(2,-4) )

解析:选 C 点 A 关于直线 y=2x 对称的点为(4,-2),且点 A 关于 y=2x 对称的点在
? ?y=2x, 直线 BC 上,于是 BC 方程为 3x+y-10=0,由? 得点 C 的坐标为(2,4). ?3x+y-10=0, ?

3.已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点 P. (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解:(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+λ (x-2y)=0,即(2+λ )x+(1-2λ )y-5=0, ∴ 1 =3,解得 λ =2 或 λ = . 2 (2+λ ) +(1-2λ )
2 2

|10+5λ -5|

∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.

?2x+y-5=0, ? (2)由? 解得交点 P(2,1), ? ?x-2y=0,

如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立). ∴dmax=|PA|= 10. 第三节 考纲下载 1.掌握确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程与一般方程. 圆的方程

一、必备知识 1.圆的定义及方程 定义 标准 方程 一般 方程 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0) x +y +Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
2 2

圆心 C:(a,b) 半径:r D E? 圆心:? ?- 2 ,- 2 ? 半径:r= D2+E2-4F 2

2.点与圆的位置关系 (1)理论依据:点与圆心的距离与半径的大小关系. (2)三种情况 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0), ①(x0-a)2+(y0-b)2=r2? 点在圆上; 2 2 2 ②(x0-a) +(y0-b) >r ? 点在圆外; 2 2 2 ③(x0-a) +(y0-b) <r ? 点在圆内. 二、必记结论 1.圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆相切时,切点与两圆心三点共线. 2.两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫圆系方程. (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中 a,b 为定值,r 是参数; (2)半径相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中 r 为定值,a,b 是参数.

一、思考辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) 2 2 2 (2)方程(x-a) +(y-b) =t (t∈R)表示圆心为(a,b),半径为 t 的一个圆.( ) (3)方程 x2+y2+4mx-2y=0 不一定表示圆.( ) 2 (4)若点 M(x0,y0)在圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 外,则 x2 ) 0+y0+Dx0+Ey0+F>0.( 提示:(1)正确.根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径. (2)错误.方程(x-a)2+(y-b)2=t2 中,当 t>0 时才表示圆心为(a,b),半径为 t 的一个圆. (3)错误. 方程 x2+y2+4mx-2y=0 可化为(x+2m)2+(y-1)2=4m2+1, 由于 4m2+1>0, 所以此方程一定表示圆. 2 (4)正确.若点 M(x0,y0)在圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 外,则必有 x2 0+y0+Dx0+Ey0+F

>0 成立. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、牛刀小试 1.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 2 解析:选 D 圆的方程可化为(x-2) +(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3). 2.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( ) 2 ? A.(-∞,-2)∪? ?3,+∞? C.(-2,0) 2 ? B.? ?-3,0? 2? D.? ?-2,3?

2 解析:选 D 由题意知 a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,解得-2<a< . 3 3.若点(2a,a+1)在圆 x2+(y-1)2=5 的内部,则 a 的取值范围是( A.(-1,1) B.(0,1) 1? C.? ?-1,5? 1 ? D.? ?-5,1? )

解析:选 A ∵点(2a,a+1)在圆 x2+(y-1)2=5 的内部,∴(2a)2+a2<5,解得-1<a<1. 4.将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是( ) A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 解析:选 C 要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A,B, C,D 四个选项中,只有 C 选项中的直线经过圆心. 5.经过三点(2,-1)、(5,0)、(6,1)的圆的一般方程为________________. 解析:设所求方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 2 +(-1) +2D-E+F=0, D=-4, ? ? ? 2 2 ? 则?5 +0 +5D+0+F=0, 解得?E=-8, 2 2 ? ? ?6 +1 +6D+E+F=0, ?F=-5, 故所求圆的一般方程为 x2+y2-4x-8y-5=0. 答案:x2+y2-4x-8y-5=0
2 2

考点一

求圆的方程

[例 1] (1)(2014· 陕西高考)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称, 则圆 C 的标准方程为________________. (2)(2013· 江西高考)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方 程是________________. (3)(2014· 山东高考)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C截x 轴 所得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为________________. [听前试做] (1)因为点(1,0)关于直线 y=x 对称的点的坐标为(0,1),所以所求圆的圆 心为(0,1),半径为 1,于是圆 C 的标准方程为 x2+(y-1)2=1.

3 25 (2)由已知可设圆心为(2,b),由 22+b2=(1-b)2=r2,得 b=- ,r2= . 2 4 3 2 25 y+ ? = . 故圆 C 的方程为(x-2)2+? ? 2? 4 (3)依题意,设圆心的坐标为(2b,b)(其中 b>0),则圆 C 的半径为 2b,圆心到 x 轴的距 离为 b,所以 2 4b2-b2=2 3,b>0,解得 b=1,故所求圆 C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2 =4. 3 2 25 y+ ? = 答案: (1)x2+(y-1)2=1 (2)(x-2)2+? ? 2? 4 (3)(x-2)2+(y-1)2=4

[探究 1] 本例(1)改为:若圆 C 的圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,直线 3x-4y-1 =0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 3,求圆 C 的方程. 解:因为点(1,0)关于直线 y=x 对称的点的坐标为(0,1),所以所求圆的圆心为(0,1), 圆心 C(0,1)到直线 3x-4y-1=0 的距离为 1,又|AB|=2 3,可得圆的半径为 2,所以圆 C 的方程为 x2+(y-1)2=4. [探究 2] 本例(2)中“与直线 y=1 相切”改为“圆心在 y=1 上”,结果如何? 解:∵圆过点 O(0,0)和点(4,0),∴圆心在直线 x=2 上, 又∵圆心在 y=1 上, ∴圆心的坐标为(2,1),半径 r= (2-0)2+(1-0)2= 5. 因此,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

求圆的方程的方法 (1)待定系数法:利用待定系数法求圆的方程,关键是建立关于 a,b,r 或 D,E,F 的方 程组. (2)几何法:利用圆的几何性质求方程,可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体 现了数形结合思想的运用. 求下列圆的方程: (1)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2); (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 解:(1)法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, b=-4a, ? ?(3-a) +(-2-b) =r , 则有? |a+b-1| ? ? 2 =r,
2 2 2

解得 a=1,b=-4,r=2 2.

故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 法二:过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x-3. 与 y=-4x 联立可得圆心为(1,-4), 所以半径 r= (1-3)2+(-4+2)2=2 2. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. (2)法一:设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 1+144+D+12E+F=0, D=-2, ? ? ? ? 则?49+100+7D+10E+F=0,解得?E=-4, ? ? ?81+4-9D+2E+F=0, ?F=-95, 所以所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-95=0. 法二:由 A(1,12),B(7,10),得 AB 的中点坐标为(4,11), 1 kAB=- ,则 AB 的中垂线方程为 3x-y-1=0. 3 同理得 AC 的中垂线方程为 x+y-3=0.
? ?3x-y-1=0, ? ?x=1, 联立? 得? ?x+y-3=0, ?y=2, ? ?

即圆心坐标为(1,2),半径 r= (1-1)2+(2-12)2=10, 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100. 考点二 与圆有关的轨迹问题 [例 2] (2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直 线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△ POM 的面积. [听前试做] (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 4 10 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 , 5 |PM|= 4 10 16 ,所以△ POM 的面积为 . 5 5

求与圆有关的轨迹方程的方法

已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB,且 A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点 C 的轨迹方程; (2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程. 解:(1)法一:设顶点 C(x,y),因为 AC⊥BC,且 A、B、C 三点不共线,所以 x≠3 且 x≠ -1. 又 kAC= y y ,k = ,且 kAC· kBC=-1, x+1 BC x-3

y y 所以 · =-1,即 x2+y2-2x-3=0. x+1 x-3 因此,直角顶点 C 的轨迹方程为 x2+y2-2x-3=0(x≠3 且 x≠-1). 法二:设 AB 的中点为 D,由中点坐标公式得 D(1,0),由直角三角形的性质知,|CD| 1 = |AB|=2,由圆的定义知,动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心,2 为半径长的圆(由于 A,B, 2 C 三点不共线,所以应除去与 x 轴的交点). 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3 且 x≠-1). (2)设点 M(x,y),点 C(x0,y0),因为 B(3,0),M 是线段 BC 的中点,由中点坐标公式 x0+3 y0+0 得 x= (x≠3 且 x≠1),y= ,于是有 x0=2x-3,y0=2y. 2 2 由(1)知,点 C 在圆(x-1)2+y2=4(x≠3 且 x≠-1)上运动,将 x0=2x-3,y0=2y 代入该 方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(x≠3 且 x≠1). 因此动点 M 的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3 且 x≠1). 考点三 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式出现,试题难度不 大,多为容易题、中档题,且主要有以下几个命题角度: 角度一:斜率型最值问题 [例 3] y (2015· 邵阳模拟)已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0,则 的最大值为 x y 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆. 的几 x

________,最小值为________. [听前试做]

y 何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设 =k,即 y=kx.当直线 y=kx 与圆相切时,斜 x

率 k 取最大值或最小值(如图),此时 值为- 3.

|2k-0|
2

y = 3,解得 k=± 3,所以 的最大值为 3,最小 x k +1

答案: 3 - 3 角度二:截距型最值问题 [例 4] 在[例 3]条件下,求 y-x 的最大值. [听前试做] 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示圆心为(2,0),半径 r= 3的圆. 设 y-x=b, y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距, 当直线 y=x+b 与圆相切时, |2-0+b| 纵截距 b 取得最大值或最小值,此时 = 3,解得 b=-2± 6. 2 所以 y-x 的最大值为-2+ 6. 角度三:距离型最值问题 [例 5] 在[例 3]条件下,求 x2+y2 的最大值和最小值. [听前试做] x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方, 由平面几何知识知, 在原点和圆 心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).

又因为圆心到原点的距离为 (2-0)2+(0-0)2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3. 角度四:利用对称性求最值 [ 例 6] (2014· 北京高考 )已知圆 C : (x -3)2 + (y- 4)2 = 1 和两点 A( - m, 0) , B(m, 0)(m>0).若圆 C 上存在点 P,使得 ∠APB=90° ,则 m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 [听前试做] 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r=1,

1 且|AB|=2m,因为∠APB=90° ,连接 OP,易知|OP|= |AB|=m.要求 m 的最大值,即求 2 圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离.因为|OC|= 32+42=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即

m 的最大值为 6. 答案:B

与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆 的几何性质数形结合求解. y-b (2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如 u= 型的最值问题, x-a 可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;②形如 t=ax+by 型的最值问题, 可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2 型的最值问题,可转化为动点到 定点的距离平方的最值问题. 1.(2013· 重庆高考)设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点, 则|PQ|的最小值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 解析:选 B |PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半 径为 2,所以|PQ|的最小值 d=3-(-3)-2=4. 2.已知 M 为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; n-3 (2)若 M(m,n),求 的最大值和最小值. m+2 解:(1)由圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8, 所以圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 2. 又|QC|= (2+2)2+(7-3)2=4 2. 所以|MQ|max=4 2+2 2=6 2, |MQ|min=4 2-2 2=2 2. n-3 (2)可知 表示直线 MQ 的斜率, m+2 设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), n-3 即 kx-y+2k+3=0,则 =k. m+2 由直线 MQ 与圆 C 有交点, |2k-7+2k+3| 所以 ≤2 2, 1+k2 可得 2- 3≤k≤2+ 3, n-3 所以 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2 [课堂归纳——通法领悟] 1 ? 个条件——二元二次方程表示圆的充分条件 二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0. ?1种方法——待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关 于 a,b,r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值;

(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关 于 D,E,F 的方程组,进而求出 D,E,F 的值.

[全盘巩固] 一、选择题 1. (2015?郑州模拟)以抛物线 y =4x 的焦点为圆心, 且过坐标原点的圆的方程为( A.(x-1) +y =1 C.x +(y-1) =1
2 2 2 2 2

)

B.(x+1) +y =1 D.x +(y+1) =1
2 2

2

2

解析:选 A 由题意,得抛物线的焦点为(1,0),即圆心为(1,0),又由圆过原点,得 半径为 1,所以圆的方程为(x-1) +y =1. 2.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x +(y-2) =1
2 2 2 2 2 2

)

B.x +(y+2) =1
2 2

2

2

C.(x-1) +(y-3) =1 D.x +(y-3) =1 解析:选 A 设圆心坐标为(0,b),则圆的方程为 x +(y-b) =1.又因为该圆过点(1, 2),所以 1 +(2-b) =1,解得 b=2,即圆的方程为 x +(y-2) =1. 3.圆(x+2) +y =5 关于直线 y=x 对称的圆的方程为( A.(x-2) +y =5 B.x +(y-2) =5 C.(x+2) +(y+2) =5 D.x +(y+2) =5 解析:选 D =5. 4.(2015?淮北模拟)已知圆 C 经过点 A(1,1)和点 B(2,-2),且圆心 C 在直线 x-y+ 1=0 上,则圆心 C 的坐标是( A.(-4,-3) C.(4,5) ) 由题意知所求圆的圆心坐标为(0,-2),所以所求圆的方程为 x +(y+2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.(-3,-2) D.(3,4)
2 2 2 2

解析:选 B 设圆心 C(x,x+1),则|CA|=|CB|,所以(x-1) +x =(x-2) +(x+3) , 解得 x=-3,圆心坐标是(-3,-2). 5.(2015?济南模拟)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴 都相切,则该圆的标准方程是( )

2 2 A.(x-2) +(y-1) =1 C.(x+2) +(y-1) =1
2 2

B.(x-2) +(y+1) =1 2 2 D.(x-3) +(y-1) =1

2

2

解析:选 A 由于圆心在第一象限且与 x 轴相切,故设圆心为(a,1),又由圆与直线 4x |4a-3| 2 2 -3y=0 相切可得 =1,解得 a=2,故圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =1. 5 6.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包 围的图形的面积等于( A.π ) B.4π C.8π
2 2

D.9π
2 2 2

解析:选 B 设 P(x,y),由题意知有,(x+2) +y =4[(x-1) +y ],整理得 x -4x+ y =0,配方得(x-2) +y =4.可知圆的面积为 4π. 7.(2015?南阳模拟)设 A 为圆(x-1) +y =1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1, 则 P 点的轨迹方程是(
2 2 2 2 2 2 2

)
2 2

A.(x-1) +y =4 B.(x-1) +y =2 C.y =2x D.y =-2x 解析: 选 B 作图可知圆心(1, 0)到点 P 距离为 2, 所以 P 在以(1, 0)为圆心, 以 半径的圆上,其轨迹方程为(x-1) +y =2.
2 2 2 2

2 为

8.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1) +(y+1) =1 上的动点, 则|MN|的最小值是( A. 9 4 B.1 C. 5 5 ) 13 D. 5

2

2

解析:选 C 圆心(-1,-1)到点 M 的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离 d= |-3-4-2| 9 4 = ,故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1= . 5 5 5 二、填空题 9.若圆的方程为 x +y +kx+2y+k =0,则当圆的面积最大时,圆心坐标为________.
2 2 3k ? k? 2 2 2 2 2 解析:方程 x +y +kx+2y+k =0 化为标准方程为?x+ ? +(y+1) =1- ,∵r =1 4 ? 2? 2 2 2



3k ≤1,∴k=0 时 r 最大,此时圆心为(0,-1). 4 答案:(0,-1) 10.(2015?南京模拟)直线 x-2y-2k=0 与 2x-3y-k=0 的交点在圆 x +y =9 的外
2 2

2

部,则 k 的取值范围为________________.
? ?x-2y-2k=0, ? ?x=-4k, 3 2 2 2 解析:由? 得? ∴(-4k) +(-3k) >9,即 25k >9,解得 k> 5 ?2x-3y-k=0, ? ?y=-3k. ?

