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4.4.2定积分的概念与微积分基本定理练习题


第4讲
【复习目标】

定积分的概念与微积分基本定理练习题

1.考查定积分的概念,定积分的几何意义,微积分基本定理. 2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程.
【重点难点】

1.考查定积分的概念,定积分的几何意义,微积分基本定理. 2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速

运动的质点的运动路程.
【高考要求】B 级 【基础过关】

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2013· 大连模拟)已知 f(x)为偶函数且?6f(x)dx=8,则?6 f(x)dx 等于( ?0 ?-6 A.0 B.4 解析 C.8 D.16 ).

因为 f(x)为偶函数,图像关于 y 轴对称,所以

6 6 ? f(x)dx=2? f(x)dx=8×2=16. ?0 ?-6

答案

D ).

2.(2013· 唐山模拟)已知 f(x)=2-|x|,则?2 f(x)dx 等于( ?-1 7 A.3 B.4 C.2 解析 9 D.2

?2-x(x≥0), f(x)=2-|x|=? ?2+x(x<0),

x2?? 0 x2?? 2 3 ? ? ∴?2 f(x)dx= ?0 (2+x)dx+ ?2(2-x)dx= ?2x+ 2 ?? -1 + ? 2x- 2 ?? 0 = 2 +2 ? ?? ?? ? ?0 ?-1 ?-1 7 =2. 答案 C

3.函数 f(x)满足 f(0)=0,其导函数 f′(x)的图像如图所示,则 f(x)的图像与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( 1 A.3 4 B.3 ).

8 C.2 D.3 解析 由导函数 f′(x)的图像可知函数 f(x)为二次函数,且对称轴为 x=-1,开

口方向向上.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),由 f(0)=0,得 c=0.f′(x)=2ax+b, ?2a×(-1)+b=0, ?a=1, 因过点(-1, 0)与(0, 则有? 2), ∴? ∴f(x)=x2+2x, 2a×0+b=2, b=2. ? ? 则 f(x)的图像与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 S= ?0 (-x2 -2x)dx= ?-2 1 4 ? 1 3 2??0 ?-3x -x ?? -2= ×(-2)3+(-2)2= . 3 3 ? ?? 答案 B ).

1? ? 4.若?a?2x+ x?dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是 ( ? ?1? A.2 B.3 C.4 解析 答案 ?? ?1? A
a?2x+

D.6
a

1? ? ?dx=(x2+ln x)? =a2+ln a-1=3+ln 2,即 a=2. x? ?1

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知 t>0,若?t (2x-1)dx=6,则 t=________. ?0 解析 ? 2 ? (2x-1)dx=(x -x)? =t -t=6, ?0 ?0
t 2 t

解得 t=3(t=-2 舍去). 答案 3

6.(2012· 山东)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面 积为 a2,则 a=________. 解析 答案 3?a 2 3 4 S=?a xdx= 2x2? 0=3a2=a2,∴a=9. 3 ? ?0 4 9

三、解答题(共 25 分)

f(x) 17 7.(12 分)已知 f(x)是一次函数,且?1f(x)dx=5,?1xf(x)dx= 6 ,求?2 x dx ?0 ?0 ?1 的值. 解 ∵f(x)是一次函数,∴可设 f(x)=ax+b(a≠0).
1 1 1

?1 ?? 1 ∴? f(x)dx=? (ax+b)dx=?2ax2+bx?? =2a+b. ? ??0 ?0 ?0 1 ∴2a+b=5.① 又?1xf(x)dx=?1x(ax+b)dx ?0 ?0 1 ?? 1 1 ?1 =?3ax3+2bx2?? =3a+2b. ? ??0 1 1 17 ∴3a+2b= 6 .② 解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3, f(x) 4x+3 3? ? ∴?2 x dx=?2 x dx=?2?4+x?dx ? ?1 ?1 ?1? ? =(4x+3ln x)? =4+3ln 2. ?1 8.(13 分)如图所示,
2 1

直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分, k 的值. 求 解 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1,

所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积
2 ?x 1 3??1 1 S=? (x-x )dx= ? 2 -3x ?? 0=6. ? ?? ?0 1 2

又抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,x4=1-k,所以, ? 1-k 2 1 3??1-k S =?1-k(x-x2-kx)dx=? x -3x ?? 0 2 ? ?? ? 2
0

1 =6(1-k)3. 1 1 又知 S=6,所以(1-k)3=2, 3 3 1 4 于是 k=1- 2=1- 2 .


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