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基本不等式求最值的类型与方法,经典大全


专题:基本不等式求最值的类型及方法
一、几个重要的基本不等式: ① a ? b ? 2ab ? ab ?
2 2

解析: y ? x ?

1 1 x ?1 x ?1 1 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ? 1( x ? 1) ? ? ? ? 1( x ? 1) 2 2 2( x ? 1) 2( x ? 1

) 2 2 2( x ? 1)2
3 5 x ?1 x ?1 1 ? ? ?1 ? ? 1 ? , 2 2 2 2 2 2( x ?1) 5 x ?1 1 ? ( x ? 1) 即 x ? 2 时,“=”号成立,故此函数最小值是 。 2 2 2 2( x ? 1)

a ?b (a、b ? R), 当且仅当 a = b 时,“=”号成立; 2
2 2

? 33

?a?b? ? ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ? 当且仅当 a = b 时,“=”号成立; ? (a、b ? R ), ? 2 ?
③ a ? b ? c ? 3abc ? abc ?
3 3 3

2

当且仅当

a3 ? b3 ? c3 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立; (a、b、c ? R ? ), 3
3

评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例 2、求下列函数的最大值:
2 ① y ? x (3 ? 2 x )(0 ? x ?

?a?b?c? ? ④ a ? b ? c ? 3 abc ? abc ? ? ? (a、b、c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立. 3 ? ?
3

3 ) 2

② y ? sin x cos x(0 ? x ?
2

?

2

)

注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:

解析:①

2

1 ? a b

a?b ? ab ? ? 1 2

a 2 ? b2 。 2

3 ,∴3 ? 2 x ? 0 , 2 3 x ? x ? (3 ? 2 x) 3 2 ] ? 1, ∴ y ? x (3 ? 2 x)(0 ? x ? ) ? x ? x ? (3 ? 2 x) ? [ 2 3 当且仅当 x ? 3 ? 2 x 即 x ? 1 时,“=”号成立,故此函数最大值是 1。 0? x? 0? x?

b 二、函数 f ( x) ? ax ? ( a、b ? 0) 图象及性质 x
(1)函数 f ( x) ? ax ?



?

2

,∴sin x ? 0, cos x ? 0 ,则 y ? 0 ,欲求 y 的最大值,可先求 y 2 的最大值。

y
? b 2 ab a

b ?a、b ? 0? 图象如图: x b ?a、b ? 0? 性质: x

1 sin 2 x ? sin 2 x ? 2cos2 x 3 4 1 ) ? , y2 ? sin4 x ? cos2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? (sin 2 x ? sin 2 x ? 2cos 2 x) ? ? ( 2 2 3 27

o
? 2 ab

x
b a

2 2 当且仅当 sin x ? 2cos x (0 ? x ?

?
2

) ? tan x ? 2 ,即 x ? arc tan 2 时 “=”号成立,故

(2)函数 f ( x) ? ax ?

此函数最大值是

①值域: (??,?2 ab] ? [2 ab,??) ; ②单调递增区间: (??, ?

2 3 。 9

b b ] ,[ , ??) ;单调递减区间: (0, a a

b b , 0) . ] , [? a a

评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。

三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例 1、求函数 y ? x ?

1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2

4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x b 解 法 一 : ( 单 调 性法 )由 函 数 f ( x) ? ax ? ( a、b ? 0) 图 象 及 性 质 知 ,当 x ? (0,1] 时 , 函 数 x 4 f ( x) ? x ? 是减函数。证明:任取 x1 , x2 ? (0,1] 且 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 x
例 3、若 x、y ? R ,求 f ( x) ? x ?
?

1

2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? (

x ?x x x ?4 4 4 , ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? 4 ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 x2

当且仅当 x ? 8 ?

16 即 x ? 12, 此时y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 x ?8

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 0, 即 f ( x) ? x ?

4 4 在 (0,1] 上是减函数。故当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 在 (0,1] 上有最小值 5。 x x

?8 8 ? ? sin 2 x x? ? ? x ? sin 2 x 解法三:(三角换元法)令 ? 则有 ? ? 1 ? 1 ? cos 2 x ?y ? ? ?y cos 2 x ? ?
则: x ? 2 y ?

解法二:(配方法)因 0 ? x ? 1 ,则有 f ( x) ? x ?

