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空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版


板块二.空间向量的坐标运算

典例分析
【例1】 空间四边形 OABC 中, OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ? ( A. )

??? ??? ? ? π ,则 cos ? OA , ? 的值是 BC 3

1 2

B.

2 2

C. ?

1 2

D. 0

? ? ? ? ? ? 【例2】 已知 a ? (2 , 1, , ? (?1, , 2) , ? (7 , , ) ,若 a , , 三向量共面,则 ? 等 ? 3) b 4 ? c 5 ? b c
于( A. ) B. 9 C.

62 7

64 7

D.

65 7

? ? ? 【例3】 设 u ? (?2, , 、 v ? (6, 4, 分别是平面 ? , 的法向量,则平面 ? , ? 的位置关 2 5) ? 4)
系是( ) B.垂直 D.不能确定 A.平行 C.相交但不垂直

??? ? ??? ? ???? ? ? ? 【例4】 设 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,则使 A 、 B 、 C 三点共线的条件是 ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1? A. c ? a ? b B. c ? a ? b C. c ? 3a ? 4b D. c ? 4a ? 3b 2 3

? ? ? ? ? ? 1 0) 【例5】 已知 a ? (1,, , b ? (?1, , ,且 ka ? b 与 2a ? b 垂直,则 k 的值为( 0 2)
A.



1 5

B. 1

C.

3 5

D.

7 5

AC AD 【例6】 已知四面体 ABCD 中, AB , , 两两互相垂直,给出下列两个命题: ??? ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? AB ① ? CD ? AC ? BD ? AD ? BC ; ??? ??? ???? ? ? ??? ? ??? ? ???? ② AB ? AC ? AD |2 ?| AB |2 ? | AC |2 ? | AD |2 . |

则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为( A.① 假、② 假 B.① 真、② 假 C.① 真、② 真

) D.① 假、② 真

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【例7】 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A. 直线
D1 A1 B1 P D A B C



B. 圆
C1

C. 双曲线

D. 抛物线

【例8】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧 面 PAD ? 底面 ABCD .M 为底面 ABCD 内的一个动点, 且满足 PM ? MC . 则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为(
D M A B A C D M B A C


D M B A C D M B C

A

B

C

D

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【例9】 已 知 a ? ( ,, , b )? ,,( , c1? 1, , (p 1 a ? b , ? a ? 2b ? c , 则 1 1 0 0 , ) ? 0 1 ) q ? ? p ? q ? _______.

? ? ? 【例10】 若向量 a ? ?1, 0 , 2? ,b ? ? 0 , 2 , 1? 确定平面的一个法向量 n ? ? x , y , 2? , 则向量 ? ? c ? 1 , 21 , 2 在 n 上的射影的长是________.

?

?

? ? ? ? ? ? 【例11】 设向量 a 与 b 互相垂直, 向量 c 与它们构成的角都是 60° , | a 5 , b |? 3 , c |? 8 , 且 |? | | ? ? ? ? ? ? ? 那么 (a ? 3c) ? (3b ? 2a) ? ______, | 2a ? b ? 3c |? _________.

? ? ? ? ? ?? ? ?? 【例12】 已知向量 a 和 c 不共线, 向量 b ? 0 , (a ? ) ?b ca) 且 bc ( ?

? ? ? ? ? ? ? d , ? a ? c , ?d , ? ? 则 b



???? 3 5) (1 ? ? B 【例13】 已知点 A , 的坐标分别为 (?2 , , , , 1, 7) ,则向量 AB 的相反向量的坐标
是__________.

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? ? ? ? 【例14】 已知 a ? (2 , , , ? (3 , , ) ,若 a ∥ b ,则 x ? _____, y ? ______. 4 5) b x y

? ? ? ? 【例15】 已 知 向 量 a ? (? ? 1 0 ? , b ? (6 , ? ? 1, , 若 a ∥ b , 则 ? ? ______ , ,,2 ) 2 2)

??



n m n 3) n 9) 【例16】 若 A(m ? 1, ? 1, , B(2m , , ? 2n) , C (m ? 3 , ? 3 , 三 点 共 线 , 则

m?n ?