3 或 k<- . 5 3? ?3 ? ? 答案:?-∞,- ?∪? ,+∞? 5? ?5 ? ? 11.实数 x,y 满足 x +(y+4) =4,则(x-1) +(y-1) 的最大值为________. 解析:(x-1) +(y-1) 表示圆 x +(y+4) =4 上动点(x,y)到点(1,1)距离 d 的平方, 因为 26-2≤d≤ 26+2,所以所求的最大值为( 26+2) =30+4 26. 答案:30+4 26 12 . 定 义 : 若 平 面 点 集 A 中 的 任 一 点 (x0 , y0) , 总 存 在 正 实 数 r , 使 得 集 合
2 2 2 2 2 2 2 2 2

{(x,y)|

(x-x0) +(y-y0) <r}?A,则称 A 为一个开集,给出下列集合:
2 2 2 2

①{(x,y)|x +y =1}; ②{(x,y)|x+y+2>0}; ③{(x,y)||x+y|≤6}; ④{(x,y)|0<x2+(y- 2)2<1}. 其中为开集的是________(写出所有符合条件的序号). 解析:集合{(x,y)| (x-x0)2+(y-y0)2<r}表示以(x0,y0)为圆心,以 r 为半径 的圆面(不包括圆周),由开集的定义知,集合 A 应该无边界,故由①②③④表示的图形知, 只有②④符合题意. 答案:②④ 三、解答题 13.圆 C 通过不同的三点 P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆 C 在点 P 处的切线斜率 为 1,求圆 C 的方程. 解:设圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,则 k,2 为 x +Dx+F=0 的两根, ∴k+2=-D,2k=F,即 D=-(k+2),F=2k,
2 2 2

又圆过 R(0,1),故 1+E+F=0,∴E=-2k-1. 故所求圆的方程为 x +y -(k+2)x-(2k+1)y+2k=0, 圆心坐标为?
2 2

?k+2,2k+1?. 2 ? ? 2 ?

∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1, 2k+1 ∴kCP=-1= ,∴k=-3. 2-k ∴D=1,E=5,F=-6. ∴所求圆 C 的方程为 x +y +x+5y-6=0. [冲击名校] x 2 2 2 1.(2014?福建高考)设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点,则 P, 10 Q 两点间的最大距离是( A.5 2 B. 46+ 2 ) C.7+ 2 D.6 2
2 2 2

解析: 选 D 设圆的圆心为 C, 则 C(0, 6), 半径 r= 2, 点 C 到椭圆上的点 Q( 10cos α, sin α ) 的 距 离 |CQ| = ( 10cos α) +(sin α-6) = 46-9sin α-12sin α =
2 2 2

2?2 2 ? 50-9?sin α+ ? ≤ 50=5 2,当且仅当 sin α=- 时取等号,所以|PQ|≤|CQ|+r 3 3 ? ? =5 2+ 2=6 2,即 P,Q 两点间的最大距离是 6 2,故选 D. 2.(2015?杭州模拟)若圆 x +y -2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形, 则 a-b 的取值范围是________. 解析:将圆的方程变形为(x-1) +(y+3) =10-5a,可知圆心为(1,-3),且 10-5a >0,即 a<2.∵圆关于直线 y=x+2b 对称,∴圆心在直线 y=x+2b 上,即-3=1+2b,解 得 b=-2,∴a-b<4. 答案:(-∞,4) 3.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 解:(1)∵直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2), ∴直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),
2 2 2 2

即 x+y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0.① 又∵直径|CD|=4 10, ∴|PA|=2 10. ∴(a+1) +b =40.②
? ?a=-3, ? ?a=5, 由①②解得? 或? ?b=6 ?b=-2. ? ?
2 2

∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2). ∴圆 P 的方程为(x+3) +(y-6) =40 或(x-5) +(y+2) =40.
2 2 2 2

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲下载 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断 两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

?对应学生用书P158

一、必备知识 1.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:相交、相切、相离. (2)两种研究方法:

2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 2 2 2 圆 O2:(x-a2) +(y-b2) =r2(r2>0). 方法 位置关系 几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的 关系 代数法: 两圆方程联立组成方 程组的解的情况

外离 外切 相交 内切 内含

d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2| (r1≠r2)

无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

二、必记结论 1.关注一个直角三角形 当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三 角形. 2.两圆相交时公共弦的方程 设圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,① 圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, ② 若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②所得,即:(D1-D2)x +(E1-E2)y+(F1-F2)=0. 3.两圆不同的位置关系与对应公切线的条数 (1)两圆外离时,有 4 条公切线; (2)两圆外切时,有 3 条公切线; (3)两圆相交时,有 2 条公切线; (4)两圆内切时,有 1 条公切线; (5)两圆内含时,没有公切线. 4.两个圆系方程 (1)过直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 交点的圆系方程:x2+y2+Dx+ Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R); (2)过圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 交点的圆系 方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆 C2,因此注 意检验 C2 是否满足题意,以防丢解).

一、思考辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的必要不充分条件( ) 2 2 2 2 (2)过圆 O:x +y =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r .( ) (3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( ) (4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( ) 2 2 2 2 (5)圆 C1:x +y +2x+2y-2=0 与圆 C2:x +y -4x-2y+1=0 的公切线有且仅有 2 条.( ) 提示:(1)错误.当 k=1 时,圆心(0,0)到直线 x-y+k=0 的距离小于半径 1,直线与 圆相交;反之,若直线与圆相交,则有- 2<k< 2.故“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2 =1 相交”的充分不必要条件. (2)正确.过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r2,这一结论 需记住. (3)错误.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切或内切. (4)错误.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交、内切或内含.

(5)正确.由于两圆相交,故其公切线有且仅有两条. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、牛刀小试 1.直线 4x+3y=40 和圆 x2+y2=100 的位置关系是( A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定

)

40 解析:选 A 因为 d= =8<10=r,所以直线与圆相交. 5 2.以点(2,-1)为圆心,且与直线 3x-4y+5=0 相切的圆的方程为( A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3 C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=9 |3× 2-4× (-1)+5| 解析:选 C r= =3,故选 C. 2 3 +(-4)2 )

3.直线 x+2y=0 被圆 C:x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于________. |3+2| 解析:由已知圆心 C(3,1),半径 r=5.又圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 5,则弦长 5 =2 r2-d2=4 5. 答案:4 5 4.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的最小值为 ________. 解析:设直线 l 的方程为 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0,当直线 l 与圆相切时,k 有最大 |2k-4k| 1 3 值或最小值.由 2 =1 得 k2= ,∴k=± . 3 3 k +1 答案:- 3 3

?对应学生用书P159 考点一 直线与圆的位置关系 [例 1] (1)(2013· 陕西高考)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与 圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 (2)(2015· 南昌模拟)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2-15=0 相 切,则实数 k 的取值范围是________________. [听前试做] (1)因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,所以 a2+b2>1,而圆心 O 到直线 ax |a· 0+b· 0-1| 1 +by=1 的距离 d= = 2 2<1,所以直线与圆相交. 2 2 a +b a +b k 2 3k2 x+ ? +(y+1)2=16- , (2)把圆的方程化为标准方程得? ? 2? 4 3k2 8 3 8 3 所以 16- >0,解得- <k< . 4 3 3 由题易知点(1,2)应在已知圆的外部, 把点代入圆的方程得 1+4+k+4+k2-15>0,

即(k-2)(k+3)>0, 解得 k>2 或 k<-3, 8 3 ?∪? 8 3?. 则实数 k 的取值范围是?- ? 3 ,-3? ?2, 3 ? 8 3 ? ? 8 3? 答案:(1)B (2)?- ,-3 ∪ 2, 3 ? ? 3 ? ? [探究 1] 若将本例(1)改为“点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 上”,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系如何? 1 解:由点 M 在圆上,得 a2+b2=1,∴圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= 2 2=1, a +b 则直线与圆 O 相切. [探究 2] 若将本例(2)中的条件“总可以作两条直线”改为“至多能作一条直线”,结果如 何? 解:依题意知点(1,2)应在圆上或圆的内部, 3 ? ?16-4k2>0, 所以有?

? ?1+4+k+4+k2-15≤0,

解得-3≤k≤2,即 k 的取值范围为[-3,2].

判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程之后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 直线 y=x+1 与圆 x +y =1 的位置关系是( A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
2 2

)

? ?y=x+1, 解析:选 B 法一:由? 2 2 消去 y,整理得 x2+x=0, ?x +y =1, ?

因为 Δ=12-4× 1× 0=1>0,所以直线与圆相交. 2 2 又圆 x +y =1 的圆心坐标为(0,0),且 0≠0+1,所以直线不过圆心. 法二:圆 x2+y2=1 的圆心坐标为(0,0),半径长为 1,则圆心到直线 y=x+1 的距离 d = 1 2 = . 2 2 因为 0< 2 <1,所以直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 相交但直线不过圆心. 2 考点二 圆与圆的位置关系

[例 2] (1)(2014· 湖南高考)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切, 则 m=( ) A.21 B.19 C.9 D.-11 2 2 (2)(2015· 郑州一检)若⊙O1:x +y =5 与⊙O2:(x+m)2+y2=20(m∈R)相交于 A,B 两

点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________. [听前试做] (1)圆 C1 的圆心是原点(0, 0), 半径 r1=1, 圆 C2: (x-3)2+(y-4)2=25-m, 圆心 C2(3,4),半径 r2= 25-m,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+ 25-m=5,所以 m=9. (2)由两圆在点 A 处的切线互相垂直,可知两切线分别过另一圆的圆心,即 AO1⊥AO2, 2 5× 5 在直角三角形 AO1O2 中,(2 5)2+( 5)2=m2,∴m=± 5,|AB|=2× =4. 5 答案: (1)C (2)4

圆与圆的位置关系 判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是: (1)确定两圆的圆心坐标和半径长; (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求 r1+r2,|r1-r2|; (3)比较 d,r1+r2,|r1-r2|的大小,写出结论. 圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+4=0 的公切线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析:选 D 圆 C1:(x+1)2+(y+1)2=4, ∴圆心 C1(-1,-1),半径长 r1=2; 圆 C2:(x-2)2+(y-1)2=1, ∴圆心 C2(2,1),半径长 r2=1. ∴d= (-1-2)2+(-1-1)2= 13,r1+r2=3, ∴d>r1+r2,∴两圆外离,∴两圆有 4 条公切线. 考点三 直线与圆的综合问题 直线与圆的综合问题,特别是直线与圆相交的有关问题,是高考中的一个命题热点,多 以选择、填空题的形式出现,难度中低,且主要有以下几个命题角度: 角度一:求弦长问题 [例 3] (2014· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y +1)2=4 截得的弦长为________. |2-2-3| 3 [听前试做] 因为圆心(2,-1)到直线 x+2y-3=0 的距离 d= = ,所以直线 5 5 x+2y-3=0 被圆截得的弦长为 2 2 55 答案: 5 角度二:由直线与圆相交求参数问题 [例 4] (2014· 重庆高考)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相 交于 A,B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. [听前试做] 圆 C:x2+y2+2x-4y-4=0 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心 3 2 为 C(-1,2),半径为 3.因为 AC⊥BC,所以圆心 C 到直线 x-y+a=0 的距离为 ,即 2 |-1-2+a| 3 2 = ,所以 a=0 或 6. 2 2 9 2 55 4- = . 5 5 )

答案:0 或 6 角度三:直线与圆相切问题 [例 5] (2014· 江西高考)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) 4π A. 5 C.(6-2 5)π 3π B. 4 5π D. 4

a b? 2 2 [听前试做] 法一:设 A(a,0),B(0,b),圆 C 的圆心坐标为? ?2,2?,2r= a +b ,由

题知圆心到直线 2x+y-4=0 的距离 d=

?a+b-4? ? 2 ?
5

=r,即|2a+b-8|=2 5r,2a+b=8± 2 5

r,由(2a+b)2≤5(a2+b2),得 8± 2 5r≤2 5r?r≥

2 4π ,即圆 C 的面积 S=πr2≥ . 5 5

法二:由题意可知以线段 AB 为直径的圆 C 过原点 O,要使圆 C 的面积最小,只需圆 C 的半径或直径最小.又圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的 4 2 最小值为点 O 到直线 2x+y-4=0 的距离,此时 2r= ,得 r= ,圆 C 的面积的最小值 5 5 4π 为 S=πr2= . 5 答案:A

直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角 形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.

1. (2013· 山东高考)过点(3, 1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦, 其中最短弦的长为________. 解析: 最短弦为过点 (3 , 1) , 且垂直于点 (3 , 1) 与圆心的连线的弦 , 易知弦心矩 d = (3-2)2+(1-2)2= 2,所以最短弦长为 2 r2-d2=2 22-( 2)2=2 2. 答案:2 2 2.(2015· 济南模拟)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________________. 解析:由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则由题意 ?|a-1|?2+2=(a-1)2,解得 a=3 或 a=-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a 知? ? ? 2 ? =3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0,即 m=- 3,故所求的直线方程为 x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 3.(2015· 南昌质检)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切

线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是________. 解析:如图所示,

|OA| |OP|= =2,设 P(x,y), sin∠OPA

? x2+y2=2, ?x= 2, 则? ?? 故 P( 2, 2). ?x+y-2 2=0 ?y= 2,
答案:( 2, 2) [课堂归纳——通法领悟] ?1种思想——数形结合思想 直线与圆的位置关系体现圆的几何性质和代数方程的结合,解题时要抓住圆的几何性 质,重视数形结合思想方法的应用. ?3种方法——解决直线与圆位置关系的三种方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程之后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. ?3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时,要注意过切点的半径与切线垂直; (2)当直线与圆相交时,半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键作 用,解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用; (3)判断直线与圆相切,特别是过圆外一点求圆的切线时,应有两条.在解题中,若只 求得一条,则说明另一条的斜率不存在,这一点经常忽视,应注意检验,防止出错.

[全盘巩固] 一、选择题 1. 圆 x +y -2x+4y-4=0 与直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( A.相离 C.相交 解析:选 C B.相切 D.以上都有可能 ∵圆的方程可化为(x-1) +(y+2) =9,∴圆心为(1,-2),半径 r=3.
2 2 2 2

)

又圆心在直线 2tx-y-2-2t=0 上,∴圆与直线相交. 2.圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x +y -4y=0 的位置关系是( A.外离 B.相交
2 2 2 2

)

C.外切

D.内切

解析:选 B 圆 O1 的圆心坐标为(1,0),半径长 r1=1,圆 O2 的圆心坐标为(0,2),半 径长 r2=2,故两圆的圆心距 d= 5,而 r2-r1=1,r1+r2=3,则有 r2-r1<d<r1+r2,故两 圆相交. 3. (2015· 济南模拟)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O: x2+y2=1 相交于 A, B 两点, 且|AB| = 3,则 1 A.- 2 的值是( )

1 3 B. C.- D.0 2 4

解析: 选 A 在△ OAB 中, |OA|=|OB|=1, |AB|= 3, 可得∠AOB=120° , 所以 1 =1× 1× cos 120° =- . 2 4. 过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x +y -4y=0 所截得的弦长为( A. 3 B.2 C. 6 D.2 3
2 2 2 2

)

解析:选 D

过原点且倾斜角为 60°的直线方程为 3x-y=0,圆 x +(y-2) =4 的圆

| 3?0-2| 2 2 心(0,2)到直线的距离为 d= =1,因此弦长为 2 r -d =2 4-1=2 3. 3+1 5.(2014?浙江高考)已知圆 x +y +2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 解析:选 B 圆的标准方程为(x+1) +(y-1) =2-a,圆心 C(-1,1),半径 r 满足 r =2-a,则圆心 C 到直线 x+y+2=0 的距离 d= 4. 6.集合 A={(x,y)|x +y =4},B={(x,y)|(x-3) +(y-4) =r },其中 r>0,若 A∩B 中有且仅有一个元素,则 r 的取值集合为( A.{3} C.{3,7} B.{7} D.{2,7}
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

2 1+1

= 2,所以 r =4+2=2-a?a=-

2

)

解析:选 C 易求两圆的圆心距 d= 3 +4 =5.∵A∩B 有且仅有一个元素,则两圆相外 切或内切,∴r+2=5 或 r-2=5,于是 r=3 或 r=7. 7.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分为两部分,使得这两部分的
2 2

面积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0

(

)

解析:选 A 两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.因为 过点 P(1,1)的直径所在直线的斜率为 1,所以所求直线的斜率为-1,方程为 x+y-2=0. 8. (2015?兰州模拟)若圆 x +y =r (r>0)上仅有 4 个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1, 则实数 r 的取值范围为( A.( 2+1,+∞) C.(0, 2-1) ) B.( 2-1, D.(0, 2+1)
2 2 2

2+1) 2 = 2>1,如图.直线 l:x-y-2=0 与 2

解析:选 A 计算得圆心到直线 l 的距离为

圆相交,l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直 线 l2 的距离 2+1.