2 4 ?( ? x )2 ? 4 , x x

8 2 ? 2 ? 8csc2 x ? 2sec2 x ? 8(1 ? cot 2 x) ? 2(1 ? tan 2 x) ? 10 ? 8cot 2 x ? 2tan 2 x 2 sin x cos x

? 10 ? 2 (8cot 2 x) ? (2 tan 2 x) ? 18 ,易求得 x ? 12, 此时y ? 3 时“=”号成立,故最小值是 18。
评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:

易知当 0 ? x ? 1 时, ? ? 即 f ( x) ? x ?

2 2 ? x ? 0 且单调递减,则 f ( x) ? ( ? x )2 ? 4 在 (0,1] 上也是减函数, x x

4 4 在 (0,1] 上是减函数,当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 在 (0,1] 上有最小值 5。 x x
1 3 4 1 3 (0 ? x ? 1) ? ( x ? ) ? ? 2 x ? ? ? 5 , x x x x 1

8 1 8 1 x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 2 ? ? x ? 2 y ? 8 。原因就是等号成立的条件不一致。 x y x y
类型Ⅴ:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。 解法一:由 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? x ? y ? 3 ? xy ? 3 ? x ? y ? 2 xy , 即 ( xy ) ? 2 xy ? 3 ? 0 解得
2

解法三:(拆分法) f ( x) ? x ?

当且仅当 x ? 1 时“=”号成立,故此函数最小值是 5。 评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法具有一般性,配方法及拆分法 也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ:条件最值问题。 例 4、已知正数 x、y 满足

xy ? ?1 (舍)或 xy ? 3 ,

当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 又 x ? y ? 3 ? xy ? (

8 1 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y
8 x 1 y x 16 y x 16 y ? ? 10 ? 2 ? ? 18 , y x y x

x? y 2 ) ? ( x ? y)2 ? 4( x ? y) ?12 ? 0 ? x ? y ? ?2(舍)或x ? y ? 6 , 2

解法一:(利用均值不等式) x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 10 ?

当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 x ? y 的取值范围是 [6, ??) 。 解法二:由 x ? 0, y ? 0 , xy ? x ? y ? 3 ? ( x ? 1) y ? x ? 3 知 x ? 1 , 则: y ? 则: xy ? x ?

?8 1 ?x ? y ?1 当且仅当 ? 即 x ? 12, y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 ? x 16 y ? ? ? x ?y
解法二:(消元法)由

x?3 x?3 ? 0 ? x ? 1, ,由 y ? 0 ? x ?1 x ?1

x x 8 1 ,由 y ? 0 ? ? 0又x ? 0 ? x ? 8 ,则 ? ?1得 y ? x ?8 x ?8 x y

4 x ? 3 x 2 ? 3x ( x ? 1)2 ? 5( x ? 1) ? 4 4 ? ? ? ( x ? 1) ? ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ?5 ? 9, x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
4 ( x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 x ?1

当且仅当 x ? 1 ?

x ? 2y ? x ?

16 2x 2( x ? 8) ? 16 16 16 ? x? ? x?2? ? ( x ? 8) ? ? 10 ? 2 ( x ? 8) ? ? 10 ? 18 。 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8
3

x? y ? x?

x?3 x ?1 ? 4 4 4 4 ? x? ? x? ? 1 ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) ? ?2?6, x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
4

当且仅当 x ? 1 ?

4 ( x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 x ?1

当且仅当 2 x ?

评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析:

9 ,即 x ? x2

3

3 36 36 时等号成立,所以当 x ? 时, ymin ? 33 36 。 2 2

? x ? 4?? x ? 9? 例 1. 求函数 y ? 的最值。 x

例 3. 求 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

( x ? R) 的最小值。

? x ? 4?? x ? 9? x 2 ? 13x ? 36 36 36 ? ? 13 ? x ? ? 13 ? 2 x ? ? 25 错解: y ? x x x x
当且仅当 x ?

错解:因为 y ?

x2 ? 5 x ?4
2

? x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

?2

x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

? 2 ,所以 ymin ? 2
2

36 即 x ? ?6 时取等号。所以当 x ? ?6 时,y 的最小值为 25,此函数没有最大值。 x

分析:忽视了取最小值时须 x ? 4 ?
2

1 x ?4
2

成立的条件,而此式化解得 x ? ?3 ,无解,所

分析:上述解题过程中应用了均值不等式,却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。 因为函数 y ?

? x ? 4?? x ? 9? 的定义域为 ???,0? ??0, ? ?? , 所以须对 x 的正负加以分类讨论。 x

以原函数 y 取不到最小值 2 。 正解:令 t ?