? ? ? ? 【例17】 已 知 向 量 a ? (2m , , , b ? (m , ? 1, 5) , 若 a , b 垂 直 , 则 m 2) m ? ? ? a ? b ? _____________. ? ? ? ? ? 【例18】 已知 a ? (2 , , ) , b ? (2 , , ,若 | a |? 6 ,且 a ? b ,则 x ? y ? _________. 4 x y 2)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π ? 【例19】 已知 | a |? 2 , | b |? 3 ,且 a 与 b 的夹角为 , c ? 3a ? 2b , d ? ma ? b ,若 c ? d , 2 则 m ? _____. ? ? ? ? ? ? ? ? 【例20】 已知 a ? (2 , , , b ? (4 , , , n ? a ? n ? b ? 0 ,且 | n |? 1 ,则 n ? ______. 2 1) 5 3)

??? ? ??? ? ??? ? 【例21】 已知 OA ? (1, , , ? (2 ,, , ? (1,, , 为坐标原点, Q 在直线 OP 点 1 2) OP 1 2) O 2 3) OB ??? ??? ? ? 上运动,则当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为___________.

【例22】 若 A ?1, 2 , ? , B ? 2 , , ? ,点 P 在 z 轴上,且 PA ? PB ,则点 P 的坐标 ? 1 2 2 为 .

3 2) ? 7) 5 1) 【例23】 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(3 , , , B(4 , 3 , , C (0 , , ,则 BC 边上的中

线长为( A.2

) B.3 C.4 D.5

??? ? 1 2 B 3 3 【例24】 已知空间两个动点 A(m , ? m , ? m) , (1 ? m , ? 2m , m) ,则 | AB | 的最小值是
_______.

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? ? ? ? ? ? ? ? 【例25】 设 | a |? 1 , | b |? 2 , 且 a , 的 夹 角 为 120° , 则 (a ? b) ? (a ? 2b )? _____ , b ? ? | 2a ? b |? _______.

? ? ? ? ? ? 【例26】 若 a , 均为单位向量,且 ?a , ? ? 60°,则 a ? 3b ? _______; b b

? ? ? ? ? ? 【例27】 已知 | a |? 1 , | b |? 1 , | 3a ? 2b |? 3 ,则 | 3a ? b |?



? ? ? ? 【例28】 已知向量 a ? (0 , , , b ? (?1,, 2) ,则 a 与 b 的夹角为( 1 ? 2 1)



A.0°

B.45°

C.90°

D.180°

? ? ? ? 【例29】 已知向量 a ? (0 , , , b ? (?1,, ,则 a 与 b 的夹角为_________; 3 3) 1 0)

?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 【例30】 已知 a , , 是空间中两两垂直的单位向量, m ? a ? b , n ? b ? c ,则 m 与 n 的夹 b c

角为



? ? ? ? 【例31】 已知向量 a ? (0 , , , ? (?1,, 2) ,则 a 与 b 的夹角为_________. 2 1) b 1 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【例32】 若 (a ? 3b ) ? (7a ? 5b ) ,且 (a ? 4b ) ? (7a ? 5b ) ,则 a 与 b 的夹角为________.

? ? ? ? 8 【例33】 若向量 a ? (1, , , b ? (2 , 1, , a , 夹角的余弦值为 ,则 ? ? _________. ? 2) b ? 2) 9
? ? ? ? 【例34】 已知向量 a ? (2 , 3 , , ? (k , , ,若 a 与 b 成 120? 角,则 k ? _____. ? 0) b 0 3)

? ? ? ? ? ? 【例35】 已知向量 a ? (1,, , b ? (?1, , ,且 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是 1 0) 0 2)

_________.
?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 【例36】 已知 a , , 是空间中两两垂直的单位向量, m ? a ? b , n ? b ? c ,则 m 与 n 的夹 b c

角为



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??? ? ???? ? 1) B ? 4) C ? 1) 则向量 AB 与 AC 的夹角为________; 【例37】 已知 A(2 , 5 , , (2 , 2 , , (1 , 4 , ,

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 【例38】 设 | m |? 1 ,| n |? 2 ,2m ? n 与 m ? 3n 垂直,a ? 4m ? n ,b ? 7m ? 2n , | a |? _____, 则 ? ? ? . | b |? ______, ?a , ? ? b

???? ???? ???? ???? ???? ???? 【例39】 已 知 O 为 原 点 , 向 量 O A? ( 3,0 1) O B? ? ,, , )O C? O A ∥ ,, ( 1 1 2 , B C ,A O则 ???? AC ? ________.

【例40】 已 知 PD 垂 直 正 方 形 A B C D 在 平 面 , AB ? 2 , E 是 PB 的 中 点 , 所 ? ? ? ? ? ? ?? 3 c o s D P, A E ? .以 DA 、 DC 、 DP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空 ? ? 3 间坐标系,则点 E 的坐标为 又在平面 PAD 内有一点 F ,当点 F 是 ; 时, EF ? 平面 PCB .

0 0) B b 0) C 0 c 【例41】 已知点 A(a , , , (0 , , , (0 , , ) ,其中 abc ? 0 ,求平面 ABC 的一个法向

量.