二、填空题 9.已知圆 C1:x +y -6x-7=0 与圆 C2:x +y -6y-27=0 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中垂线方程为________. 解析:∵圆 C1 的圆心 C1(3,0),圆 C2 的圆心 C2(0,3), ∴直线 C1C2 的方程为 x+y-3=0,AB 的中垂线即直线 C1C2,故其方程为 x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 10. 已知圆 C: (x-a) +(y-a) =1(a>0)与直线 y=3x 相交于 P, Q 两点, 若∠PCQ=90°, 则实数 a=________. 解析: 因为∠PCQ=90°, 所以△PCQ 为等腰直角三角形, 故圆心到直线的距离 d= = 2 5 ,即 4a= 20,解得 a= . 2 2 答案: 5 2
2 2 2 2 2 2 2 2

|3a-a| 10

11. (2014?重庆高考)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) +(y-a) =4 相交 于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________.

解析:依题意,圆 C 的半径是 2,圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离等于 |1·a+a-2| 2 = 3,于是有 = 3,即 a -8a+1=0,解得 a=4± 15. 2 a +1 答案:4± 15

3 ?2 2

3 12.(2015?盐城模拟)过点(2,3)且与直线 l1:y=0 和 l2:y= x 都相切的所有圆的半 4 径之和为________. 3 解析:因为点(2,3)在直线 l2:y= x 的上方,故满足条件的圆的圆心(a,b)一定在线 4
?y>0, ? 性区域? 中 , 所 以 由 |b| = ? ?3x-4y<0

(a-2) +(b-3) =

2

2

|3a-4b| ,得 b= 5

(a-2) +(b-3) = 求半径之和为 42. 答案:42 三、解答题

2

2

? ?a=-1, ? ?a=-13, 4b-3a ,解得? 或? 从而圆的半径为 3 或 39,所 5 ?b=3 ?b=39, ? ?

13.已知圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x +y -8y+12=0 配方,得标准方程为 x +(y-4) =4,则此圆的圆 心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切, |4+2a| 3 则有 =2,解得 a=- . 2 4 a +1 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,
2 2 2 2

2

2

? ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2,
|4+2a| |CD|= 2 , a +1
2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. [冲击名校]

1.(2014?安徽高考) 过点 P (- 3,-1)的直线 l 与圆 x +y =1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( )

2

2

? π? A.?0, ? 6? ? ? π? C.?0, ? 6? ?

? π? B.?0, ? 3? ? ? π? D.?0, ? 3? ?
min

解析: 选 D 法一: 设直线 l 的倾斜角为 θ , 数形结合可知: θ
2 2

=0, θmax=2?

π π = . 6 3

法二: 因为直线 l 与 x +y =1 有公共点, 所以设 l: y+1=k(x+ 3), 即 l: kx-y+ 3 | 3k-1| 2 k-1=0,则圆心(0,0)到直线 l 的距离 ≤1,得 k - 3k≤0,即 0≤k≤ 3,故直 2 1+k

? π? 线 l 的倾斜角的取值范围是?0, ?. 3? ?
2.(2014?湖北高考)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度 相等的四段弧,则 a +b =________. π 2 |a| 解析:由题意得,直线 l1 截圆所得的劣弧长为 ,则圆心到直线 l1 的距离为 ,即 2 2 2 = 2 2 2 2 2 ?a =1,同理可得 b =1,则 a +b =2. 2 答案:2 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2) 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,
2 2 2 2

请说明理由. 解:(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为 Q(6,0).过 P(0,2)且斜率为 k 的 直线方程为 y=kx+2, 代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0, 整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A、B 等价于 Δ=[4(k-3)]2-4× 36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0, 3 ? 3 解得- <k<0,即 k 的取值范围为? ?-4,0?. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 4(k-3) 由方程①得,x1+x2=- .② 1+k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③ =(x1+x2,y1+y2),

而 P(0,2),Q(6,0), 所以

=(6,-2).

共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2),

3 ? 3 将②③代入上式,解得 k=- .由(1)知 k∈? ?-4,0?,故不存在符合题意的常数 k. 4 真题阶段重组练(12) 一、选择题 1.(2013?安徽高考)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x +y -2x-4y=0 截得的弦长为 ( ) A.1 解析: 选 C B.2 C.4 D.4 6
2 2

依题意 , 圆的圆心为 (1 , 2) , 半径 r = 5 , 圆心到直线的距离 d =

|1+4-5+ 5| 2 2 =1,所以结合图形可知弦长的一半为 r -d =2,故弦长为 4. 5 2.(2013?江西高考)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x 相交于 A,B 两点,O 为坐 标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( A. 3 3 B.- 3 3 3 3 )
2

C.±

D.- 3
2 2 2

解析:选 B 由 y= 1-x 得 x +y =1(y≥0),即该曲线表示圆心在原点,半径为 1 的 半圆,如图所示.

1 1 故 S△AOB= |OA|·|OB|·sin∠AOB= sin∠AOB.所以当 sin∠AOB=1,即 OA⊥OB 时,S△ 2 2
AOB

取得最大值, 此时点 O 到直线 l 的距离 d=|OA|· sin 45°=

2 .设此时直线 l 的斜率为 k, 2

则 l 的方程为 y=k(x- 2),即 kx-y- 2k=0,则有 3 . 3

2 |0-0- 2k| 3 = ,解得 k=± , 2 2 3 k +1

由图可知直线 l 的倾斜角为钝角,故取 k=-

3.(2012?浙江高考)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+

(a+1)y+4=0 平行”的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 由 a=1 可得 l1∥l2,反之由 l1∥l2 可得 a=1 或 a=-2. 4.(2012?山东高考)圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为( A.内切 C.外切 B.相交 D.相离
2 2 2 2

)

解析: 选 B 两圆的圆心距离为 17, 两圆的半径之差为 1、 两圆半径之和为 5, 而 1< 17 <5,所以两圆相交. 5.(2012?陕西高考)已知圆 C:x +y -4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 解析:选 A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得 3 +0-4?3=-3<0,故点(3,0)在圆 的内部,所以过点(3,0)的直线 l 与圆 C 相交. 6.(2012?江西高考)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中 |PA| +|PB| 点,则 =( 2 |PC| A.2 B.4 C.5 D.10 解析:选 D
2 2 2 2 2

)

)

如图,以 C 为原点,CB,CA 所在直线为 x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系.设 A(0,a),
2 2 2 2 b 9a 9b a ?b a? ?b a? 2 2 B(b,0),则 D? , ?,P? , ?,由两点间的距离公式可得|PA| = + ,|PB| = + , 16 16 16 16 ?2 2? ?4 4?

10 2 2 (a +b ) b a |PA| +|PB| 16 2 |PC| = + .所以 = =10. 2 2 2 16 16 |PC| a +b 16
2 2 2 2

7.(2012?天津高考)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y- 1) =1 相切,则 m+n 的取值范围是(
2

2

)

A.[1- 3,1+ 3 ] B.(-∞,1- 3 ]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2 ] D.(-∞,2-2 2 ]∪[2+2 2,+∞) (m+n) 解析:选 D 由题意可得 =1,化简得 mn=m+n+1≤ , 2 2 4 (m+1) +(n+1) 解得 m+n≤2-2 2或 m+n≥2+2 2. 8.(2010?安徽高考)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 ) |m+n|
2

解析:选 A 与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程可设为 x-2y+c=0,将点(1,0)代入 x-2y+c=0,解得 c=-1,故直线方程为 x-2y-1=0. 二、填空题 9. (2014?新课标全国卷 Ⅱ )设点 M(x0, 1), 若在圆 O: x +y =1 上存在点 N, 使得∠OMN =45°,则 x0 的取值范围是________.
2 2

解析: 由题意可知 M 在直线 y=1 上运动, 设直线 y=1 与圆 x +y =1 相切于点 P(0, 1). 当 x0=0 即点 M 与点 P 重合时,显然圆上存在点 N(±1,0)符合要求;当 x0≠0 时,过 M 作圆的 切线, 切点之一为点 P, 此时对于圆上任意一点 N, 都有∠OMN≤∠OMP, 故要存在∠OMN=45°, 只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP=45°时,有 x0=±1.结合图形可知,符合条件的 x0 的 取值范围为[-1,1]. 答案:[-1,1] 10.(2012?江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,若 直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的 最大值是________. |4k-2| 解析:设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d,则 d= 2 ,由题意知问题转化 k +1 |4k-2| 4 4 为 d≤2,即 d= ≤2,得 0≤k≤ ,所以 kmax= . 2 3 3 k +1
2 2

2

2

4 答案: 3 11.(2012?天津高考)设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆 x +y =4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最 小值为________. 解析:由直线与圆相交所得弦长为 2,知圆心到直线的距离为 3,即 1 m +n
2 2 2 2

= 3,所

1 1 1 ?1 ? ? 1? 2 2 以 m +n = ≥2|mn|,所以|mn|≤ ,又 A? ,0?,B?0, ?,所以△AOB 的面积为 ≥3, 3 6 2|mn| ?m ? ? n? 最小值为 3. 答案:3 12.(2009?天津高考)若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3, 则 a=________.
2 2 2 2

1 解析:两圆方程作差易知弦所在直线方程为 y= ,如图,由已知|AC|= 3,|OA|=2. a 1 有|OC|= =1,∴a=1. a 答案:1 三、解答题 13.(2011· 新课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交 点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 解: (1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0, 1), 与 x 轴的交点为(3+2 2, 0), (3-2 2, 0). 故可设圆 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1. 则圆 C 的半径为 32+(t-1)2=3. 所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设 A(x1,y1),B(x2, y2),则
? ?x-y+a=0, ? 2 2 ?(x-3) +(y-1) =9. ?

=(x1,y1),

=(x2,y2),其坐标满足方程组:

消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式 Δ=56-16a-4a2>0.

a2-2a+1 从而 x1+x2=4-a,x1x2= .① 2 由于 OA⊥OB,所以 即 x1x2+y1y2=0,又 y1=x1+a,y2=x2+a,所

以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.② 由①②得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1. 第五节 椭 圆 考纲下载 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.

一、必备知识 1.椭圆的定义 (1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆: ①在平面内; ②与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数; ③常数大于|F1F2|. (2)焦点:两定点. (3)焦距:两焦点间的距离. 2.椭圆的标准方程和几何性质 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 x2 y2 + =1(a>b>0) b2 a2

标准方程

图 形

范围 性 对称性 顶点 质 轴 焦距 离心率

-a≤x≤a, -b≤y≤b 对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0) A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) |F1F2|=2c c e= ,e∈(0,1) a

-b≤x≤b, -a≤y≤a A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a,短轴 B1B2 的长为 2b

a,b,c 的关系 二、必记结论 椭圆的常用性质

c2=a2-b2

x2 y2 (1)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一点 P(x,y),则当 x=0 时,|OP|有最小值 b,P 点 a b 在短轴端点处;当 x=± a 时,|OP|有最大值 a,P 点在长轴端点处. (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中 a 为斜边,a2=b2+ c2. (3)已知过焦点 F1 的弦 AB,则△ ABF2 的周长为 4a.

一、思考辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)动点 P 到两定点 A(0,-2),B(0,2)的距离之和为 4,则点 P 的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1, F2 构成△ PF1F2 的周长为 2a+2c(其中 a 为椭圆的长半轴长, c 为椭圆的半焦距).( ) (3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越“圆”.( ) (4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.( ) 提示:(1)错误.动点 P 到两定点 A(0,-2),B(0,2)的距离之和为 4,则点 P 的轨迹是 线段 AB 而非椭圆. (2)正确.根据椭圆定义可知,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以△ PF1F2 的周长为 2a+ 2c. (3)错误.根据椭圆离心率的意义可知,椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越“扁”而非“圆”. (4)正确.根据椭圆的性质可知,椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形. 答案: (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、牛刀小试 x2 y2 1. 设 P 是椭圆 + =1 上的点, 若 F1, F2 是椭圆的两个焦点, 则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 A.4 解析:选 D B.5 C.8 D.10 依椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2× 5=10. ) )

x2 y2 2.椭圆 + =1 的离心率为( 16 8 1 A. 3 1 3 2 B. C. D. 2 3 2

x2 y2 解析:选 D 在椭圆 + =1 中,a2=16,b2=8,所以 c2=a2-b2=8,即 c=2 2,因 16 8 c 2 2 2 此,椭圆的离心率 e= = = . a 4 2 x2 y2 3.椭圆 + =1 的右焦点到直线 y= 3x 的距离是( 4 3 1 A. 2 B. 3 C.1 D. 3 2 )

x2 y2 解析:选 B 在椭圆 + =1 中,a2=4,b2=3,所以 c2=a2-b2=4-3=1,因此,其 4 3 右焦点为(1,0).该点到直线 y= 3x 的距离 d= | 3-0| ( 3) +(-1)
2 2



3 . 2

4.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m=________. y2 解析:椭圆 x2+my2=1 可化为 x2+ =1, 1 m 1 因为其焦点在 y 轴上,∴a2= ,b2=1, m 依题意知 1 答案: 4 x2 y2 5.椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B,当△ FAB 的周长最 4 3 大时,△ FAB 的面积是________. 解析:直线 x=m 过右焦点(1,0)时,△ FAB 的周长最大,由椭圆定义知,其周长为 4a b2 2× 3 1 =8,此时,|AB|=2× = =3,∴S△ FAB= × 2× 3=3. a 2 2 答案:3 1 1 =2,解得 m= . m 4

考点一 [例 1]

椭圆的定义和标准方程

(1)(2013· 广东高考)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ) x2 y2 B. + =1 4 3 x2 y2 D. + =1 4 3

1 ,则 C 的方程是( 2 x2 y2 A. + =1 3 4 x2 y2 C. + =1 4 2

x2 y2 (2)(2015· 徐州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C a b 上的一点,且 若△ PF1F2 的面积为 9,则 b=________.

1 c 1 [听前试做] (1)由右焦点为 F(1,0),可知 c=1,因为离心率为 ,即 = ,故 a=2,由 2 a 2 x2 y2 a2=b2+c2,知 b2=a2-c2=3,因此椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3
? ?r1+r2=2a, (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则? 2 2 2 ?r1+r2=4c , ?

2 2 2 2 ∴2r1r2=(r1+r2)2-(r2 1+r2)=4a -4c =4b ,

1 ∴S△ PF1F2= r1r2=b2=9,∴b=3. 2 答案:(1)D (2)3 [探究 1] 本例(2)中增加条件“△ PF1F2 的周长为 18”,其他条件不变,求该椭圆的方程. 解:由原题得 b2=a2-c2=9, 又 2a+2c=18,所以 a-c=1,解得 a=5, x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 25 9 [ 探究 2] 本例 (2) 中条件 “ ” 、 “△ PF1F2 的面积为 9”分别改为 “∠F1PF2 =

60°”“S△ PF1F2=3 3”,结果如何? 解:|PF1|+|PF2|=2a,又∠F1PF2=60° , 2 2 所以|PF1| +|PF2| -2|PF1||PF2|cos 60° =|F1F2|2,所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4c2, 所以 3|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2, 4 所以|PF1||PF2|= b2, 3 1 1 4 3 3 所以 S△ PF1F2= |PF1||PF2|sin 60° = × b2× = b2=3 3,所以 b=3. 2 2 3 2 3

用待定系数法求椭圆方程的一般步骤 (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有 可能; x2 y2 x2 y2 (2) 设方程:根据上述判断设方程 2 + 2 = 1(a>b>0) , 2 + 2 = 1(a>b>0) 或 mx2 + ny2 = a b b a 1(m>0,n>0); (3)找关系:根据已知条件,建立关于 a,b,c 或 m,n 的方程组; (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦点的位置时, 可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). x2 1.已知△ ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3 另外一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是( ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 解析:选 C 根据椭圆定义,△ ABC 的周长等于椭圆长轴长的 2 倍,即 4 3. x2 y2 3 2.已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C 有 a b 2 四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( x y x y A. + =1 B. + =1 8 2 12 6 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 16 4 20 5
2 2 2 2

)

解析:选 D ∵椭圆的离心率为 在第一象限的交点为? 为

a2-b2 3 c 3 ,∴ = = ,∴a=2b.∴椭圆的方程为 x2+ 2 a a 2

4y2=4b2.∵双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 x± y=0,∴渐近线 x± y=0 与椭圆 x2+4y2=4b2 2 5 2 5 ? , ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积 ? 5 b, 5 b?