36 36 正解:1)当 x ? 0 时, y ? 13 ? x ? ? 13 ? 2 x ? ? 25 x x
当且仅当 x ?

36 即 x ? 6 时取等号。所以当 x ? 6 时, ymin ? 25 x 36 36 36 ?? ? ? ? 2 ?? x ?? ?? ? ? ? 12 ? 0 , ?? x ? ? ? ? ? ? x x x?

1 x 2 ? 4 ?t ? 2? ,则 y ? t ? (t ? 2 ) t 1 5 又因为 t ? 1 时, y ? t ? 是递增的。所以当 t ? 2 ,即 x ? 0 时, y min ? 。 t 2

例 4.已知 x, y ? R ? 且

2)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , ?

1 4 ? ? 1 ,求 u ? x ? y 的最小值. x y

36 ? y ? 13 ? [( ? x) ? (? )] ? 13 ? 12 ? 1 x 36 当且仅当 ? x ? ? ,即 x ? ?6 时取等号,所以当 x ? ?6 时, ymax ? 13 ? 12 ? 1. x 9 例 2. 当 x ? 0 时,求 y ? 4 x ? 2 的最小值。 x
错解:因为 x ? 0 ,y ? 4 x ?

错解:?1 ?

1 4 4 ? ? ? xy ? 4 ,?u ? x ? y ? 2 xy ? 8 ,? u 的最小值为 8 . x y xy
1 4 ? 和 x ? y ,而这两个式子不能同 x y

分析:解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为 时成立,故取不到最小值 8 . 正解: u ? ( x ? y )( ?

9 9 6 ? 2 4x ? 2 ? 2 x x x

1 x

4 4x y ) ? 5? ? ? 5?4 ? 9 y y x

所以当且仅当 4 x ?

3 9 6 9 ? 2 3 18 。 即x ? 时, y min ? 2 x x 4

当且仅当

4x y ? 即 x ? 3, y ? 6 时等号成立. ? u 的最小值为 9 . y x

分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时,必须分别满足“积为定值”或“和为定值”,而上述解法 中 4x 与

9 的积不是定值,导致错误。 x2
3 9 9 9 ? 2 x ? 2 x ? ? 3 2 x ? 2 x ? 2 ? 33 36 2 2 x x x

正解:因为 x ? 0 ,y ? 4 x ?

综上所述,应用均值不等式求最值要注意: 一要正:各项或各因式必须为正数; 二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如 果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错; 三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。

5

6

技巧一:凑项

5 例 1:已知 x ? ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2) 拆、凑项,

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ?2, ??? ,故等号不成立,考虑单调性。

1 t

1 t

1 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行 4x ? 5

因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ?2, ??? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。

1 t

5 。 2

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 , 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

?5 ?2

? ?

当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

技巧六: 整体代换: 多次连用最值定理求最值时, 要注意取等号的条件的一致性, 否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

技巧二:凑系数 例 2. 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,注意到

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。

解:

? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y


技巧三: 分离

,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
)
2

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1
解:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。

巩固练习:
2 2 2 2 1、已知: x ? y ? a, m ? n ? b 且 a ? b ,则 mx ? ny 的最大值为(

(A) ab
?

(B)

a?b 2

(C)

a ?b 2
2

2

(D)

a ?b 2
2

2、若 a, x, y ? R ,且 x ? 当 ,即 时, y ? 2 (x ? 1) ?

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(
(C)2
? 5

)

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

(A) 2 2

(B) 2
3

(D)1
5

3、已知下列不等式:① x ? 3 ? 2x( x ? R ) ;② a ? b ? a 3b 2 ? a 2 b 3 (a, b ? R ? ) ; ③ a 2 ? b 2 ? 2(a ? b ? 1) .其中正确的个数是( (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 4、设 a, b ? R ,则下列不等式中不成立的是( (A) (a ? b)(
2 2

技巧四:换元

解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 例:求函数 y ?

) (D)3 个 ) (D)

?

a 的单调性。 x

1 1 1 a ?b ? ) ? 4 (B) ?2 ? 2 ab (C) ab ? a b ab ab ? 5、设 a, b ? R 且 2a ? b ? 1, S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值是( )

2ab ? ab a?b

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 ?1 (C) 2 ? 1 2 a b 6、若实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是(
(A) 2 ? 1 (B) (A)18 (B)6 (C) 2 3 7、若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是
8、若 x, y ? R ,且 2 x ?
?

