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导数 Microsoft Office Word 97 - 2003 文档


2015 年全国高考试题分类汇编---导数及其应用
1、 (安徽-10)函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图像如图所示,则下列结论成立的是

(A)a>0,b<0,c>0,d>0 (B)a>0,b<0,c<0,d>0 (C)a<0,b<0,c<0,d&g

t;0 (D)a>0,b>0,c>0,d<0 2、 ( 课 标 2-16 ) 已 知 曲 线 y ? x ? ln x 在 点 ?1, 1 ? 处 的 切 线 与 曲 线 y ? ax ? ? a ? 2? x ?1 相 切 , 则
2

a= 【答案】8



3、 (天津 -11 )已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? ,其中 a 为实数, f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,若

f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为
x



4、 (陕西-15)函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为____________. 3 5、 (课标 1-14)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7) ,则 a= 6、 (安徽-21)已知函数 f ( x) ?

.

ax (a ? 0, r ? 0) ( x ? r )2

(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值。 r

7、 (北京-19) (本小题 13 分)

?2 -k ln ,k>0 设函数 f(x)= 2
(I)求 f(x)的单调区间和极值; (II)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, )上仅有一个零点。

8、 (福建-22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ?

? x ? 1? ? ln x ?
2

2



(I)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? ?1, x0 ? 时,恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? .

9、 (广东-21) (本小题满分 14 分)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? a ? a ? 1? .
2

?1? 若 f ? 0 ? ? 1 ,求 a 的取值范围; ? 2 ? 讨论 f ? x ? 的单调性;
? 3? 当 a ? 2 时,讨论 f ? x ? ?
4 在区间 ? 0, ?? ? 内的零点个数. x

10、 (湖北-21) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) , g ( x) 的定义域均为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,
f ( x) ? g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数.

(Ⅰ)求 f ( x) , g ( x) 的解析式,并证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , g ( x) ? 1 ; (Ⅱ)设 a ? 0 , b ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, ag ( x) ? (1 ? a) ?

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

1 1 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? (e x ? e? x ) , g ( x) ? (ex ? e? x ) .证明:当 x ? 0 时, e x ? 1 , 0 ? e ? x ? 1 ,故 f ( x) ? 0. 2 2 1 又由基本不等式,有 g ( x) ? (e x ? e? x ) ? ex e? x ? 1 ,即 g ( x) ? 1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 2

1 1 1 ex 1 1 1 1 ex 1 f ?( x) ? (ex ? x )? ? (ex ? 2 x ) ? (ex ? e? x ) ? g ( x) ⑤ g ?( x) ? (ex ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? f ( x) ⑥ 2 e 2 e 2 2 e 2 e 2
当 x ? 0 时,

f ( x) f ( x) ? ag ( x) ? (1 ? a) 等价于 f ( x) ? axg ( x) ? (1 ? a) x ⑦ ? bg ( x) ? (1 ? b) 等价于 x x

f ( x) ? bxg ( x) ? (1 ? b) x. ⑧ 于是设函数 h( x) ? f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,由⑤⑥,有 h?( x) ? g ( x) ? cg ( x) ? cxf ( x) ? (1 ? c) ? (1 ? c)[ g ( x) ? 1] ? cxf ( x). 当 x ? 0 时, (1)若 c ? 0 ,由③④,得 h?( x) ? 0 ,

故 h( x) 在 [0, ??) 上为增函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑦ 成立.(2)若 c ? 1 ,由 ③④,得 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为减函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? cxg( x) ? (1 ? c) x ,故⑧ 成 立.综合⑦ ⑧ ,得 ag ( x) ? (1 ? a) ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将等式 f ( x) ? g ( x) ? e x 中 x 用 ?x 来替换,并结合已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数可得
? f ( x) ? g ( x) ? e? x . 于是联立方程组即可求出 f ( x), g ( x) 的表达式;当 x ? 0 时,由指数与指数函数的性质知
ex ? 1 , 0 ? e? x ? 1 , x) ? gx () 进而可得到 f ( x) ? 0. 然后再由基本不等式即可得出 g ( x) ? 1.(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得 f ?( g ?( x) ? f ( x) . 于是要证明 ag ( x) ? (1 ? a) ?