2 5 2 5 b× b=4,∴b2=5,∴a2=4b2=20. 5 5 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 20 5 考点二
2

椭圆的几何性质

[例 2] (1)已知点 F1,F2 分别是椭圆 x +2y2=2 的左、右焦点,点 P 是该椭圆上的一 个动点,那么 A.0 C.2 B.1 D.2 2 的最小值是( )

x2 y2 (2)(2014· 江西高考)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴 a b 的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等 于________.

(2)由题意知 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= a2-b2,因为过 F2 且与 x 轴垂直的直线为 b2 b2 c, ?,B?c,- ?.因为 AB 平行于 y 轴, x=c,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为 A? a? ? a? ? b? 且|F1O|=|OF2|,所以|F1D|=|DB|,即 D 为线段 F1B 的中点,所以点 D 的坐标为? ?0,-2a?,
2 b2 ? b ? b2 -?-2a? - -0 a a 又 AD⊥F1B,所以 kAD· kF1B=-1,即 × =-1,整理得 3b2=2ac,所 c-0 c-(-c) 2

c 3 以 3(a2-c2)=2ac,又 e= ,0<e<1,所以 3e2+2e- 3=0,解得 e= (e=- 3舍去). a 3 答案:(1)C (2) 3 3

1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧

(1)注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中 x, y 的范围,离心率的范围等不等关系. (2)利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、 短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. 2.求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于 a,b,c 的等式或不等式, 利用 a2=b2+c2 消去 b,即可求得离心率或离心率的范围. x2 y2 x2 y2 已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)与双曲线 2- 2=1(m>0, n>0)有相同的焦点(-c, 0)和(c, a b m n 0),若 c 是 a、m 的等比中项,n2 是 2m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的离心率是( A. 3 3 B. 2 1 1 C. D. 2 4 2 )

c 解析:选 D 在双曲线中 m2+n2=c2,又 2n2=2m2+c2,解得 m= ,又 c2=am,故椭 2 c 1 圆的离心率 e= = . a 2 考点三 直线与椭圆的综合问题

直线与椭圆的综合问题是高考的一个热点问题,其中综合考查椭圆的定义、几何性质、 直线与椭圆的位置关系, 考查学生分析问题和解决问题的能力, 且主要有以下几个命题角度: 角度一:已知直线与椭圆位置关系求椭圆的方程 y2 [例 3] (2014· 安徽高考)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 b F1 的直线交椭圆 E 于 A , B 两点.若 |AF1| = 3|F1B| , AF2⊥x 轴 , 则椭圆 E 的方程为 ________________. [听前试做] 设点 A 在点 B 上方,F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= 1-b2,则可设 A(c, b2),B(x0,y0), 由|AF1|=3|F1B|,可得
?-2c=3(x0+c), ? 故? 2 即 ? ?-b =3y0,

?x =-3c, ? b ?y =- 3 ,
0 2 0

5

25(1-b2) b2 2 代入椭圆方程可得 + =1,得 b2= , 9 9 3 3y2 故椭圆方程为 x2+ =1. 2 3y2 答案:x2+ =1 2 角度二:已知直线与椭圆位置关系求椭圆的几何性质

1 x2 y2 [例 4] (2014· 江西高考)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)相 2 a b 交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________. (x1-x2)(x1+x2) [听前试做] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得 + a2 (y1-y2)(y1+y2) y1-y2 1 =0,根据题意有 x1+x2=2× 1=2,y1+y2=2× 1=2,且 =- , b2 2 x1-x2 2 2 ? 1? c 2 2 - =0,得 a2=2b2,所以 a2=2(a2-c2),整理得 a2=2c2 得 = ,所以 e= . 所以 2+ 2× a b ? 2? a 2 2 答案: 2 2

角度三:与弦长有关的问题 x2 y2 [例 5] (2014· 新课标全国卷Ⅰ) 已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率 a b 为 3 2 3 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 2 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点.当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 c 3 [听前试做] (1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3.又 = ,所以 a=2,b2=a2 c 3 a 2 -c2=1. x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4 x2 (2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将 y=kx-2 代入 4 +y2=1, 得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 x1,2= 8k± 2 4k2-3 . 4k2+1
2

4 k2+1· 4k2-3 从而|PQ|= k +1|x1-x2|= . 4k2+1 2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 2 , k +1 4 4k2-3 1 所以△ OPQ 的面积 S△ OPQ= d· |PQ|= . 2 4k2+1 4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△ OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,且满足 Δ>0. t 2 所以,当△ OPQ 的面积最大时,l 的方程为 y= 7 7 x-2 或 y=- x-2. 2 2

直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求椭圆方程或有关几何性质.可依据条件,寻找满足条件的关于 a,b,c 的等式,解 方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质. (2)关于弦长问题.一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解.特别对于中点弦或弦的 中点问题,一般利用点差法求解. 1.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点, 过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A, B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( ) x2 A. +y2=1 2 x2 y2 C. + =1 4 3 x2 y2 B. + =1 3 2 x2 y2 D. + =1 5 4

x2 y2 解析:选 C 由题意知椭圆焦点在 x 轴上,且 c=1,可设 C 的方程为 2 + 2 =1(a> a a -1 3? 1),由过 F2 且垂直于 x 轴的直线被 C 截得的弦长|AB|=3,知点? ?1,2?必在椭圆上,代入椭圆 1 x2 y2 方程化简得 4a4-17a2+4=0,所以 a2=4 或 a2= (舍去).故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 4 3 x2 y2 2.(2015· 济南模拟)设 F1,F2 分别是椭圆: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 作倾 a b 4 斜角为 45° 的直线 l 与该椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|= a. 3 (1)求该椭圆的离心率; (2)设点 M(0,-1)满足|MP|=|MQ|,求该椭圆的方程. 解:(1)直线 PQ 斜率为 1,设直线 l 的方程为 y=x+c, 其中 c= a2-b2, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

y=x+c, ? ? 2 2 则 P,Q 两点坐标满足方程组?x y ? ?a2 +b2=1, 化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0, -2a2c a2(c2-b2) 则 x1+x2= 2 2 ,x1x2= . a +b a2+b2 4 所以|PQ|= 2|x2-x1|= 2[(x1+x2)2-4x1x2]= a, 3 4 4ab2 化简得 a= 2 2,故 a2=2b2, 3 a +b

a2-b2 c 2 所以椭圆的离心率 e= = = . a a 2 x1+x2 -a2c 2 c (2)设 PQ 的中点为 N(x0,y0),由(1)知 x0= = 2 2=- c,y0=x0+c= . 2 3 3 a +b 由|MP|=|MQ|,得 kMN=-1,



y0+1 =-1,得 c=3, x0

从而 a=3 2,b=3. x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 18 9 [课堂归纳——通法领悟] ?1个规律——椭圆焦点位置与 x2,y2 系数之间的关系 x2 y2 给出椭圆方程 2+ 2=1 时, 椭圆的焦点在 x 轴上? a>b>0; 椭圆的焦点在 y 轴上? 0<a<b. a b ?2种方法——求椭圆标准方程的方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a2,b2 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根 据条件确定关于 a,b,c 的方程组,解出 a2,b2,从而写出椭圆的标准方程. ?3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距 离和最小距离,且最大距离为 a+c,最小距离为 a-c. (2)求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程,再结合 b2=a2-c2 就可求 得 e(0<e<1). (3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是: ①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴.

?对应学生用书P164

压轴大题巧突破(三) 与椭圆有关的综合问题求解 x y 3 [典例] (13 分)设椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 , 过点 F 且与 x 轴 a b 3 4 3 垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 (1) 求椭圆的方程; (2) 设 A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两
2 2

点.若

求 k 的值. [化整为零破难题]

(1)基础问题 1:如何得到 a 与 c 的关系? 利用椭圆的离心率. 基础问题 2:如何求过 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长? 直线 x=-c 与椭圆相交,两交点的纵坐标之差的绝对值就是线段的长. (2)基础问题 1:如何求 A,B 两点的坐标? A,B 分别为左右顶点即为(-a,0),(a,0). 基础问题 2:设 C(x1,y1),D(x2,y2),如何寻找 x1+x2,x1x2 呢? 将直线方程与椭圆方程联立,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程.利用根与系数关系即 可得到. 基础问题 3:如何表示 利用向量的坐标运算即可. [规范解答不失分] c 3 (1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= 3c, a 3 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c, (-c)2 y2 代入椭圆方程有 + 2=1, a2 b 6 解得 y=± b, 3




2 6b 4 3 于是 = ,解得 b= 2,则 b2=2.2 分 3 3 又因为 a2-c2=b2,从而 a2=3,c2=1, x2 y2 所以所求椭圆的方程为 + =1.…………………………………………4 分 3 2 (2) 设点C(x1,y1),D(x2,y2),


由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1), y=k(x+1), ? ? 2 2 由方程组?x y ? ? 3 + 2 =1, 消去 y 得 (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. ………………………………③6 分 6k2 根据根与系数的关系知 x1+x2=- , 2+3k2 3k2-6 x1x2= .……………………………………………………………………8 分 2+3k2 因为 A(- 3,0),B( 3,0), 所以

=(x1+ 3,y1)· ( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)· ( 3-x1,-y1)④ =6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 2k2+12 =6+ .11 分 2+3k2 2k2+12 由已知得 6+ =8,解得 k=± 2.…………………………………13 分 2+3k2 [易错警示要牢记] 易错点一 易错点二 易错点三 易错点四 ①处易用 a,b,c 三个量来表示 y,造成运算大而出现错误,原因是忽略 a,b, c 三者的关系 ②处易忽略设点,而后面直接用根与系数的关系,造成不严谨,出现错误 ③方程整理错误 ④处公式记忆不准,向量坐标运算错误

[全盘巩固] 一、选择题 1. “m>n>0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x y 1 1 解析:选 C 把椭圆方程化成 + =1.若 m>n>0,则 > >0,所以椭圆的焦点在 y 1 1 n m m n 1 1 轴上.反之,若椭圆的焦点在 y 轴上,则 > >0 即有 m>n>0.故为充要条件. n m x y 2.(2015?绍兴模拟)椭圆 + =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则 25 9 |ON|等于( )
2 2 2 2 2 2

)

3 A.2 B.4 C.8 D. 2 解析:选 B 如图,连接 MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10, ∴|MF2|=10-|MF1| 1 =8.由题意知|ON|= |MF2|=4.故选 B. 2

x 2 3.(2015?佛山模拟)设 F1,F2 分别是椭圆 +y =1 的左、右焦点,P 是第一象限内该椭 4 圆上的一点,且 PF1⊥PF2,则点 P 的横坐标为( A.1 8 B. C.2 3 3 2 6 D. 3
2

2

)

解析:选 D
2 2

x 2 2 2 由题意知,点 P 即为圆 x +y =3 与椭圆 +y =1 在第一象限的交点,解 4

x +y =3, ? ? 2 2 6 方程组?x 得点 P 的横坐标为 . 2 3 +y =1, ? ?4 x y 4.(2013?新课标全国卷Ⅱ)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P a b 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. 3 6 1 1 B. C. 3 2 D. 3 3 )
2 2

解析:选 D 在 Rt△PF2F1 中,令|PF2|=1,因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2,|F1F2|= 2c |F1F2| 3 3.所以 e= = = . 2a |PF1|+|PF2| 3 x y 3 5. (2014?全国高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点为 F1、 F2, 离心率为 , a b 3 过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( x y A. + =1 3 2 C. x y + =1 12 8
2 2 2 2 2 2

)

x 2 B. +y =1 3 x y D. + =1 12 4
2 2

2

解析:选 A 由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,又∵△AF1B 的周长 =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4 3,∴a= 3.又 e= x y 的方程为 + =1,故选 A. 3 2 二、填空题 6.若椭圆上存在点 P,使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2∶1,则此椭圆离心率的取值 范围是________. 解析:设 P 到两个焦点的距离分别为 2k,k,根据椭圆定义可知:3k=2a,又结合 椭圆的性质可知.椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c,即 k≤2c,∴2a≤6c,即
2 2

3 2 2 2 ,∴c=1.∴b =a -c =2,∴椭圆 3

1 1 e≥ .又∵0<e<1,∴ ≤e<1. 3 3

?1 ? 答案:? ,1? ?3 ?
x y 7.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6, 25 16 4),则|PM|+|PF1|的最大值为________. 解析:|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知点 M 在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1| 的最大值为 10+|MF2|=10+ (6-3) +4 =15. 答案:15 8. (2015· 乌鲁木齐诊断)如图,椭圆的中心在坐标原点 O,顶点分别是 A1,A2,B1,B2, 焦点分别为 F1,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若∠B1PA2 为钝角,则此椭圆的离心率的 取值范围为________.
2 2 2 2

x2 y2 解析: 设椭圆的方程为 2 + 2=1(a>b>0), ∠B1PA2 为钝角可转化为 B2A2―→, F2B1―→ a b c?2 c 所夹的角为钝角,则(a,-b)· (-c,-b)<0,得 b2<ac,即 a2-c2<ac,故? ?a? +a-1>0, 即 e2+e-1>0,e> ∴ 5-1 <e<1. 2 5-1 - 5-1 或 e< ,又 0<e<1, 2 2

答案:?

? 5-1 ? ? ? 2 ,1?
2 2

三、解答题 x y 9.(2014?安徽高考)设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 a b 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; 3 (2)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率. 5 解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2 的周长为 16, 所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.

(2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得 |AB| =|AF2| +|BF2| -2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B, 6 2 2 2 即(4k) =(2a-3k) +(2a-k) - (2a-3k)?(2a-k), 5 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而 a+k>0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2| =|F2A| +|AB| ,可得 F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形. 从而 c= 2 c 2 a,所以椭圆 E 的离心率 e= = . 2 a 2
2 2 2 2 2 2

x2 10.(2015· 西安质检)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有 4 相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点, 点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, y2 x2 解:(1)设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 其离心率为 a2-4 3 3 ,故 = ,解得 a=4. 2 a 2 ,求直线 AB 的方程.

y2 x2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 的方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 所以 x2 . A= 1+4k2 y2 x2 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k2)x2=16, 16 4 16 所以 x2 . B= 4+k2 又由 16 16 2 ,得 x2 = , B=4xA,即 4+k2 1+4k2 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB

解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),

由 的方程为 y=kx.

及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB

x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 4k2 2 所以 x2 . 2,yA= A= 1+4k 1+4k2 由 将 ,得 x2 B= y2 x2 2 2 xB,yB代入 + =1 16 4
2 2

16 16k2 2 . 2,yB= 1+4k 1+4k2

4+k2 中,得 =1, 1+4k2

即 4+k =1+4k ,解得 k=± 1. 故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. [冲击名校]

?1 ? 2 2 1.(2015?嘉兴模拟)已知椭圆 x +my =1 的离心率 e∈? ,1?,则实数 m 的取值范围是 ?2 ?
( )

? 3? A.?0, ? ? 4? ? 3? ?4 ? C.?0, ?∪? ,+∞? ? 4? ?3 ?
2

?4 ? B.? ,+∞? ?3 ? ?3 ? ? 4? D.? ,1?∪?1, ? ?4 ? ? 3?
2

解析:选 C 在椭圆 x +my =1 中, 1 1 2 2 2 2 2 当 0<m<1 时,a = ,b =1,c =a -b = -1, m m 1 -1 c m 2 ∴e = 2= =1-m, a 1 m
2

1 1 3 又 <e<1,∴ <1-m<1,解得 0<m< , 2 4 4 1 2 1 2 2 当 m>1 时,a =1,b = ,c =1- , m m 1 1- m c 1 2 e = 2= =1- , a 1 m
2

1 1 1 4 又 <e<1,∴ <1- <1,解得 m> , 2 4 m 3

? 3? ?4 ? 综上可知实数 m 的取值范围是?0, ?∪? ,+∞?. ? 4? ?3 ?
x y 1 2.(2015?济南调研)若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,右焦点为 F(c,0),方 a b 2 程 ax +2bx+c=0 的两个实数根分别是 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)到原点的距离为(
2 2 2

)

A. 2

B.

