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河南省实验中学2015届高三上学期第一次月考数学理试题 Word版含答案


河南省实验中学高三年级九月份月考试卷 数 学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知集合 A ? {x | 0 ? log4 x ? 1} , B ? {x | x ? 2},则 A ? CR B ? ( A. ?1 , 2? B. [2,4) C. ( 2,4) ) D. y ? x | x | D. (1,4) )

r />2、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x2 ) C. y ?

1 x

3.如图,阴影部分的面积是(

A.2 3

B.2- 3

C.

32 3

D.

35 3

4、设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) = 3x - 2 x + a(a 则 f (- 2) = ( )

R) ,

A.-1 B.-4 C.1 D.4 5、下列各组函数中表示同一函数的是( ) A. f ? x ? ? x 与 g ? x ? ?

? x?

2

B. f ? x ? ? x 与 g ? x ? ? D. f ? x ? ?

3

x3

C. f ? x ? ? x x 与 g ? x ? ? ? 6、不等式 x ?

? x 2 ???? x ? 0 ? ? 2 ? ?? x ?? x ? 0 ?

x2 ?1 与 g ? x ? ? x ? 1???? x ? 1? x ?1

1 ? 0 成立的一个充分不必要条件是( x
B. x ? ?1 或 0 ? x ? 1

) D. x ? 1

A. ?1 ? x ? 0 或 x ? 1

C. x ? ?1

7、奇函数 f ( x) 满足对任意 x ? R 都有 f (4 ? x) ? f (? x) ? 0, 且 f (1) ? 9, 则

f (2011 ) ? f (2012 ) ? f (2013 ) 的值为(
A. 6 B. 7 C. 8

) D. 0

2] 上的偶函数,当 x ??0, 2? 时, f ? x ? 是减函数,如 8、已知函数 f ? x ? 是定义在区间 [?2,

果不等式 f ?1 ? m? ? f ? m? 成立,求实数 m 的取值范围.( A. [ ?1, )



1 2

B. [1 , 2]

C. [?1 ,0]

D. ( ?1,

1 ) 2

?? x 2 ? ax ? 5, ( x ? 1) ? 9、已知函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是( ? ( x>1) ?x



A、 ?3 ≤ a <0 10、函数

B、 ?3 ≤ a ≤ ?2 的图象大致是( )

C、 a ≤ ?2

D、 a <0

A

B

C

D

11.若定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ?( x) ? f ( x) ,则 f (2011) 与

f (2009)e2 的大小关系为(
A、 f (2011) < f (2009)e C、 f (2011) > f (2009)e
3
2

). B、 f (2011) = f (2009)e D、不能确定
2
2

2

12 .若函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c 有极值点 x1 , x2 ,且 f ? x1 ? ? x1 ,则关于 x 的方程

3 ? f ? x ? ? ? 2af ? x ? ? b ? 0 的不同实根的个数是(
2



A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、函数 f ( x) ? 1 ? 2 ?
x

1 的定义域为 x?3

.

? x1 , x1 ? x2 , 2 g ? x? ? ?x , 14、 对任意两个实数 x1 , x2 , 定义 max ? x1 , x2 ? ? ? 若 f ? x? ? x ? 2 , ? x2 , x1 ? x2 .
则 max f ? x ? , g ? x ? 的最小值为

?

?



15、设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ,且当

?1? x ?[?2, 0] 时, f ( x) ? ? ? ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 ?2?
(a >1) 在区间 (?2, 6] 内恰有三个不同实根,则实数 a 的取值范围是
2

x

.
x

16、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+5)=16,当 x∈(-1,4]时,f(x)=x -2 , 则函数 f(x)在[0,2013]上的零点个数是______.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算 步骤.) 17、 (12 分)已知集合 A ? {x y ?

x 2 ? 7 x ? 18} ,集合 B ? {x y ? ln(4 ? 3x ? x2 )},集合

C ? {x m ? 2 ? x ? 2m ? 3} .
(Ⅰ)设全集 U ? R ,求 (CU A) (Ⅱ)若 C

B;

(CRA) ? ? ,求实数 m 的取值范围.