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x



f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) ,即证 f ( x) ? axg( x) ? (1? a) x,也就是证明 x

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) ,即证 f ( x) ? bxg ( x) ? (1 ? b) x. 于是构造函数 h( x) ? f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,利用导数在 x
函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立. 试题解析: (Ⅰ)由 f ( x) , g ( x) 的奇偶性及 f ( x) ? g ( x) ? e x ,①得: ? f ( x) ? g ( x) ? e? x . ②

1 1 联立①②解得 f ( x) ? (e x ? e ? x ) , g ( x) ? (ex ? e? x ) . 2 2
当 x ? 0 时, e x ? 1 , 0 ? e ? x ? 1 ,故 f ( x) ? 0. ③ ④

1 又由基本不等式,有 g ( x) ? (e x ? e? x ) ? ex e? x ? 1 ,即 g ( x) ? 1. 2

1 1 1 ex 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ? (e x ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? g ( x) , 2 e 2 e 2

⑤ ⑥ ⑦ ⑧
?( 1? c ) [( g )x 1 ? ] ?c x ( f) . x

1 1 1 ex 1 g ?( x) ? (e x ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? f ( x) , 2 e 2 e 2
当 x ? 0 时,

f ( x) ? ag ( x) ? (1 ? a) 等价于 f ( x) ? axg ( x) ? (1 ? a) x , x f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) 等价于 f ( x) ? bxg ( x) ? (1 ? b) x. x

c gx () c x ? f x( ) ( 1 ?c ) ? 设函数 h( x) ? f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x , 由⑤⑥, 有 h?(x) ?g (x) ?

当 x ? 0 时, ( 1 )若 c ? 0 ,由③④,得 h?( x ) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为增函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 ,即
f ( x) ? cxg( x) ? (1? c) x,故⑦ 成立.(2)若 c ? 1 ,由③④,得 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为减函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑧ 成立.综合⑦ ⑧ ,得 ag ( x) ? (1 ? a) ?

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

考点:1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用;2、函数的基本性质; 11、 (湖南-21) (本小题满分 13 分) 已知 a>0,函数 f(x)=a (x [0,+ ) ) 。记 xe 为 f(x)的从小到大的第 n(n )个极值点。

(Ⅰ)证明:数列{f(xn)}是等比数列; (Ⅱ)若对一切 n ,xn | f(xn)|恒成立,求 a 的取值范围。

12、 (江苏-19)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R) 。
3 2

(1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是与 a 无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是

3 3 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值。 2 2

13、 (山东-20) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x, g ( x) ? (I)求 a 的值; (II)是否存在自然数 k ,使的方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在,求出 k ;如果不 存在,请说明理由; (III)设函数 m( x) ? min{f ( x), g ( x)}(min(p, q) 表示 p, q 中的较小值) ,求 m( x) 的最大值.

x2 ,已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行, ex

14、 (陕西-21) (本小题满分 12 分) 设 fn ( x) ? x ? x2 ????? xn ?1, x ? 0, n ? N , n ? 2. (I) 求 f n' (2) ; 证明: f n ( x) 在(0,

(II)

2 1 1 ?2? )内有且仅有一个零点(记为 an ) ,且 0< an - < ? ? . 3 2 3 ?3?

n

15、 (四川-21)(本小题满分 14 分)
2 2 已知函数 f(x)= ?2 x ln x ? x ? 2ax ? a ,其中 a>0.

(I) (II)

设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; 证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f(x) ? g(x).

16、 (天津-20) 已知函数 f ( x) = 4 x - x4 , x (1)求 f ( x ) 的单调性;

R, 其中 n ? N * ,且 n ? 2 .

(2)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证:对于任意的正 实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

a 1 (3)若方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 -x1 < - + 4 3 . 3

17、 (新课标-1 21).(本小题满分 12 分) 设函数 x 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的导函数 f '( x) 零点的个数; (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln

2 。 a

18、 (浙江-20) (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x ? ax ? b,(a, b ? R) .
2

(1)当 b =

a2 +1 时,求函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上的最小值 g (a) 的表达式; 4

(2)已知函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上存在零点, 0 ? b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.

? a2 ? 4 ? a ? 2, a ? ?2, ? ? 【答案】(1) g (a) ? ? 1, ?2 ? a ? 2, ;(2) [?3,9 ? 4 5] ? a2 ? ? a ? 2, a ? 2 ? ? 4

考点:1.函数的单调性与最值;2.分段函数;3.不等式性质;4.分类讨论思想.

19、 (重庆-19)(本小题满分 12 分, (I)小问 4 分, (II)小问 8 分) 已知函数 f(x)=a x + x (a ? R)在 x= ?
3 2

4 处取得极值. 3

(I) (II)

确定 a 的值; 若 g(x)= f(x) e ,讨论的单调性.
x


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