7 2

C.2

7 D. 4

c 1 b 3 2b 2 2 2 解析:选 A 因为 e= = ,所以 a=2c,又 a =b +c ,得 = .于是 x1+x2=- = a 2 a 2 a c 1 2 2 2 - 3, x1x2= = , 点 P(x1, x2)到原点(0, 0)的距离为 d= x1+x2= (x1+x2) -2x1x2= 2. a 2

第六节 双 曲 线 考纲下载 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解 决实际问题中的作用. 3.理解数形结合的思想.

?对应学生用书P165

一、必备知识 1.双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线: (1)在平面内; (2)与两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数; (3)常数小于|F1F2|. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 a,b,c 的关系

x≥a 或 x≤-a,y∈R 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a

y≤-a 或 y≥a,x∈R A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞) a c2=a2+b2

实 虚 轴

线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长

二、必记结论 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (3)双曲线为等轴双曲线? 双曲线的离心率 e= 2? 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关 系). x2 y2 x2 y2 (4)与双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程为 2 - 2=k(k≠0). a b a b b x2 y2 (5)以 y=± x 为渐近线的双曲线方程为 2- 2=k(k≠0). a a b 2b2 (6)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 . a (7)过双曲线焦点 F1 的弦 AB 与双曲线交在同支上, 则 AB 与另一个焦点 F2 构成的△ ABF2 的周长为 4a+2|AB|.

一、思考辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点 F1(0, 4), F2(0, -4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线. ( x y (3)方程 - =1(mn<0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( m n
2 2

)

)

(4)若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切.( ) 提示:(1)错误.平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线 的一支. (2)错误.平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是以 F1, F2 为顶点的射线. x2 y2 (3)错误.方程 - =1(mn<0)表示椭圆或圆或不表示任何图形. m n (4)错误.直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切或相交. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、牛刀小试 1.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 解析:选 C 由题意知,a=2,故实轴长为 2a=4. x2 y2 2.设双曲线 2 - =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的值为( a 9 A.4 B.3 C.2 D.1 )

3 2 3 9 ± ? ,解得 解析:选 C 渐近线方程可化为 y=± x,∵双曲线的焦点在 x 轴上,∴ 2=? 2 a ? 2? a=± 2.由题意知 a>0,∴a=2.

x2 y2 3.设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9, 16 20 则|PF2|等于( ) A.1 B.17 C.1 或 17 D.以上答案均不对 解析:选 B 由题意知|PF1|=9<a+c=10,所以 P 点在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1| =2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17. x2 4.(2014· 四川高考)双曲线 -y2=1 的离心率等于________. 4 c 5 解析:由双曲线的方程易得 a=2,b=1,c= 5,故离心率 e= = . a 2 答案: 5 2

5.已知 F1(0,-5),F2(0,5),一曲线上任意一点 M 满足|MF1|-|MF2|=8,若该曲线的 一条渐近线的斜率为 k,该曲线的离心率为 e,则|k|· e=________. 解析:根据双曲线的定义可知,该曲线为焦点在 y 轴上的双曲线的上支,∵c=5,a=4, c 5 4 4 5 5 ∴b=3,e= = ,|k|= .∴|k|· e= × = . a 4 3 3 4 3 5 答案: 3

?对应学生用书P166 考点一 双曲线的定义和标准方程 [例 1] (1)(2015· 西安模拟)已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( ) 1 A. 4 3 B. 5 3 C. 4 4 D. 5

x2 y2 x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心 a b 16 9 率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. [听前试做] (1)∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2 2, ∴|PF1|=2|PF2|=4 2, 则 cos∠F1PF2= = |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|· |PF2|

(4 2)2+(2 2)2-42 3 = .选 C. 4 2× 4 2× 2 2

x2 y2 7 x2 (2)椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(- 7,0),F2( 7,0),离心率为 e= .由于双曲线 2 16 9 4 a a2+b2 y2 x2 y2 7 - 2=1 与椭圆 + =1 有相同的焦点, 因此 a2+b2=7, 又双曲线的离心率 e= = , b 16 9 a a 所以 7 2 7 x2 y2 = ,从而 a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为 - =1. a 4 4 3

答案:(1)C [ 探究 1] 少?

x2 y2 (2) - =1 4 3

本例 (1)中将条件 “|PF1|= 2|PF2|” 改为 “∠F1PF2 = 60°”,则 △ F1PF2 的面积是多

解:不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 2,在△ F1PF2 中,由余弦定 理,得 cos∠F1PF2= |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 1 = , 2|PF1|· |PF2| 2

所以|PF1|· |PF2|=8, 1 所以 S△ F1PF2= |PF1|· |PF2|sin 60° =2 3. 2 [探究 2] 本例(1)中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为 多少? 解:不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 2, 则△ F1PF2 的面积是

所以在△ F1PF2 中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=16, 所以|PF1|· |PF2|=4, 1 所以 S△ F1PF2= |PF1|· |PF2|=2. 2

应用双曲线的定义需注意的问题 (1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的 距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉, 点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用. (2)求双曲线方程时一是注意标准形式判断;二是注意 a、b、c 的关系易错易混. x2 y2 (2013· 辽宁高考)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的 9 16 长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△ PQF 的周长为________. x2 y2 解析:由 - =1,得 a=3,b=4,c=5,所以|PQ|=4b=16>2a,又因为 A(5,0)在线 9 16 段 PQ 上,所以 P,Q 在双曲线的一支上,且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义
? ?|PF|-|PA|=2a=6, ? 知: 所以|PF|+|QF|=28.即△ PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. ?|QF|-|QA|=2a=6. ?

答案:44 考点二 双曲线的几何性质

双曲线的几何性质及应用是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难 度不大,多为容易题或中档题,且主要有以下几个命题角度:

角度一:求双曲线的离心率(或范围) [例 2] x2 (2013· 浙江高考)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点, 4

A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 ( )

A. 2

3 6 B. 3 C. D. 2 2

[听前试做] 设双曲线 C2 的实半轴长为 a,焦半距为 c,|AF1|=m,|AF2|=n,
?m+n=4, ? 由题意知 c= 3,? 2 2 2 ? ?m +n =(2c) =12,

2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4, (m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=|m-n|=2 2,a= 2, c 3 6 则双曲线 C2 的离心率 e= = = . a 2 2 答案:D 角度二:求双曲线的渐近线方程 [例 3] (2014· 山东高考) 已知双曲线 x2 y2 - =1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛 a2 b2

物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲 线的渐近线方程为___________________________________________________. [ 听前试做 ] p 抛物线 x2 = 2py 的准线方程为 y =- , 与双曲线的方程联立得 x2 = 2 ①

p2 p2 1+ 2?.根据已知得 a2?1+ 2?=c2, a2? ? 4b ? ? 4b ? p2 由|AF|=c,得 +a2=c2. ② 4

由①②可得 a2=b2,即 a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是 y=± x. 答案:y=± x 角度三:求双曲线方程 [例 4] (2014· 北京高考)设双曲线 C 的两个焦点为(- 2,0),( 2,0),一个顶点是(1, 0),则 C 的方程为________. [听前试做] 根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,所以 a=1, c= 2,于是 b2=c2-a2=1,所以双曲线 C 的方程为 x2-y2=1. 答案:x2-y2=1 角度四:求双曲线的焦点(距)、实虚轴长 [例 5] =1 的( x y x y (2014?广东高考)若实数 k 满足 0<k<9, 则曲线 - =1 与曲线 - 25 9-k 25-k 9 )
2 2 2 2

A.离心率相等 C.实半轴长相等 [听前试做]

B.虚半轴长相等 D.焦距相等

由 0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上,由 25+9-k=

25-k+9,得两双曲线的焦距相等. 答案:D

与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件,将问题转化为关于 a,c 的等式(或不等 式),解方程(或不等式)即可求得. (2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件,求双曲线中 a,b 的值或 a 与 b 的比值,进 而得出双曲线的渐近线方程. (3)求双曲线方程.依据题设条件,求出 a,b 的值或依据双曲线的定义,求双曲线的方 程. (4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长.依题设条件及 a,b,c 之间的关系求解. 3 1.(2013· 广东高考)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 2 的方程是( ) 2 2 x y x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 4 5 5 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 2 5 2 5 c 3 解析:选 B 依题意 c=3,又∵e= = ,∴a=2,∴b2= c2-a2=32-22=5,∴C 的方 a 2 x2 y2 程为 - =1. 4 5 x2 y2 5 2.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的 a b 2 渐近线方程为 ( ) 1 1 A.y=± x B.y=± x 4 3 1 C.y=± x D.y=± x 2 解析:选 C 5 c = = 2 a b?2 b 1 1 1+? x. ? a? ,所以a=2,故所求的双曲线渐近线方程是 y=± 2

x2 y2 3.(2013· 湖南高考)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一 a b 点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△ PF1F2 的最小内角为 30° ,则 C 的离心率为________. 解析:不妨设点 P 在双曲线 C 的右支上且 F1,F2 分别为左、右焦点,由双曲线定义知 |PF1|-|PF2|=2a,① 又|PF1|+|PF2|=6a,②

由①②,得|PF1|=4a,|PF2|=2a. 因为 c>a,所以 2c>2a, 所以在△ PF1F2 中,∠PF1F2 为最小内角,因此∠PF1F2=30° . 在△ PF1F2 中,由余弦定理可知, |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|· |F1F2|· cos 30° , 即 4a2=16a2+4c2-8 3ac.所以 c2-2 3ac+3a2=0, 两边同除以 a2 得 e2-2 3e+3=0.解得 e= 3. 答案: 3 考点三 直线与双曲线的位置关系

x2 [例 6] (2015· 铜陵模拟)若双曲线 E: 2 -y2=1(a>0)的离心率等于 2,直线 y=kx-1 a 与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若|AB|=6 3,点 C 是双曲线上一点,且 c ? ?a2=1, ?a= 2, ? [听前试做] (1)由? 得? 2 ?c =2, 2 2 ? ?a =c -1 ? 故双曲线 E 的方程为 x2-y2=1.
? ?y=kx-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 2 ?x -y =1, ?

求 k,m 的值.

得(1-k2)x2+2kx-2=0.① ∵直线与双曲线右支交于 A,B 两点,
?k>1, ? 故? 2 2 ? (-2)>0, ?Δ=(2k) -4(1-k )×

?k>1, 即? 所以 1<k< 2. ?- 2<k< 2,
2k 2 (2)由①得 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k -1 k -1 ∴|AB|= 1+k · (x1+x2) -4x1x2=2 整理得 28k4-55k2+25=0, 5 5 5 ∴k2= 或 k2= .又 1<k< 2,∴k= , 7 4 2 所以 x1+x2=4 5,y1+y2=k(x1+x2)-2=8. 设 C(x3,y3),由 得
2 2

(1+k2)(2-k2) =6 3, (k2-1)2

(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4 5m,8m). ∵点 C 是双曲线上一点,

1 ∴80m2-64m2=1,得 m=± . 4 故 k= 5 1 ,m=± . 2 4

求解双曲线综合问题的主要方法 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系.解决这类问题的常用方法是设出直 线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程联立成方程组,消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程, 利用根与系数的关系及整体代入的思想解题. 设直线与双曲线交于 A(x1, y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为 k,则|AB|= 1+k2|x1-x2|.

已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N(-12,-15),求 E 的方程. x2 y2 解:设双曲线的标准方程为 2 - 2=1(a>0,b>0), a b 由题意知 c=3,a2+b2=9,

?a -b =1, 设 A(x ,y ),B(x ,y ),则有? x y ?a -b =1,
2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 1

y2 1

y1-y2 b2(x1+x2) -12b2 4b2 两式作差得 = = = 2, x1-x2 a2(y1+y2) -15a2 5a -15-0 又 AB 的斜率是 =1, -12-3 所以将 4b2=5a2 代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5. x2 y2 所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5 [课堂归纳——通法领悟] ?2种方法——求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应的 a,b 的值即可求得方程. (2)待定系数法

? 3个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质可从以下三点关注: (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点; (2)“四线”:两对称轴(实、虚轴)、两渐近线;

(3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形;双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦 点构成的三角形. ?3个防范——双曲线问题的三个易混点 (1)区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中 a,b,c 大小关系,在双曲线中 c2=a2 +b2,而在椭圆中 a2=b2+c2. (2)双曲线的离心率 e∈(1,+∞),而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 (3)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2 - 2=1(a>0,b>0)的渐近线方 a b a a b a 程是 y=± x. b

[全盘巩固] 一、选择题 x y 1.(2015?江南十校模拟)已知双曲线 - =1 上一点 M 到 A(5,0)的距离为 3,则 M 9 16 到左焦点的距离等于( )
2 2

A.6 B.7 C.8 D.9 解析:选 D x y - =1 的焦点为 A(5,0),F(-5,0),故由双曲线的定义得,|MF|- 9 16
2 2

|MA|=6,从而|MF|=9,故选 D. 2.(2013?福建高考)双曲线 x -y =1 的顶点到其渐近线的距离等于( A. 1 2 B. 2 2 C.1 D. 2
2 2 2 2

)

解析:选 B 双曲线 x -y =1 的顶点为(-1,0),(1,0),渐近线方程为 x+y=0 和 x -y=0,由对称性不妨求点(1,0)到直线 x-y=0 的距离,其距离为
2 2

1 2



2 . 2 )

x y 3.(2013?北京高考)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( a b A.y=±2x 1 C.y=± x 2 B.y=± 2x D.y=± 2 x 2

c 解析:选 B 在双曲线中离心率 e= = a 线的渐近线方程是 y=± 2x.

