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高中数学立体几何知识点总结2


高中数学之立体几何
平面的基本性质
公理 1 公理 2 公共直线. 公理 3 推论 1 推论 2 推论 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上

所有的点都 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的 在这个平面内.

空间线面的位置关系
共面—平行—没有公共点 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 (3)平面与平面 直线不在平面内 (直线在平面外) 平行—没有公共点 相交—有且只有一公共点

相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点

两直线平行的判定
①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行,即若 a∥α ,a ?β ,α ∩β =b,则 a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α ∥β ,α ∩γ , β ∩γ =b,则 a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行, 那么这条直线与这两个平面的交线 平行,即若α ∩β =b,a∥α ,a∥β ,则 a∥b.

两直线垂直的判定
1.定义:若两直线成 90°角,则这两直线互相垂直. 2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若 b∥c,a

⊥b,则 a⊥c 3.一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若 a ⊥α ,b ? α ,a⊥b.? 4.如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即 若 a∥α ,b⊥α ,则 a⊥b. 5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即若α ⊥β ,β ⊥γ ,γ ⊥α ,且α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c,则 a⊥b,b⊥c,c⊥a.

直线与平面平行的判定
①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 则这条直线与这个平 面平行.即若 a ? α ,b ? α ,a∥b,则 a∥α . ③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若 α ∥ β ,l ? α ,则 l∥β . ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面, 那么这条直线和这 个平面平行.即若α ⊥β ,l⊥β ,l ? α ,则 l∥α . ⑤在一个平面同侧的两个点,如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两 个点的直线与这个平面平行,即若 A ? α ,B ? α ,A、B 在α 同侧,且 A、B 到α 等距,则 AB∥α . ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行, 即若α ∥β ,a ? α ,a ? β ,a∥α ,则α ∥β . ⑦如果一条直线与一个平面垂直, 则平面外与这条直线垂直的直线与该平面 平行,即若 a⊥α ,b α ,b⊥a,则 b∥α . ⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面, 那么另一条也平行于这个平 面(或在这个平面内),即若 a∥b,a∥α ,b∥α (或 b ? α )

直线与平面垂直的判定
①定义: 若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个 平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于 这个平面.即若 m ? α ,n ? α ,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α . ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于同一平面. 即若 l∥a,a⊥α ,则 l⊥α . ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即 若α ∥β ,l⊥β ,则 l⊥α . ⑤如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于

另一个平面,即若α ⊥β ,a∩β =α ,l ? β ,l⊥a,则 l⊥α . ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面, 则它们的交线也垂直于第三个平 面,即若α ⊥γ ,β ⊥γ ,且 a∩β =α ,则 a⊥γ .

两平面平行的判定
①定义: 如果两个平面没有公共点, 那么这两个平面平行, 即无公共点 ? α ∥β . ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平 行,即若 a,b ? α ,a∩b=P,a∥β ,b∥β ,则α ∥β . ③垂直于同一直线的两平面平行.即若α ⊥a,β ⊥a,则α ∥β . ④平行于同一平面的两平面平行.即若α ∥β ,β ∥γ ,则α ∥γ . ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线, 则这两个 平面平行,即若 a,b ? α ,c,d ? β ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α ∥β .

两平面垂直的判定
①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互 相垂直,即二面角α -a-β =90° ? α ⊥β . ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即 若 l⊥β ,l ? α ,则α ⊥β . ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个.即若α ∥β , α ⊥γ ,则β ⊥γ .

存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条; (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条; (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个; (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条; (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个; (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个; (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个; (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一 个. 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积

S ? 2?rl ? 2?r 2

3 圆锥的表面积: S

? ? rl ? ? r 2
2

4 圆台的表面积 S

? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R 2

5 球的表面积 S ? 4? R

6 扇形的面积公式 S扇形

n? R 2 1 ? ? lr (其中 l 表示弧长, r 表示半径) 360 2

注:圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长 (二)空间几何体的体积 1.柱体的体积 V ? S底 ? h
1 2.锥体的体积 V ? S 底 ? h 3

3.台体的体积

1 V ? (S ? 3 上

S S ? 下S ) 上 下

? h

4.球体的体积 V ?

4 ? R3 3


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