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方程的根和函数的零点(优质课课件)


【引例】 下列方程有实数根吗?
( 1) 3 x ? 2 ? 0 ;
2

x??

2 3

( 2) x ? 5x ? 6 ? 0 ; ( 3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0 .

x1 ? 2, x2 ? 3

问题一 : 以下一元二次方程的实

数根与相应的二次函数的 问题一 图象有什么关系?

方程 方程的实数根 相应函数

x2-2x-3=0 x1=-1,x2=3 y= x2-2x-3 .
y
2

x2-2x+1=0
x1=x2=1 y= x2-2x+1

x2-2x+3=0
无实数根 y= x2-2x+3
y

.
-1 -2

.y
2

.
. . 1 .
2

函数的图象

-1

.

1

0

1

2

.

.
x
-1

3

x
-1

1

0

-3 -4

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

.

0

3

x

函数图象与 x轴的交点

(-1,0)、(3,0)

(1,0)

无交点

结论:上述一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴 交点的横坐标(方程根的个数是相应函数图象与x轴交点的个数)

问题二 这个结论对一般一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 2 与相应的二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 仍然成立吗?
判别式 ?

? b 2 ? 4ac

??0
两个不相等 的实数根x1 、x2

??0
有两个相等的 实数根x1 = x2

??0
没有实数根

2 方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根

y 函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图象
x1 0 x2
2

y
y

x
0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论仍然成立

问题三

这个结论还成立吗?

方程 f ( x ) ? 0 相应函数 y ? f ( x ) 结论:上述一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与 x轴 交点的横坐标。

函数零点的定义:

对于函数 y ? f ( x ) , 我们把使 f ( x ) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x ) 的零点.
三个关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

函数y=f(x)有零点

方程 函数
零点

x2-2x-3=0
-1和3

x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
1 无零点

y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3

y y y 函 . . 方法总结:求函数的零点就是求相应的方程 2 数 . 5 . 2 . . 4 1 .0 . . . 的 3 1 1 2 3 x 的根 . . 2 . . 图 . 1 0 1 2 x 象 0 1 2 3 x .
-1 -1 -2 -3 -4 -1

-1

方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象 与x轴的交点 (-1,0)、(3,0)

x1=x2=1 (1,0)

无实数根 无交点

探究 : 探究
y

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: 5 -4 , f(-2)=_______ ,f(1)=_______ 2 f(-2)· f(1)_____0 (“<”或“>”), < 1 在区间[-2,1]上有零点______ -1 ; -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 f(2)· f(4)____0 (“<”或“>”). < -2 在区间(2,4)上有零点______ 3 。 -3
-4

y

由特殊函数到一般函数f(x)

a O b

c d x

观察函数的图象并填空: ①在区间(a,b)上f(a)· f(b)_____0(“ <”或 < 有 “>”). 在区间(a,b)上______(有/无 < )零点; ② 在区间(b,c)上f(b有 )· f(c) _____ 0(“<”或 “>”). < 有 有/无)零点; 在区间(b,c)上______( ③ 在区间(c,d)上f(c)· f(d) _____ 0(“<”或” >”).

侧在 函函 数数 值零 乘点 积的 小左 于右 两

0

函数零点存在性定理:
y a O c b y

x

c
O a

b

x

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有f(a) · f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点. 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

函数零点存在性定理:
y
O y a c

y
b x

y c O a b x

a O

c b

x

c
O a

b

x

y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, 例1如果函数 判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例 并且有 f(a) · f(b)<0 ,那么,函数 f(x)在区间( b)) · 内有零点. (1)已知函数 y=f (x)在区间[a,by ]= 上连续,且 fa (,a f(b) < 0,则 即存在 c∈(a,b ),使得 f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0 的根. f(x)在区间 (a ,b)内有且仅有一个零点 . ( ) (2)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f (a) · f(b) ≥0,则 f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( ) (3)已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) · f(b) < 0,则f(x)在 区间(a,b)内存在零点. ( )

零点存在性定理的应用: 【练一练】
1、已知函数f (x)的图象是连续不断的,有如下对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7

f ( x)

23

9

–7

11

–5 –12 –26

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( C )个 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2、函数f (x)= – x 3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为(
A. ( – 2 ,0) B. (1,2) C. (0,1)

B)

D. (0,0.5)

零点存在性定理的应用: 例: 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数.
零点存在性定理判断有误零点,再利用函数的函数确定零点 的个数。

析: 先确定函数的定义域,在定义域内取值计算相应函数值,用 解: 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表: 1 2 3 f(x) -4.0 -1.3 1.1 x 4 3.4 5 6 5.6 7.8 7 8 9 10.0 12.1 y 14.2
f(x)=lnx+2x- 6

10 由表可知f(2)<0,f(3)>0,从而f(2)· f(3)<0, 8 6 ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点. 4 2 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,

所以它仅有一个零点.

O 123456 -2 -4

x

课堂小结
方程的根与函数的零点

函数y=f(x) 的零点的定 义

三个等价 关系

函数 y=f(x)的 零点存在 性的判定

学会数形结 合和函数与 方程的思想

作业:P88练习1.2
探究: 方程

ln x ? 2 x ? 6 ? 0 有根吗?我们

能求出它的根(或者近似根)吗?


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