2 b ?b? 1+? ? = 3,可得 = 2,故所求的双曲 a ?a?

x y 4. 已知双曲线 C:2- 2=1 的焦距为 10, 点 P(2, 1)在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为( a b

2

2

)

A. C.

x y - =1 20 5
2 2

2

2

x y B. - =1 5 20
2 2

2

2

x y x y - =1 D. - =1 80 20 20 80

解析:选 A 因为双曲线的焦距为 10,所以 c=5.又因为 P(2,1)在渐近线上,且此渐近 b 2b 2 2 2 2 2 2 线方程为 y= x,所以 1= ,即 a=2b.又因为 c =a +b =5b =25,所以 b =5,a =20. a a x y 即双曲线方程为 - =1. 20 5 x y 5.已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( a b A.(1, 5) C.( 5,+∞) 解析:选 C B.(1, 5] D.[ 5,+∞)
2 2 2 2

)

b b c ∵ 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y = x , 则 由 题 意 得 >2. ∴ e = = a a a

2 ?b? 1+? ? > 1+4= 5. ?a? x y 6.已知△ABP 的顶点 A,B 分别为双曲线 - =1 的左、右焦点,顶点 P 在双曲线上, 16 9 则 |sin A-sin B| 的值等于( sin P A. 4 7 B. 5 4 5 C. 4 D. 7 )
2 2

|sin A-sin B| ||PB|-|PA|| 2a 8 4 解析:选 A 在△ABP 中,由正弦定理知 = = = = . sin P |AB| 2c 10 5 x y 7.设 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在点 A, a b 使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为( A. 5 2 B. 10 2 5 C. 3 D. 10 3 )
2 2

解析:选 B 由题可知点 A 在双曲线的右支上,则|AF1|-|AF2|=2|AF2|=2a,则|AF2| c 10 2 2 2 =a,得|AF1|=3a,由∠F1AF2=90°,得(3a) +a =(2c) ,则 e= = . a 2 x y 8.(2014?全国高考)双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距 a b 离为 3,则 C 的焦距等于( A.2 B.2 2 )
2 2

C.4 D.4 2

b 解析:选 C 双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 bx±ay=0. a

|b?(±c)±a?0| 焦点为 F(±c,0),故焦点到渐近线的距离 d= = 3,解得 b= 3. 2 2 b +a c 2 2 2 2 而离心率 e= ,故 c=2a,又 b= c -a = (2a) -a = 3a,所以 a=1.故 c=2a=2, a 所以双曲线的焦距为 2c=4,选 C. 二、填空题 9.双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=________. 解析:虚半轴长为 1 答案:- 4 10.已知双曲线的渐近线方程为 2x±3y=0,则该双曲线的离心率为________. b 2 c -a 4 13 13 2 解析:当焦点在 x 轴上时, = ,即 2 = ,所以 e = ,解得 e= ;当焦点在 y a 3 a 9 9 3 b 3 c -a 9 13 13 13 13 2 轴上时, = ,即 2 = ,所以 e = ,解得 e= ,即双曲线的离心率为 或 . a 2 a 4 4 2 2 3 答案: 13 13 或 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2

1 - ,∴ m

1 1 - =2,∴m=- . m 4

x y a 11.(2015?苏州模拟)过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点垂直于 x 轴的弦长为 ,则双曲线 a b 2 x y 2- 2=1 的离心率为________. a b 2b a 2 2 2 2 2 2 解析:由题意知 = ,即 a =4b .设双曲线的焦距为 2c′,则 c′ =a +b =5b ,所 a 2 c′ 5b 5 以其离心率 e= = = . a 2b 2 答案: 5 2
2 2 2 2 2

x y 2 2 12.(2015?浙江调研)若点 P 在曲线 C1: - =1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5) +y =1 16 9 上,点 R 在曲线 C3:(x+5) +y =1 上,则|PQ|-|PR|的最大值是________. 解析:依题意得,点 F1(-5,0),F2(5,0)分别为双曲线 C1 的左、右焦点,因此有|PQ| -|PR|≤|(|PF2|+1)-(|PF1|-1)|≤||PF2|-|PF1||+2=2?4+2=10,故|PQ|-|PR|的最 大值是 10. 答案:10 三、解答题 x2 y2 13.设 A,B 分别为双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 3, a b 焦点到渐近线的距离为 3.
2 2

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 使 3 x-2 与双曲线的右支交于 M、 N 两点, 且在双曲线的右支上存在点 D, 3 求 t 的值及点 D 的坐标. 解:(1)由题意知 a=2 3, b ∴一条渐近线为 y= x,即 bx-2 3y=0, 2 3 ∴ |bc| = 3. b2+12 x2 y2 - =1. 12 3

∴b2=3,∴双曲线的方程为

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0, 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12. 4 3 = , ?x y 3 ?x =4 3, ∴? ∴? x y ?y =3. ?12- 3 =1,
0 0 0 2 0 2 0 0



得(16 3,12)=(4 3t,3t),

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3).

[冲击名校] x y 1.(2014?江西高考)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近 a b 线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双 曲线 C 的方程为( x y A. - =1 4 12 x y C. - =1 8 8
2 2 2 2 2 2

) x y B. - =1 7 9 x y D. - =1 12 4
2 2 2 2 2 2

解析:选 A 设双曲线的右焦点为 F,则 F(c,0)(其中 c= a +b ),且 c=|OF|=r=4, b 不妨将直线 x=a 代入双曲线的一条渐近线方程 y= x,得 y=b,则 A(a,b).由|FA|=r=4, a 得 (a-4) +b =4,即 a -8a+16+b =16,所以 c -8a=0,所以 8a=c =4 ,解得 a= x y 2 2 2 2,所以 b =c -a =16-4=12,所以所求双曲线的方程为 - =1. 4 12 x y 2.(2015?镇江模拟)设双曲线 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的 a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线离心率的最大值为________. 10a 解析: 根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a, 又|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|+|PF2|= 3 c 5 5 ≥2c,所以 e= ≤ ,emax= . a 3 3 5 答案: 3 第七节 抛 物 线 考纲下载 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率 等). 2.了解圆锥曲线的简单应用.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解 决实际问题中的作用. 3.理解数形结合思想.

?对应学生用书P169

一、必备知识 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内; (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等; (3)定点不在定直线上. 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 p ? F? ?2,0? y=0 p ? F? ?-2,0?

O(0,0) x=0 p? F? ?0,2? e=1 p? F? ?0,-2?

准线 方程 范围 开口 方向 焦半径 (其中 P(x0,y0))

p x=- 2 x≥0,y∈R 向右 |PF|= p x0+ 2

p x= 2 x≤0,y∈R 向左 |PF|= p -x0+ 2

y=-

p 2

y=

p 2

y≥0,x∈R 向上 |PF|= y0+ p 2

y≤0,x∈R 向下 |PF|= -y0+ p 2

二、必记结论 1.抛物线的焦半径 抛物线上的点 P(x0,y0)与焦点 F 的距离称为焦半径,记作 r=|PF|. p (1)y2=2px(p>0),r=x0+ ; 2 p (2)y2=-2px(p>0),r=-x0+ ; 2 p (3)x2=2py(p>0),r=y0+ ; 2 p (4)x2=-2py(p>0),r=-y0+ . 2 2.与焦点弦有关的结论

已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,且 A(x1,y1),B(x2,y2),点 F 是抛物线的焦 点(如图),则有: p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= . 4 (2)|AB|=x1+x2+p. 1 1 2 (3) + 为定值 . |AF| |BF| p (4)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切. (6)∠CFD=90° . 3.过抛物线的顶点 O 任意作两条互相垂直的弦 OA,OB,则直线 AB 恒过定点(2p,0).

一、思考辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( (2)抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )

)

a ? (4)方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是? ?4, 0?,准 a 线方程是 x=- .( 4 )

提示:(1)错误.当定点不在定直线上时才表示抛物线. (2)错误.抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 2 而非 4. (3)错误.抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形. 1? (4)错误. 方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 y 轴上的抛物线, 且其焦点坐标是? ?0,4a?, 1 准线方程是 y=- . 4a 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、牛刀小试 1 1.(2014· 安徽高考)抛物线 y= x2 的准线方程是( 4 A.y=-1 C.x=-1 B.y=-2 D.x=-2 )

1 解析:选 A 抛物线 y= x2 的标准方程为 x2=4y,所以其准线方程为 y=-1. 4 2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( ) 2 2 A.y =-8x B.y =-4x C.y2=8x D.y2=4x 解析:选 C 由抛物线准线方程为 x=-2 知 p=4,且开口向右,故抛物线方程为 y2= 8x. 3.(2013· 四川高考)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是( A.2 3 B.2 C. 3 D.1 )

2-0 解析:选 D 抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0)到直线 x- 3y=0 的距离是 d= =1,选 2 D. 4.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( ) A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5 p 解析:选 B 依题意,设抛物线方程是 y2=2px(p>0),则有 2+ =3,得 p=2,故抛物 2 线方程是 y2=4x,点 M 的坐标是(2,± 2 2),|OM|= 22+8=2 3. 5. 若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0, 3)的距离小 2, 则点 P 的轨迹方程是________. 解析:由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,故点 P 的轨迹是 以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标准方程为 x2=12y. 答案:x2=12y

?对应学生用书P170 考点一 5 一点,|AF|= x0,则 x0=( 4 抛物线定义及其应用 [例 1] (1)(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上 )

A.1 B.2 C.4 D.8 2 (2)(2015· 辽宁五校联考)设抛物线 x =12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线 相交于 A,B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. (3)设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,若 B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________. 1 5 [听前试做] (1)由题意知抛物线的准线为 x=- .因为|AF|= x0, 根据抛物线的定义可得 4 4 1 5 x0+ =|AF|= x0,解得 x0=1,故选 A. 4 4 (2)分别过点 A,B,P 作准线的垂线,垂足分别为 M,N,Q,根据抛物线上的点到焦点 的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.

(3)如图,过点 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于点 P1,则|P1Q|=|P1F|. 则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4. 即|PB|+|PF|的最小值为 4. 答案:(1)A (2)8 (3)4 [探究 1] 若将本例(3)中的 B 点坐标改为(3,4),试求|PB|+|PF|的最小值. 解:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|+|PF|的最小值即为 B,F 两点间的距 离, ∴|PB|+|PF|≥|BF|= 42+22= 16+4=2 5.即|PB|+|PF|的最小值为 2 5. [探究 2] 若将本例(3)改为:已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+5=0, 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,求 d1+d2 的最小值. 解:由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0). 点 P 到 y 轴的距离 d1=|PF|-1,所以 d1+d2=d2+|PF|-1. |1+5| 易知 d2+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d2+|PF|的最小值为 2 = 1 +(-1)2 3 2,所以 d1+d2 的最小值为 3 2-1.

抛物线定义中的“转化”法 利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距 离的等价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题 的有效途径. p ? p 1.(2015· 天津模拟)已知动圆过定点 F? ?2,0?,且与直线 x=-2相切,其中 p>0,则动圆

圆心的轨迹 E 的方程为____________. p ? p 解析:依题意得,圆心到定点 F? ?2,0?的距离与到直线 x=-2的距离相等,再依抛物线 的定义知,动圆圆心的轨迹 E 为抛物线,其方程为 y2=2px. 答案:y2=2px 2.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,若|AF|=3,则|BF|= ________. 解析:因为抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0). 显然,当 AB 垂直于 x 轴时,|AF|≠3, 所以 AB 的斜率 k 存在, 设 AB 的方程为 y=k(x-1),与抛物线 y2=4x 联立, 消去 y 得 k2x2-2k2x-4x+k2=0, 即 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由根与系数的关系得 2k2+4 4 x1+x2= 2 =2+ 2. k k p 又|AF|=3=x1+ =x1+1,所以 x1=2, 2 代入 k2x2-2k2x-4x+k2=0,得 k2=8, 5 1 所以 x1+x2= ,x2= , 2 2 1 3 故|BF|=x2+1= +1= . 2 2 3 答案: 2 考点二 抛物线的标准方程及其性质

[例 2] (1)(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点为 F, 点 M 在 C 上, |MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ) 2 2 2 2 A.y =4x 或 y =8x B.y =2x 或 y =8x 2 2 C.y =4x 或 y =16x D.y2=2x 或 y2=16x (2)(2014· 湖南高考) 如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b), 原点 b O 为 AD 的中点,抛物线 y2=2px(p>0)经过 C,F 两点,则 =________. a

由|MF|=5,得

?8-p? +16=5.又 p>0,解得 p=2 或 p=8,故选 C. ?p 2?

2

(2)由正方形的定义可知 BC=CD,结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点,所以|AD| p ? ?p 2 ? ?p ? 2 =p=a,D? ?2,0?,F?2+b,b?,将点 F 的坐标代入抛物线的方程得 b =2p?2+b?=a +2ab, b?2 2b b b b 变形得? - - 1 = 0 , 解得 = 1 + 2 或 = 1 - 2( 舍去 ) , 所以 =1+ 2. a ? ? a a a a 答案:(1)C (2)1+ 2

1.求抛物线的标准方程的方法及流程 (1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有 p,所以只需一个条件 确定 p 值即可. (2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量. 2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧 (1)关键:利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化成 标准方程. (2)技巧:要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解. (2015· 郑州模拟)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B, 交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2= 3x

解析:选 C 如图,分别过 A、B 作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1,由抛物线的定义知: |AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,

∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30° , ∴∠AFx=60° ,连接 A1F,则△ AA1F 为等边三角形,过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1,则 F1 为 1 1 3 AA1 的中点,设 l 交 x 轴于 K,则|KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= , 2 2 2 ∴抛物线方程为 y2=3x,故选 C. 考点三 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系是高考命题的热点,多以解答题的形式出现,有时也会以选择 题、填空题的形式出现,则主要有以下几个命题角度: 角度一:与弦长有关的问题 [例 3] (2014?新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( A. 3 3 4 9 3 B. 8 63 9 C. D. 32 4 )
2

3 3 ?3 ? [听前试做] 易知抛物线中 p= ,焦点 F? ,0?,直线 AB 的斜率 k= ,故直线 AB 的 2 3 ?4 ? 方程为 y= 3? 3? 21 9 ?x-4?,代入抛物线方程 y2=3x,整理得 x2- 2 x+16=0.设 A(x1,y1),B(x2, 3? ?

21 21 3 y2),则 x1+x2= .由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p= + =12,结合图象可得 O 2 2 2 p 3 1 9 到直线 AB 的距离 d= ·sin 30°= ,所以△OAB 的面积 S= |AB|·d= . 2 8 2 4 答案:D 角度二:已知抛物线方程及其他条件,求直线方程 [例 4] (2013· 新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( ) A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= 3 3 (x-1)或 y=- (x-1) 3 3 2 2 (x-1)或 y=- (x-1) 2 2

C.y= 3(x-1)或 y=- 3(x-1) D.y=

[听前试做] 法一:如图所示,作出抛物线的准线 l1 及点 A,B 到准线的垂线段 AA1, BB1,并设直线 l 交准线于点 M.设|BF|=m,由抛物线的定义可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m. |BB1| |MB| m |MB| 由 BB1∥AA1 可知 = ,即 = ,所以|MB|=2m,则|MA|=6m.故∠AMA1 |AA1| |MA| 3m |MB|+4m

=30° ,得∠AFx=∠MAA1=60° ,结合选项知选 C 项.

法二: 由|AF|=3|BF|可知

? ?1-xA=3(x0-1), 易知 F(1, 0), 设 B(x0, y0), 则? ?-yA=3y0, ?

从 而 可 解 得 A 的 坐 标 为 (4 - 3x0 , - 3y0) . 因 为 点 A , B 都 在 抛 物 线 上 , 所 以
?y2 ? 0=4x0, y0-0 1 2 ? 解得 x0= ,y0=± ,所以 kl= =± 3. 2 3 x0-1 3 ? ?(-3y0) =4(4-3x0),

答案:C 角度三:定值问题 [例 5] (2014· 福建高考)已知曲线 Γ 上的点到点 F(0, 1) 的距离比它到直线 y=-3 的距 离小 2. (1)求曲线 Γ 的方程; (2)曲线 Γ 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A.直线 y=3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M, N.以 MN 为直径作圆 C,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B.试探究:当点 P 在曲线 Γ 上 运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论. [听前试做] (1)法一:设 S(x,y)为曲线 Γ 上任意一点, 依题意,点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y=-1 的距离相等, 所以曲线 Γ 是以点 F(0,1)为焦点、直线 y=-1 为准线的抛物线, 所以曲线 Γ 的方程为 x2=4y. 法二:设 S(x,y)为曲线 Γ 上任意一点, 则|y-(-3)|- (x-0)2+(y-1)2=2, 依题意,点 S(x,y)只能在直线 y=-3 的上方,所以 y>-3, 所以 (x-0)2+(y-1)2=y+1, 化简得,曲线 Γ 的方程为 x2=4y. (2)当点 P 在曲线 Γ 上运动时,线段 AB 的长度不变.证明如下:

1 由(1)知抛物线 Γ 的方程为 y= x2, 4 设 P(x0,y0)(x0≠0), 1 则 y0= x2 , 4 0

1 1 由 y′= x,得切线 l 的斜率 k=y′|x=x0= x0, 2 2 1 所以切线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 1 1 即 y= x0x- x2 . 2 4 0 1 1 ? ?y=2x0x-4x2 0, 1 ? 由? 得 A? ?2x0,0?. ?y=0 ? 1 1 ? ?y=2x0x-4x2 0, 1 6 ? 由? 得 M? ?2x0+x0,3?. ? ?y=3 1 3 x0+ ,3?, 又 N(0,3),所以圆心 C? x ?4 ?
0

1 3? 1 半径 r= |MN|=? ?4x0+x0?, 2 |AB|= |AC|2-r2 =

?1x0-?1x0+ 3 ?? +32-?1x0+ 3 ? = 6. x0?? ?4 x0? ?4 ?2

2

2

所以点 P 在曲线 Γ 上运动时,线段 AB 的长度不变.