18、 (12 分)已知 f ? x ? 是定义在[—1,1]上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 m 、 n ?? ?1,1? , 且 m ? n ? 0 时有

f ?m ? ? f ?n ? ? 0. m?n

(1)判断 f ? x ? 在[—1,1]上的单调性,并证明你的结论; (2)解不等式: f ? x ?
2

? ?

1? ?? 2?

? 1 ? f? ?; ? x ?1?

(3)若 f ? x ? ≤ t ? 2at ? 1 对所有 x∈[—1,1], a ∈[—1,1]恒成立,求实数 t 的取值 范围. 19、 (12 分)对于函数 f ( x) ,若存在 x0∈R,使方程 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不 动点,已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ?1 (a≠0) .
2

(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的不动点; (2) 当 a ? 1, b ? ?2 时,求 f ( x ) 在 t, t +1 上的最小值 g (t) . (3)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;

[

]

20、 (12 分)已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1,2],函 数 g(x)=x3+x2·[f '(x)+

m ]在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围; 2

(3)若 x1,x2∈[1,+∞),比较 ln(x1x2)与 x1+x2-2 的大小.

21、 (12 分)设函数 f(x)=ln x+

m ,m∈R. x

(Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值;

(Ⅱ)讨论函数 g(x)=f '(x)-

x 零点的个数; 3

(Ⅲ)若对任意 b>a>0,

f (b) - f ( a ) <1 恒成立,求 m 的取值范围. b- a

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请 写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,直线 AB 过圆心 O ,交⊙ O 于 A, B ,直线 AF 交⊙ O 于 F (不与 B 重合),直线 l 与 ⊙ O 相切于 C ,交 AB 于 E ,且与 AF 垂直,垂足为 G ,连结 AC .

求证:(1) ?BAC ? ?CAG ;
2 (2) AC ? AE ? AF .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标

方程分别为 ? ? 4sin ? , ? cos ? ? ? (I) 求C1与C2交点的极坐标;

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

(II) 设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点已知直线 . PQ的参数方程为

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? , 求a, b的值. y ? t ?1 ? ? 2
24、 (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a , 其中a ? 1. (I) 当a=2时,求不等式f ? x ? ? 4 ? x ? 4 的解集; (II)已知关于x的不等式 f ? 2 x ? a ? ? 2 f ? x ? ? 2的解集为? x |1 ? x ? 2? , 求a的值.

参考答案 一:选择题 1--6.CDCBDD 二:填空题 13、 三:解答题 17. (Ⅰ) , , . (Ⅱ)∵ 当 时, ,∴ , , , 7—12DABACA

14. -1

15 .

16、604



时,



,解得:



综上:实数 18、

的取值范围是





解: (1)任取—1≤x1<x2≤1,则

f (x1)—f (x2)= f (x1)+f (-x2)= ∵—1≤x1<x2≤1,∴x1+(-x2)≠0,

由已知

>0,又 x1-x2<0,

∴f (x1)—f (x2)<0,即 f (x)在[—1,1]上为增函数. (2) ∵f (x)在[—1,1]上为增函数,故有

(3)由(1)可知:f(x)在[—1,1]上是增函数,且 f (1)=1,故对 x∈[—l,1],恒 有 f(x)≤1. 所以要使 f(x)≤ 即要 记 g( )= 最小值大于等于零. ≥1 成立,故 对 ,对所有 x∈[—1,1], ≥0 成立. ∈[—1,1]恒成立,

