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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):5.3等 比 数 列


课时跟踪检测(三十二) 等 比 数 列

1.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3·9=2a2,a2=1,则 a1=( a 5 1 A. 2 C. 2 B. 2 2

)

D.2

2.(2012· 德州模拟)设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}前 7 项

的和为( A.63 C.127 ) B.64 D.128

3.(2012· 东城区模拟)设数列{an}满足:2an=an+1(an≠0)(n∈N+),且前 n 项和为 Sn,则 S4 的值为( a2 15 A. 2 C.4 ) 15 B. 4 D.2 )

4.已知等比数列{an}中,an>0,a10a11=e,则 ln a1+ln a2+?+ln a20 的值为( A.12 C.8 B.10 D.e

5.(2013· 太原模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14, 则 S4n 等于( A.80 C.26 ) B.30 D.16 )

6.已知数列{an},则“an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列”是“a2+1=anan+2”的( n A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 7.已知各项不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且

b7=a7,则 b6b8=________. 8.(2012· 江西高考)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,则对任意的 n ∈N+,都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=________. 9.(2013· 西城期末)已知{an}是公比为 2 的等比数列,若 a3-a1=6,则 a1=________; 1 1 1 + +?+ 2=________. a2 a2 an 1 2 10.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求 a1+a3+?+a2n+1.

11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n∈N+). (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足 bn+1=an+bn(n∈N+),且 b1=2,求数列{bn}的通项公式.

12.(2012· 山东高考)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N+,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求数列{bm}的 前 m 项和 Sm.

1.(2012· 山西四校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则数列{an}的奇数项的前 n 项和为(


) 2n 1-2 B. 3 22n-2 D. 3


2n 1-1 A. 3 22n-1 C. 3

2.(2012· 浙江高考)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3a2+2, S4=3a4+2,则 q=________. 3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 an≠0,a1 为常数,且-a1,Sn,an+1 成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=1-Sn,问:是否存在 a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出 a1 的值;若 不存在,请说明理由.





课时跟踪检测(三十二) A级 1.选 B 设{an}的公比为 q(q>0), 则由 a3a9=2a2得 a2=2a2,q= 2, 5 6 5 a2 2 则 a1= = . q 2

a1?1-q7? a5 2.选 C 由 a1=1,a5=16,得 q4= =16,q=2,S7= =127. a1 1-q a1?1-24? 1-2 S4 15 3.选 A 由题意知,数列{an}是以 2 为公比的等比数列,故 = = . a2 2 a1×2 4.选 B ln a1+ln a2+?+ln a20=ln[(a1· 20)· 2a19)· 10a11)]=ln e10=10. a (a …(a

5.选 B 设 S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知:2(14-a)=(a-2)2,解得 a=6 或 a =-4(舍去), 同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以 b=S4n=30. 6.选 A 显然,n∈N+,an,an+1,an+2 成等比数列,则 a2+1=anan+2,反之,则不一 n 定成立,举反例,如数列为 1,0,0,0,? 7.解析:由题意可知,b6b8=b2=a2=2(a3+a11)=4a7, 7 7 ∵a7≠0,∴a7=4,∴b6b8=16. 答案:16 8.解析:由题意知 a3+a2-2a1=0,设公比为 q,则 a1(q2+q-2)=0.由 q2+q-2=0 a1?1-q5? 1-?-2?5 解得 q=-2 或 q=1(舍去),则 S5= = =11. 3 1-q 答案:11 9.解析:∵{an}是公比为 2 的等比数列, 1 1 1 1 - 且 a3-a1=6,∴4a1-a1=6,即 a1=2,故 an=a12n 1=2n,∴ =?2?n, 2=?4?n,即 ? ? an ? ? an
?1? 1 1 数列?a2?是首项为 ,公比为 的等比数列, 4 4 ? n?