直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略 (1)求线段长度和线段之积(和)的最值.可依据直线与抛物线相交,依据弦长公式,求出 弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或利用函数的知识,求函数的最值;也 可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离. (2)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件,若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻 找关于该量的方程,解方程即可. (3)求定值.可借助于已知条件,将直线与抛物线联立,寻找待定式子的表达式,化简即 可得到. 1.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点的坐标为(2,2),则直线 l 的方程为________. 解析:由于抛物线的焦点坐标为(1,0),所以抛物线的方程为 y2=4x.显然当直线的斜率 不存在或为零时不满足题意,故设直线 l 的方程为 y-2=k(x-2),其中 k≠0,联立方程得
? ?y=kx+2-2k, 4k2-4k+4 ? 2 消去 y 得 k2x2+[4k(1-k)-4]x+4(1-k)2=0,显然 =2,解得 k 2k2 ?y =4x, ?

=1.故直线 l 的方程为 y=x. 答案:y=x 2.设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点. (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小; (2)求证: 是一个定值.

解:(1)∵F(1,0),∴直线 l 的方程为 y=x-1,
?y=x-1, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 得 x2-6x+1=0, ? y = 4x , ?

∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 = 2· (x1+x2)2-4x1x2= 2· 36-4=8. (2)证明:设直线 l 的方程为 x=ky+1,
? ?x=ky+1, 由? 2 得 y2-4ky-4=0. ?y =4x, ?

[课堂归纳——通法领悟] 3 ? 个注意点——抛物线问题的三个注意点 (1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 的值,但首先要判断抛物线是否为 标准方程,若是标准方程,则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程. (2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题. (3)直线与抛物线有一个交点, 并不表明直线与抛物线相切, 因为当直线与对称轴平行(或 重合)时,直线与抛物线也只有一个交点.

[全盘巩固] 一、选择题 1.抛物线 y=ax (a≠0)的准线方程是 y=2,则 a 的值为( A. 1 8 1 B.- 8 C.8 D.-8
2

)

1 1 1 1 2 2 解析:选 B 由 y=ax (a≠0)得 x = y,其准线方程为 y=- ,则- =2 得 a=- , a 4a 4a 8 故选 B. 2.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的值为( A. 1 B.1 C.2 D.4 2
2 2 2

)

p 解析:选 C 由题意知抛物线的准线方程为 x=- ,圆心为(3,0)、半径为 4,由准线 2 p 与圆相切得圆心到准线的距离 d=3+ =4,解得 p=2. 2

y x 3.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 - =1 的一个焦点重合,则该抛物线的 5 4 标准方程可能是( A.x =4y
2 2

2

2

) B.x =-4y
2 2

C.y =-12x D.x =-12y 解析:选 D 由题意得 c= 5+4=3,∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3),∴该 抛物线的标准方程为 x =12y 或 x =-12y. 4. (2015?西安模拟)已知抛物线 y =4x 的焦点为 F, 过 F 的直线与该抛物线相交于 A(x1, y1)、B(x2,y2)两点,则 y1+y2的最小值是( A.4 B.8 C.12 D.16 解析:选 B 抛物线的准线方程为 x=-1,∴|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,∴y1+y2=4x1 +4x2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8.∵|AB|的最小值为 4(当 AB⊥x 轴时取得),∴y1+y2的 最小值为 8. 5.(2014?辽宁高考)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线 与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. 1 2 B. 2 3 3 C. 4 4 D. 3 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

p 2 2 解析:选 D ∵A(-2,3)在抛物线 y =2px 的准线上,∴- =-2,∴p=4,∴y =8x, 2
? ?x=k(y-3)-2, 2 2 设直线 AB 的方程为 x=k(y-3)-2 ①,将①与 y =8x 联立,即? 2 得y ?y =8x ?

-8ky+24k+16=0 ②,则Δ=(-8k) -4(24k+16)=0,即 2k -3k-2=0,解得 k=2 或
?x=8, ? 1 8-0 4 k=- (舍去),将 k=2 代入①②解得? 即 B(8,8).又 F(2,0),∴kBF= = ,故 2 8-2 3 ? ?y=8,

2

2

选 D. 二、填空题 6.(2015·郑州模拟)设斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y =ax(a>0)的焦点 F,且和 y 轴交 于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 8,则 a 的值为________. a? a 1 a ?a ? ? 解析:依题意,有 F? ,0?,直线 l 为 y=x- ,所以 A?0,- ?,△OAF 的面积为 ? ? 4? 4 2 4 ?4 ? ? a =8.解得 a=±16,依题意,只能取 a=16. 4 答案:16
2

7.已知动圆圆心在抛物线 y =4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切,则此动圆必过定点 ________. 解析:因为动圆的圆心在抛物线 y =4x 上,且 x=-1 是抛物线 y =4x 的准线,所以由 抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,0). 答案:(1,0) 8.(2015?济南模拟)已知抛物线 y =4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为 C、D,则|AC|+|BD|的最小值为________. 解析:由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得 最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4 时,为 最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2. 答案:2 三、解答题 9.(2015?厦门模拟)如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1, 2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.
2 2 2

2

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y =2px(p>0). ∵点 P(1,2)在抛物线上,∴2 =2p?1,解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y =4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则 y1-2 y2-2 kPA= (x1≠1),kPB= (x2≠1), x1-1 x2-1 ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y1=4x1,① y2=4x2,②
2 2 2 2 2



y1-2 y2-2 =- ,∴y1+2=-(y2+2). 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4

∴y1+y2=-4. 由①-②得,y1-y2=4(x1-x2), y1-y2 4 ∴kAB= = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2 10.(2013?广东高考)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x 3 -y-2=0 的距离为 中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值. |0-c-2| 3 2 2 解:(1)依题意,设抛物线 C 的方程为 x =4cy,则 = , 2 2 结合 c>0,解得 c=1.所以抛物线 C 的方程为 x =4y. 1 2 1 2 (2)抛物线 C 的方程为 x =4y,即 y= x ,求导得 y′= x. 4 2 x1 x2 1 1 设 A(x1,y1),B(x2,y2)(其中 y1= ,y2= ),则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2. 4 4 2 2 x1 x1 x1 所以切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1),即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0. 2 2 2 同理,可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0), 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0. 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y0-2y=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|?|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.
? ?x0x-2y-2y0=0, 2 2 2 联立方程? 2 消去 x 整理得 y +(2y0-x0)y+y0=0, ?x =4y, ?
2 2 2 2 2 2

2 2

.设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其

由根与系数的关系可得 y1+y2=x0-2y0,y1y2=y0, 所以|AF|?|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y0+x0-2y0+1.
2 2

2

2

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2. 1?2 9 ? 2 2 2 所以 y0+x0-2y0+1=2y0+2y0+5=2?y0+ ? + . 2? 2 ? 1 9 所以当 y0=- 时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为 . 2 2 [冲击名校] 1.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 7 A. 2 C.3 5 B. 2 D.2 所以|PQ|∶|PF|=3∶4, 则|QF|=( )

解析:选 C 过点 Q 作 QQ′⊥l 交 l 于点 Q′,因 又焦点 F 到准线 l 的距离为 4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选 C.

2.(2014· 四川高考)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的 两侧, A.2 B.3 (其中 O 为坐标原点), 则△ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是( 17 2 C. 8 D. 10 )

解析:选 B 设点 A 的坐标为(a2,a),点 B 的坐标为(b2,b),直线 AB 的方程为 x=ty +m,与抛物线 y2=x 联立得 y2-ty-m=0,故 ab=-m,由 得 a2b2+ab

1 =2,故 ab=-2 或 ab=1(舍去),所以 m=2,所以△ ABO 的面积等于 m|a-b|=|a-b|= 2

?a+2?,△ AFO 的面积等于1×1|a|=|a|,所以△ ABO 与△ AFO 的面积之和等于?9a?+?2?≥2 ? a? ?8 ? ? a ? 2 4 8
9 2 |a|× =3,故选 B. 8 |a| 3.对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是 ________. 2 ?y0 ? ?y0 ? 2 2 2 2 解析:设点 Q 的坐标为? ,y0?,由|PQ|≥|a|,得 y0+? -a? ≥a ,整理得 y0(y0+16 ?4 ? ?4 ?
2 2 2

y0 y0 2 2 -8a)≥0, ∵y0≥0, ∴y0+16-8a≥0, 即 a≤2+ 恒成立. 而 2+ 的最小值为 2, 所以 a≤2. 8 8 答案:(-∞,2] 第八节 曲线与方程 考纲下载 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

2

2

一、必备知识 1.曲线与方程 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建 立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. 曲线可以看作是符合某条件的点的集合,也可看作是适合某种条件的点的轨迹,因此, 此类问题也叫轨迹问题. 2.求曲线方程的基本步骤

二、必记结论 1.两个条件 (1)如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,那么点 P0(x0,y0)在曲线上的充要条件是 f(x0,y0)

=0. (2)“曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”的充分不必要条件. 2.求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想:求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标 x, y 的方程及函数关系. (2)数形结合思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合. (3)等价转化思想: 通过坐标系使“数”与“形”相互结合, 在解决问题时又需要相互转 化.

一、思考辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的充要条件.( (2)方程 x +xy=x 的曲线是一个点和一条直线.( (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( (4)方程 y= x与 x=y 表示同一曲线.(
2 2

)

) )

)

提示:(1)正确.若点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上,则有 f(x0,y0)=0;反之,若 f(x0, y0)=0,则点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上.因而是充要条件. (2)错误.方程 x +xy=x 的曲线是直线 x=0 和直线 x+y-1=0. (3)错误.前者只需求出轨迹的方程,标出变量的范围;后者除求出方程外,还应指出方 程表示的曲线的图形,并说明图形的形状、位置、大小等有关数据. (4)错误.方程 y= x表示抛物线的一部分,而 x=y 表示整条抛物线. 答案:(1)√ (2)? (3)? (4)? 二、牛刀小试 1.已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,则下列命题中 正确的是( )
2 2

A.满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上 B.方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程 C.方程 f(x,y)=0 所表示的曲线不一定是曲线 C

D.以上说法都正确 解析:选 C 因为曲线 C 可能只是方程 f(x,y)=0 所表示的曲线上的某一小段,因此只 有 C 正确. 2.已知曲线 C 的方程为 x -xy+y-5=0,则下列各点中,在曲线 C 上的点是( A.(-1,2) B.(1,-2)
2

)

C.(2,-3) D.(3,6) 解析:选 A 将四个点的坐标一一代入曲线 C 的方程,只有 A 选项成立,因此(-1,2) 在曲线 C 上. 3.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线左支 )

C.一条射线 D.双曲线右支 解析:选 C 根据双曲线的定义知动点 P 的轨迹类似双曲线,但不满足 2c>2a>0 的条件, 故动点 P 的轨迹是一条射线. 4.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 ________. 解析:设 P(x,y),因为△MPN 为直角三角形, ∴|MP| +|NP| =|MN| , ∴(x+2) +y +(x-2) +y =16,整理得,x +y =4. ∵M,N,P 不共线,∴x≠±2, ∴轨迹方程为 x +y =4(x≠±2). 答案:x +y =4(x≠±2) x y 5.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,则线段 MN 中点的轨 a b 迹方程是________. 解析:设 MN 的中点 P(x,y),则点 M(x,2y)在椭圆上, x (2y) x 4y ∴ 2+ =1,即 2+ 2 =1. 2 a b a b x 4y 答案: 2+ 2 =1 a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

考点一

定义法求轨迹方程 1 , 2

[例 1]

(1)已知 A(-5,0),B(5,0),动点 P 满足

,8 成等差数

列,则点 P 的轨迹方程为___________________________________________. (2)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内 切,则圆心 P 的轨迹方程为________. [听前试做] (1)由已知得 ,
2 2 2 2

∴点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线的右支,且 a=4,b=3,c=5,∴点 P 的轨迹 x y 方程为 - =1(x≥4). 16 9 (2)由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2= 3.设圆 P 的圆心为 P(x, y), 半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN| =(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,圆心 P 的轨迹是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 x y 3的椭圆(左顶点除外),其方程为 + =1(x≠-2). 4 3 x y 答案:(1) - =1(x≥4) 16 9
2 2 2 2 2 2

x y (2) + =1(x≠-2) 4 3

2

2

解:由已知得



∴点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线的左支,且 a=4,b=3,c=5, x y ∴点 P 的轨迹方程为 - =1(x≤-4). 16 9 [探究 2] 若将本例(2)中圆 M,N 的方程分别变为“圆 M:(x+4) +y =2;圆 N:(x -4) +y =2”,其余条件不变,结果如何? 解:设动圆 P 的半径为 r,∴|PM|=r+ 2,|PN|=r- 2. ∴|PM|-|PN|=2 2. 又 M(-4,0),N(4,0),∴|MN|=8. ∴2 2<|MN|.
2 2 2 2 2 2

由双曲线定义知,P 点轨迹是以 M、N 为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b =c -a =14. x y ∴方程为 - =1(x≥ 2 14
2 2 2 2 2

2).

定义法求轨迹方程及其注意点 (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时, 若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义, 则 根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程; (2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如 果不是完整的曲线,则应对其中的变量 x 或 y 进行限制.

已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,则椭圆的另 一个焦点 F 的轨迹方程是什么? 解:由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14, 又∵|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2, 故点 F 的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的下支. 又 c=7,a=1,可得 b =48, x 故点 F 的轨迹方程为 y - =1(y≤-1). 48
2 2 2

考点二

直接法求轨迹方程

直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法,也是高考考查的重要内容.该部 分试题大多以解答题(一般是解答题的某一问)形式出现,考查求轨迹方程的方法、曲线与方 程的定义、基本运算等,且主要有以下几个命题角度: 角度一:已知动点满足的等式求点的轨迹方程 [例 2] (2015?深圳模拟)已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且 ( ) ,则动点 P 的轨迹 C 的方程为

A.x =4y C.x =2y
2

2

B.y =3x D.y =4x
2

2

[听前试做] 设点 P(x,y),则 Q(x,-1). ∵ ,
2 2

∴(0,y+1)?(-x,2)=(x,y-1)?(x,-2),即 2(y+1)=x -2(y-1),整理得 x =4y,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x =4y. 答案:A 角度二:题设中没有明确给出等量关系,求轨迹方程 [例 3] 率为 5 . 3
2

x y (2014?广东高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心 a b

2

2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的 轨迹方程. c 5 2 2 2 [听前试做] (1)依题意得,c= 5,e= = ,因此 a=3,b =a -c =4, a 3 x y 故椭圆 C 的标准方程是 + =1. 9 4 (2)若两切线的斜率均存在,设过点 P(x0,y0)的切线方程是 y=k(x-x0)+y0, y=k(x-x0)+y0, 2 ? 2 ? 2 2 x [k(x-x0)+y0] 则由?x y 得 + =1, 9 4 + =1, ? 9 4 ? 即 (9k + 4)x + 18k(y0 - kx0)x + 9[(y0 - kx0) - 4] = 0 , Δ= [18k(y0 - kx0)] - 36(9k + 4)[(y0-kx0) -4]=0,整理得(x0-9)k -2x0y0k+y0-4=0. y0-4 又所引的两条切线相互垂直,设两切线的斜率分别为 k1,k2,于是有 k1k2=-1,即 2 x0-9 =-1,即 x0+y0=13(x0≠±3).
? ?x0=3, ? ?x0=-3, ? ?x0=3, ? ?x0=-3, 若两切线中有一条斜率不存在,则易得? 或? 或? 或? ?y0=2 ?y0=2 ?y0=-2 ? ?y0=-2, ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

经检验知均满足 x0+y0=13. 因此,动点 P(x0,y0)的轨迹方程是 x +y =13.
2 2

2

2

直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 (1)题目给出等量关系,求轨迹方程.直接代入即可得出方程. (2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系,得出方程.