∈[—1,1],g( )≥0 恒成立,只需 g( )在[—1,1]上的

故 解得:t≤—2 或 t=0 或 t≥2. 19.解: (1)由题得: 因此有 所以 (2) 或 ,即 ,即 3 和-1 为 的不动点。 ,因为 为不动点,

t≤-1/2 时 g(t)=t*2+t-3 -1/2 <t<1/2 时 g(t)=-13/4 t≥1/2 时 g(t)=t*2-t-3 恒有两个不动点, ,

(3)因为 ∴

即 由题设 即对于任意 b∈R,有 所以有 ∴

(※)恒有两个不等实数根, 恒成立, 10 分

恒成立, ,

20. (1)当 a=-1 时,f '(x)=(x>0), 由 f '(x)>0 得 x>1,由 f '(x)<0 得 0<x<1, ∴函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). (2)∵f '(x)=(x>0),∴f '(2)=-=1,得 a=-2,f '(x)=(x>0), 3 2 2 ∴g(x)=x +(+2)x -2x,∴g '(x)=3x +(m+4)x-2, ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g'(0)=-2, ∴, 由题意知,对于任意的 t∈[1,2],g'(t)<0 恒成立, ∴,解得-<m<-9. 故 m 的取值范围是(-,-9). (3)由(1)可知,当 a=-1,x∈[1,+∞)时,f(x)≥f(1),即-ln x+x-1≥0, ∴0≤ln x≤x-1 对一切 x∈[1,+∞)恒成立. 若 x1,x2∈[1,+∞),则 0≤ln x1≤x1-1,0≤ln x2≤x2-1, ∴0≤ln x1+ln x2≤x1+x2-2,即 0≤ln(x1x2)≤x1+x2-2. 故当 x1=x2=1 时,ln(x1x2)=x1+x2-2;当 x1,x2∈[1,+∞),且 x1,x2 不全为 1 时,ln(x1x2)<x1+x2-2. 21、(Ⅰ)由题设,当 m=e 时, f(x)=ln x+,则 f '(x)=, ∴当 x∈(0,e), f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减, 当 x∈(e,+∞), f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增, ∴x=e 时, f(x)取得极小值 f(e)=ln e+=2, ∴f(x)的极小值为 2. (Ⅱ)由题设 g(x)=f '(x)-=--(x>0), 3 令 g(x)=0,得 m=-x +x(x>0). 3 设φ (x)=-x +x(x≥0), 2 则φ '(x)=-x +1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ '(x)>0,φ (x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ '(x)<0,φ (x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是φ (x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是φ (x)的最大值点, ∴φ (x)的最大值为φ (1)=.

又φ (0)=0,结合 y=φ (x)的图象(如图),可知 ①当 m>时,函数 g(x)无零点; ②当 m=时,函数 g(x)有且只有一个零点; ③当 0<m<时,函数 g(x)有两个零点; ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 综上所述,当 m>时,函数 g(x)无零点; 当 m=或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 当 0<m<时,函数 g(x)有两个零点. (Ⅲ)对任意的 b>a>0,<1 恒成立, 等价于 f(b)-b<f(a)-a 恒成立. (*) 设 h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x>0), ∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 由 h'(x)=--1≤0 在(0,+∞)上恒成立, 2 2 得 m≥-x +x=-(x-) +(x>0)恒成立, ∴m≥(对 m=,h'(x)=0 仅在 x=时成立), ∴m 的取值范围是[,+∞) 22、(1)连结 BC,得∠ACB=∠AGC=90°.根据 GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC.∴∠BAC=∠CAG. 2 (2)连结 CF,证得△ACF∽△AEC. 推出 AC =AE·AF. 【解析】 试题分析:(1)连结 BC,∵AB 是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC.∴∠BAC=∠CAG. 5分 (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG,

∴△ACF∽△AEC. ∴

,∴AC =AE·AF.

2

10 分

23、 (I) 【解析】 ( I )圆

(II) 的直角坐标方程为 ,直线 的直角坐标方程为

联立得



所以



交点的极坐标为

(II) 由 (I) 可得, P, Q 的直角坐标为 (0,2) , (1,3) , 故, PQ 的直角坐标方程为

由参数方程可得 第一问首先利用

,所以 将极坐标方程化为直角坐标方程,求

方程组的解,最后在转化为极坐标,注意转化成极坐标后的答案不唯一。第二问主要是求得 直线 PQ 的直角坐标方程,根据所给的参数方程实现二者的联系,求得 a,b. 【考点定位】本题考查极坐标方程转化直角坐标方程以及直线的参数方程的简单应用。 24. (I) (II) ,利用几何意义可知表示数 x 到 2 与 4

【解析】 (I)解法一当 a=2 时,

的距离之和大于等于 4,又 2 和 4 之间的距离为 2,即数 x 可以 2 和 4 为标准分别向左或者向右移 1 各单位。故,不等式 的解集为 。

(I)解法二当 a=2 时,

故,不等式的解集为



(II)令



,又知

所以


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