2 3) B 1 6) C ? 5) 【例42】 已知空间三点 A(0 , , , (2 ,, , (1, 1, , ??? ???? ? ⑴ 求以向量 AB , 为一组邻边的平行四边形的面积 S ; AC ??? ???? ? ? ? ? ⑵ 若向量 a 分别与向量 AB , 垂直,且 | a |? 3 ,求向量 a 的坐标. AC

? ? 【例43】 已知 a ? (1,, 6) , b ? (2 , , , 1 2 0) ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? b , a ? b , ?a , ? ; 求 b ? ? ⑵ 求与 a , 同时垂直的单位向量. b ? ? ⑶ 当实数 ? 的值为多少时, a ? ? b 的模最小. ??? ? 【例44】 已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 A B C D 在 平 面 外 一 点 , AB ? ( 2 , ? 1 ? 所 , ???? ??? ? AD ? (4 , 2 , 0) , AP ? (?1, 2 , ? 1) . ??? ? ⑴ 求证: AP 是平面 ABCD 的法向量;⑵ 求平行四边形 ABCD 的面积.

, 4)

0 1) B 4 6) C 2 3) D 14 17) B C D 【例45】 已知 A(1, , , (4 , , , (2 , , , (10 , , ,求证: A , , , 共面.

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? ? ? 【例46】 已知 a ? (5 , 2 , , b ? (?1, , 2) , c ? (0 ,, , ? 0) 1 2) 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ (a ? b) ? (b ? 2c) , | a ? 2b ? 2c | ; 求 ? ? ⑵ 问当实数 ? 的值为多少时, b ? ? c 的模最小; ? ? ? ⑶ 问是否在实数 ? ,使得向量 a 垂直于向量 b ? ? c ; ? ? ? ⑷ 问是否在实数 ? ,使得向量 a 平行于向量 b ? ? c .

? ? ? ? ? 【例47】 设向量 a ? (3 , , 4) ,b ? (2 ,, ,试确定 ? , 的关系,使 ? a ? ?b 与 z 轴垂直. 5 ? 1 8)

0 1) B y 4) C B C 【例48】 已知 A(?1, , , (x , , , (1,4,7),且 A , , 三点在同一直线上,求实数

x , 的值. y

【例49】 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

2 4) 4 3) 2 1) 4 2) 【例50】 已知 A(2 , , , B(?1, , , C (?2 , , , D(?1, , ,

⑴ 求线段 AC 、 BD 的长; ⑵ 求证:这四点 A 、 B 、 C 、 D 共面; ⑶ 求证: AB ∥ CD , AC ? BD ; ? ???? ??? ⑷ 求向量 AC 与 AB 所成的角.

? 5) 2 3) 1 6) 【例51】 已知 A(0 , , , B(?2 ,, , C (1 , 1 , ,

⑴ 求平面 ABC 的一个单位法向量; ? ⑵ 证明:向量 a ? (3 , 4 , 与平面 ABC 平行. ? 1)

? ? ? 【例52】 已知 a ? (1, , 2) , b ? (3 , , , c ? (?2 , 4 , , 2 ? 4 0) ? 3) ? ? ? ? ? ⑴ a ? b ? c , 3b ? 2c ; 求 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵ 计算: (a ? b ? c) ? (3b ? 2c) , | a ? b ? c | , ?a , ? b ? c? ; a ? ? ? ⑶ 写出与向量 a ? b ? c 平行的单位向量; ? ? ⑷ 写出与向量 a , 同时垂直的,且长度为 26 的向量; b ? ? ? ⑸ 当实数 ? 的值为多少时, a ? (b ? ? c) .

??? ? 【例53】 四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, AB ? ? 2 , 1, 4? , ? ? ???? ??? ? AD ? ? 4 , , ? , AP ? ? ?1, , 1? . 2 0 2 ?
⑴ 求证: PA ? 平面 ABCD .
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⑵ 求四棱锥 P ? ABCD 的体积; ? ? ? ⑶ 对于向量 a ? ( x1 , 1 ,1 ) , ? ( x2 , 2 ,2 ) , c ? ( x3 , 3 ,3 ) ,定义一种运算: y z b y z y z ? ? ? (a ? b) ? c ? x1 y2 z3 ? x2 y3 z1 ? x3 y1 z2 ? x1 y3 z2 ? x2 y1 z3 ? x3 y2 z1 , ??? ???? ??? ? ? 试计算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值;说明其与四棱锥 P ? ABCD 的体积的关系,并由 ??? ???? ??? ? ? 此猜想向量这一运算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值的几何意义.

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