1. 已知点 O(0, 0), A(1, 2), 动点 P 满足 A.4x +4y -4x-8y+1=0 B.4x +4y -4x-8y-1=0 C.8x +8y +2x+4y-5=0 D.8x +8y -2x+4y-5=0
2 2 2 2 2 2 2 2

=2, 则 P 点的轨迹方程是(

)

2. 已知 a>b>0,曲线 C 上任意一点 P 分别与点 A(-a,0)、B(a,0)连线的斜率的乘积为 b - 2. a (1)求曲线 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+h(k≠0,h≠0)与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点,若曲线 C 与直线 l 没有公共点,求证:|MN|>a+b. 解:(1)设曲线 C 上任意一点 P 的坐标为(x,y). 依题意 kPA·kPB=
2 2 2

y y b · =- 2,且 x≠±a, x+a x-a a

2

x y 整理得 2+ 2=1. a b x y 所以,曲线 C 的方程为: 2+ 2=1,x≠±a. a b x y ? ? 2+ 2=1, (2)证明:由?a b 得 ? ?y=kx+h, (b +a k )x +2a hkx+a (h -b )=0, ∴Δ=4a h k -4(b +a k )a (h -b )<0, 即 b +a k <h ,
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 h b ? h ? 2 2 b +a k 2 2 2 2 2 由已知条件可知 M?- ,0?,N(0,h),所以|MN| = 2+h > + b + a k = a + b + 2 2 k k k ? k ?

+a k ≥a +b +2ab, 从而|MN| >(a+b) ,即|MN|>a+b.
2 2

2 2

2

2

考点三
2 2

代入法求轨迹方程
2 2

x 2 [例 4] (2015?沈阳模拟)如图所示,动圆 C1:x +y =t ,1<t<3,与椭圆 C2: +y = 9 1 相交于 A,B,C,D 四点,点 A1,A2 分别为 C2 的左,右顶点.

(1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积. (2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程. [听前试做] (1)设 A(x0,y0),则 S 矩形 ABCD=4|x0y0|, x0 2 x0 2 由 +y0=1,得 y0=1- , 9 9 1? 2 9? 9 ? x0? 从而 x y =x ?1- ?=- ?x0- ? + . 2? 9? 4 ? 9?
2 2 0 0 2 0 2 2 2

2

9 2 1 2 当 x0= ,y0= 时,Smax=6. 2 2 此时 t =x0+y0=5,t= 5, ∴当 t= 5时,矩形 ABCD 的面积取到最大值 6. x 2 (2)由椭圆 C2: +y =1,知 A1(-3,0),A2(3,0),又由曲线的对称性及 A(x0,y0), 9 得 B(x0,-y0), 设点 M 的坐标为(x,y), y0 直线 AA1 的方程为 y= (x+3).① x0+3 y0 直线 A2B 的方程为 y=- (x-3).② x0-3 y0 2 由①②得 y =- 2 (x -9).③ x0-9
2 2 2 2 2 2

x0 2 又点 A(x0,y0)在椭圆 C 上,故 y0=1- .④ 9

2

x 2 将④代入③得 -y =1(x<-3,y<0). 9 x 2 因此点 M 的轨迹方程为 -y =1(x<-3,y<0). 9
2

2

代入法(相关点法)适用的轨迹类型及使用过程 动点所满足的条件不易得出或转化为等式,但形成轨迹的动点 P(x ,y)却随另一动点 Q(x′,y′)的运动而有规律地运动,而且动点 Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的,则可先 将 x′,y′表示成关于 x,y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,整理化简即得动点 P 的轨迹方 程.

如图, 设 P 是圆 x +y =25 上的动点, 点 D 是 P 在 x 轴上的投影, M 为 PD 上一点, 且|MD| 4 = |PD|. 5

2

2

(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线 l 被 C 所截线段的长度. 5 解:(1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP), 因为点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点, 4 5 且|MD|= |PD|,所以 xP=x,且 yP= y. 5 4 ∵P 在圆 x +y =25 上, x y ?5 ? ∴x +? y? =25,整理得 + =1, 25 16 ?4 ?
2 2 2

2

2

2

x y 即 C 的方程是 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线 l 的方程是 y= (x-3), 5 5 设此直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 x y 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程 + =1,得 5 25 16
2 2

2

2

x (x-3) 2 + =1,化简得 x -3x-8=0, 25 25

2

2

3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= , 2 2 所以线段 AB 的长度是|AB|= 41 即所截线段的长度是 . 5

?1+16?(x -x )2= ? 25? 1 2 ? ?

41 41 ?41= , 25 5

—————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— ?2点区别——两对不同概念 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ?3种方法——求轨迹方程的三种常用方法 (1)定义法:求轨迹方程时,应尽量利用几何条件探求轨迹的类型,应用定义法,这样 可以减少运算量,提高解题速度. (2)代入法(相关点法): 当所求动点 P(x, y)是随着另一动点 Q(x′, y′)(称之为相关点) 而运动,且相关点 Q 满足一曲线方程时,就可用代入法求轨迹方程.此时应注意:代入法求 轨迹方程是将 x′,y′表示成关于 x,y 的式子,同时要注意 x′,y′的限制条件. (3)直接法: 如果动点满足的几何条件本身是一些几何量(如距离与角等)的等量关系, 或 这些几何条件简单明了且易于表达,就可运用直接法求轨迹方程.但要注意,化简方程的过 程中有时破坏了方程的同解性,此时要补上遗漏点或删除多余的点,这是不可忽视的.

[全盘巩固] 一、选择题 1.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则动点 P 的轨迹是 ( ) A.直线 C.椭圆 B.圆 D.双曲线

解析:选 B 设 P(x,y),则 (x+2) +y =2 (x-1) +y ,
2 2 2 2

整理得 x +y -4x=0, 又 D +E -4F=16>0,所以动点 P 的轨迹是圆. 2.(2015?西安模拟)已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 解析:选 D 由题意知,M 为 PQ 中点,设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y +3=0 得 2x-y+5=0. 1 ?1 ? 3.已知点 F? ,0?,直线 l:x=- ,点 B 是 l 上的动点.若过 B 作垂直于 y 轴的直线 4 ?4 ? 与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 ) )
2 2

2

2

解析:选 D 由已知得|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准 线的抛物线. 4.(2015?温州模拟)设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C:x +y -2x=0 相外切,则动圆圆 心 M 的轨迹方程为( A.y =4x
2 2 2 2

) B.y =-4x
2 2

C.y =4x 或 y=0(x<0) D.y =4x 或 y=0 解析:选 C 设动圆圆心 M(x,y),半径为 R,根据已知条件,得 R=|x|=|MC|-1,即|x|= (x-1) +y -1 ①x≥0 时,(x+1) =(x-1) +y ,即 y =4x; ②x<0 时,(-x+1) =(x-1) +y ,即 y=0. 综合①②得,圆心 M 的轨迹方程为 y =4x 或 y=0(x<0). 5.(2015?长春模拟)设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆 周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( A. C. 4x 4y - =1 21 25 4x 4y - =1 25 21
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

4x 4y B. + =1 21 25 4x 4y D. + =1 25 21
2 2

2

2

解析:

选 D ∵M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5, 故 M 的轨迹为椭圆. 5 21 2 2 2 ∴a= ,c=1,则 b =a -c = , 2 4 4x 4y ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 21 二、填空题
2 2

∴动点 C 的轨迹方程为 y =8x. 答案:y =8x x y 7 . (2015? 福 州 模 拟 ) 直 线 + =1 与 x 轴,y 轴交点的中点的轨迹方程为 a 2-a ________________. x y 解析:设直线 + =1 与 x 轴,y 轴交点为 A(a,0),B(0,2-a),A,B 中点为 M(x, a 2 -a a a y),则 x= ,y=1- ,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1. 2 2 答案:x+y=1(x≠0 且 x≠1) 8.点 P 是圆 C:(x+2) +y =4 上的动点,定点 F(2,0),线段 PF 的垂直平分线与直线 CP 的交点为 Q,则点 Q 的轨迹方程是________________. 解析:依题意有|QP|=|QF|, ∴||QC|-|QF||=|CP|=2, 又|CF|=4>2, 故点 Q 的轨迹是以 C、F 为焦点的双曲线,a=1,c=2,
2 2 2

2

y 2 2 ∴b =3,所求轨迹方程为 x - =1. 3 y 2 答案:x - =1 3 三、解答题 9. 已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于 P,Q 两点,交直线 l1 于点 R,求 解:(1)由题设知,点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x =4y. (2)由题意知,直线 l2 的方程可设为 y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立消去 y,得 x -4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=4k,x1x2=-4.
2 2 2

2

的最小值.

? 2 ? 又易得点 R 的坐标为?- ,-1?, ? k ?
∴ 2 2 ? ? ? ? =?x1+ ,y1+1?·?x2+ ,y2+1? k k ? ? ? ?

2?? 2? ? =?x1+ ??x2+ ?+(kx1+2)(kx2+2) k k? ? ?? 4 ?2 ? 2 =(1+k )x1x2+? +2k?(x1+x2)+ 2+4 k ?k ?

?2 ? 4 2 =-4(1+k )+4k? +2k?+ 2+4 ?k ? k ? 2 1? =4?k + 2?+8. k? ?
1 2 2 ∵k + 2≥2,当且仅当 k =1 时取等号, k ∴ ≥4?2+8=16,即 的最小值为 16.

10.已知长为 1+ 2的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,P 是 AB 上一

点,且

,求点 P 的轨迹 C 的方程.

所以 x-x0=- 得 x0=?1+

2 2 x,y= (y0-y), 2 2

? ?

2? ?x,y0=(1+ 2)y. 2?
2 2 2

因为|AB|=1+ 2,即 x0+y0=(1+ 2) , 所以??1+
2

?? ??

2? ?2 2 2 ?x? +[(1+ 2)y] =(1+ 2) , 2? ?

x 2 化简得 +y =1. 2 [冲击名校] 1 2 1.已知 F 是抛物线 y= x 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段 PF 中点的轨迹方程 4 是( ) 1 2 2 A.x =2y-1 B.x =2y- 16 1 2 2 C.x =y- D.x =2y-2 2 1 2 2 解析:选 A 把抛物线方程 y= x 化成标准形式 x =4y,可得焦点 F(0,1),设 P(x0, 4 y0),PF 的中点 M(x,y). x ? ?x= 2 , ? ?x =2x, 由中点坐标公式得? ∴? ?y =2y-1. y +1 ? ? ?y= 2 ,
0 0 0 0

1 2 1 2 又∵P(x0,y0)在抛物线 y= x 上,∴2y-1= (2x) , 4 4 即 x =2y-1. 2.|y|-1= 1-(x-1) 表示的曲线是( A.抛物线 B.一个圆 C.两个圆 D.两个半圆 解析:选 D 原方程|y|-1= 1-(x-1) 等价于
2 2 2

)

|y|-1≥0, ? ? ?|y|-1≥0, ? 2 ?? ?1-(x-1) ≥0, 2 2 ? ?(x-1) +(|y|-1) =1 2 2 ? ?(|y|-1) =1-(x-1)
? ? ?y≥1, ?y≤-1, ? ?? 或 2 2 2 2 ?(x-1) +(y-1) =1 ? ?(x-1) +(y+1) =1. ?

3. (2014?湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1, 0) 的距离和到直线 x =-1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0) 且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范 围是________. 解析:由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为 y =4x,过点 P(-1,0)且 斜率为 k 的直线方程为 y=k(x+1), 由题意知直线与抛物线无交点, 联立消去 y 得 k x +(2k -4)x+k =0,则 Δ =(2k -4) -4k <0,所以 k >1,得 k>1 或 k<-1. 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
2 2 2 4 2 2 2 2 2

第九节 圆锥曲线的综合问题 考纲下载 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.

一、必备知识 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不 同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x, y)=0, 消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变 量 y)的一元方程.
? ?Ax+By+C=0, 即? 消去 y,得 ax2+bx+c=0. ?F(x,y)=0, ?

(1)当 a≠0 时, 设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ, 则 Δ>0? 直线与圆锥曲线 C 相交; Δ=0? 直线与圆锥曲线 C 相切; Δ<0? 直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个交 点,此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物线, 则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2 = 1 1+ 2· |y -y |= k 1 2 1 1+ 2· (y1+y2)2-4y1y2. k

二、必记结论 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切; 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称 轴平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条与对称轴 平行或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合 的直线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线 和两条与渐近线平行的直线; 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和两条与渐近线平 行的直线; 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线.

一、思考辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是:直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点.( ) (2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是:直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点.( ) (3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点.( ) (4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点.( ) 提示:(1)正确.当直线与椭圆有一个公共点时直线与椭圆相切. (2)错误.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线有一个公共点,此时直线与双 曲线不相切. (3)错误.经过抛物线上一点有两条直线与抛物线有一个公共点,其中一条与抛物线的对 称轴平行或重合,另一条是切线. (4)正确.过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,即过该点且与对 称轴平行的直线. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、牛刀小试 x2 y2 1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 )

A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:选 A 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部, 故直线与椭圆相交.

b x2 y2 2.直线 y= x+3 与双曲线 2 - 2=1 的交点个数是( a a b A.1 B.2 C.1 或 2 D.0

)

b b 解析:选 A 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行,所以它与双曲线只有 1 a a 个交点. 3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析:选 C 结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0,1)且 平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). 4.(2015· 连云港模拟)已知倾斜角为 60° 的直线 l 通过抛物线 x2=4y 的焦点,且与抛物线 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长为________. 解析:直线 l 的方程为 y= 3x+1,

?y= 3x+1, 由? 2 得 y2-14y+1=0, ?x =4y,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=14, ∴|AB|=y1+y2+p=14+2=16. 答案:16 x2 y2 5.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标 5 4 原点,则△ OAB 的面积为________. 解析:由 c= 5-4=1,知椭圆右焦点为(1,0),则直线方程为 y=2(x-1),联立方程 得 x y ? ? 5 + 4 =1, 5 ? 解得 x1=0,x2= , 3 ? ?y=2(x-1), 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1=-2,y2= . 3 1 1 10 5 ∴S△ OAB= × 1× |y1-y2|= × 1× = . 2 2 3 3 5 答案: 3 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
2 2

? 对应学生用书P173 考点一
2

直线与圆锥曲线的位置关系

[例 1] (1)过抛物线 y =2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A,B 两点,它们的横坐 标之和等于 2,则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四条 (2)(2014· 湖北高考)设 a, b 是关于 t 的方程 t2cos θ+tsin θ=0 的两个不等实根, 则过 A(a,

x2 y2 a2),B(b,b2) 两点的直线与双曲线 2 - 2 =1 的公共点的个数为( cos θ sin θ A.0 B.1 C.2 D.3

)

x2 y2 (3)(2012· 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2 + 2=1(a>b>0)的左焦点 a b 为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. ①求椭圆 C1 的方程; ②设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. [听前试做] (1)设抛物线的焦点为 F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|BF|=xA p p + +xB+ =xA+xB+1=2+1=3>2p=2.所以符合条件的直线有两条. 2 2 (2)关于 t 的方程 t2cos θ+tsin θ=0 的两个不等实根为 0,-tan θ(tan θ≠0),则过 A,B x2 y2 两点的直线方程为 y=-xtan θ,双曲线 2 - 2 =1 的渐近线为 y=±xtan θ,所以直线 y cos θ sin θ =-xtan θ 与双曲线没有公共点.故选 A. (3)①根据椭圆的左焦点为 F1(-1,0),知 a2-b2=1,又根据点 P(0,1)在椭圆上,知 b x2 =1,所以 a= 2,所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2 ②因为直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 都相切,所以其斜率存在且不为 0, x2 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),代入椭圆方程得 +(kx+m)2=1, 2 1 2? 2 2 即? ?2+k ?x +2kmx+m -1=0, 1 2? 2 由题可知此方程有唯一解,此时 Δ=4k2m2-4? (m -1)=0,即 m2=2k2+1.① ?2+k ?· k 把 y

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