1? 1? ?1-4n? 1 1 1 4 ∴ 2+ 2+?+ 2= a1 a2 an 1 1- 4 1 1 = ?1-4n?. ? 3? 答案:2 1? 1? ?1-4n? 3


10.解:(1)∵S1=a1=1,且数列{Sn}是以 2 为公比的等比数列,∴Sn=2n 1, 又当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 2(2-1)=2n 2.
?1,n=1, ? ∴an=? n-2 ? ?2 ,n≥2.
- -

(2)a3,a5,?,a2n+1 是以 2 为首项,以 4 为公比的等比数列, 2?1-4n? ∴a3+a5+?+a2n+1= 1-4



2?4n-1? . 3

2?4n-1? ∴a1+a3+?+a2n+1=1+ 3 22n 1+1 = . 3 11.解:(1)证明:依题意 Sn=4an-3(n∈N+), n=1 时,a1=4a1-3,解得 a1=1. 因为 Sn=4an-3, 则 Sn-1=4an-1-3(n≥2), 所以当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 4 整理得 an= an-1. 3 又 a1=1≠0, 4 所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列. 3 4 - (2)因为 an=?3?n 1, ? ? 由 bn+1=an+bn(n∈N+), 4 - 得 bn+1-bn=?3?n 1. ? ? 可得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1) 4 - 1-?3?n 1 ? ? ?4 - =2+ =3·3?n 1-1(n≥2), ? ? 4 1- 3 当 n=1 时也满足,


?4 - 所以数列{bn}的通项公式为 bn=3·3?n 1-1. ? ?
12.解:(1)因为{an}是一个等差数列, 所以 a3+a4+a5=3a4=84,所以 a4=28. 设数列{an}的公差为 d, 则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d 得 28=a1+3×9,即 a1=1,所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n ∈N+). (2)对 m∈N+,若 9m<an<92m, 则 9m+8<9n<92m+8,

因此 9m 1+1≤n≤92m 1, 故得 bm=92m 1-9m 1. 于是 Sm=b1+b2+b3+?+bm =(9+93+?+92m 1)-(1+9+?+9m 1) = = 9×?1-81m? ?1-9m? - 1-81 1-9 92m 1-10×9m+1 . 80 B级 1.选 C 依题意得当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1;当 n=1 时,a1=S1=2-1=1,an =2n
-1 - + - - - -





an+1 - 也适合 a1.因此,an=2n 1, =2,数列{an}是等比数列,数列{an}的奇数项的前 n an

1×?1-22n? 22n-1 项和为 = . 3 1-22 2.解析:法一:S4=S2+a3+a4=3a2+2+a3+a4=3a4+2,将 a3=a2q,a4=a2q2 代入 得,3a2+2+a2q+a2q2=3a2q2+2,化简得 2q2-q-3=0, 3 解得 q= (q=-1 不合题意,舍去). 2 法二:设等比数列{an}的首项为 a1,由 S2=3a2+2,得 a1(1+q)=3a1q+2;① 由 S4=3a4+2, 得 a1(1+q)(1+q2)=3a1q3+2.② 由②-①得 a1q2(1+q)=3a1q(q2-1). 3 ∵q>0,∴q= . 2 3 答案: 2 3.解:(1)依题意,得 2Sn=an+1-a1.
?2Sn=an+1-a1, ? 当 n≥2 时,有? ? ?2Sn-1=an-a1.

两式相减,得 an+1=3an(n≥2). 又因为 a2=2S1+a1=3a1,an≠0, 所以数列{an}是首项为 a1,公比为 3 的等比数列. 因此,an=a1·n 1(n∈N+). 3 a1?1-3n? 1 1 (2)因为 Sn= = a1·n- a1, 3 2 2 1-3


1 1 bn=1-Sn=1+ a1- a1·n. 3 2 2 1 要使{bn}为等比数列,当且仅当 1+ a1=0,即 a1=-2. 2 所以存在 a1=-2,使数列{bn}为等比数列.


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