(D) )

2 ?1 2

(D) 24 3 .
. 基本不等式

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) 2 t x ?4

1

y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 x y
8

知识点:
7

1. (1)若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab (2)若 a, b ? R ,则 ab ? “=”) 2. (1)若 a, b ? R * ,则 “=”)

a2 ? b2 2

(当且仅当 a ? b 时取

1 (2)当 x>0 时,y=x+ ≥2 x

1 x· x

=2; 1 x· x

a?b * ? ab (2)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2 ab 2
2

(当且仅当 a ? b 时取

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知 x ?

=-2

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?

(当且仅当 a ? b 时取“=”)

1 3.若 x ? 0 ,则 x ? ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=”) x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=”) x
若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x 4. 若 ab ? 0 , 则 a ? b ? 2 b a (当且仅当 a ? b 时取“=”)

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
1 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进 4x ? 5

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2) 行拆、凑项,

( 当 且 仅 当 a ? b 时 取 “ = ” ) 若 ab ? 0 , 则

a b ? ? 2即 b a

a b ? 2 ? 或 b a

a b (当且仅当 a ? b 时取“=”) ? -? 2 b a

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?

a ? b 2 a2 ? b2 5.若 a, b ? R ,则 ( (当且仅当 a ? b 时取“=”) ) ? 2 2
注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的 应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 解:(1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x 1 1 (2)y=x+ 当

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

技巧二:凑系数 例: 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 解析:由 上一个系数即可。 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为 两个式子积的形式, 但其和不是定值。 注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值, 故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑

,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

变式:设 0 ? x ?

x

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

1 3x 2· 2 = 2x

6 ∴值域为[

6 ,+∞)

2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ? 3 ? 2 x ? 0 解:∵ 0 ? x ? ∴ ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? 2 2 2 ? ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?
10

9

错 .解 .: 技巧三: 分离 技巧四:换元 例:求 y ?

x ? 0, y ? 0 , 且

1 9 ? ? ? ? 1 , ? x ? y ? ? 1 ? 9 ? ? x ? y ? ? 2 9 2 xy ? 12 x y x y xy ? ?



x ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1
2

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用均值不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等
x y xy

解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。 号成立条件是 当 ,即 时, y ? 2 (x ? 1) ?

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处 x y

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解:

解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 y? = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t
技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x) ? x ? 例:求函数 y ?

? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当 技巧七

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
y2
2

a 的单调性。 x

例:已知 x,y 为正实数,且 x +

2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

x2 ? 5 x ?4
2

的值域。

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤

a 2+b 2
2 1+y

。 1+y 2 2· 2

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

同时还应化简 1 2

1+y

2



y2

前面的系数为

1 2



x

2

=x



2

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ??? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ??? 为单调递增函数,故 y ?

1 t

1 t

1 t

5 。 2





y2
2 1 2 +

?5 ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 ?2 ?
技巧六:整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

下面将 x,

y2
2

分别看成两个因式: 1 2 2 y2 2 y2 1 x 2+ + 2 2 2


1 2

1 2 +



y2
2 ≤

x 2+( ≤ 3 4



)2 =



3 4

即 x

1+y

2



2 ·x

1 9 ? ? 1,求 x ? y 的最小值。 x y
11

y2
2

2
12

技巧八: 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1

又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2

ab

的最小值.

当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题, 再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本 题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等 式放缩后,再通过解不等式的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1 由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 16 t· =8

应用二:利用均值不等式证明不等式 例:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又
1 1 ? a b ? c 2 bc ,可由此变形入手。 ?1 ? ? ? a a a a

ab=

30-2b

b+1

-2 b ·b=

2+30b

b+1

解:

a、b、c ? R , a ? b ? c ? 1 。?
?

1 2 ac 1 1 ? a b ? c 2 bc 。 同 理 ?1 ? , ?1 ? ? ? b b a a a a

t

t

t

t

1 2 ab 。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 ?1 ? c c

∴ ab≤18

∴ y≥

1 18

当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 2 ab 2 ≤u≤3 2 ∴ 30-ab≥2 2 ab

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 令 u= ∴

ab

则 u2+2

2 u-30≤0, -5 1 18

ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

点评:①本题考查不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由 2
?

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

已知不等式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b与ab 之间的关 (a, b ? R ) 系,由此想到不等式 得 ab 的范围. 技巧九、取平方 例: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 2 2 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解 2

?1 ?

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若

a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8
13

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0
14

Q?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

∴R>Q>P。

15

16


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