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湖南师大附中高二年级第一学期数学期中考试(文)


湖南师大附中高二年级数学期中考试 文科试题卷
考查范围:必修 5 第三章、选修 1-1 第一、二章 时量:120 分钟 满 分:100 分(必考试卷Ⅰ ) 50 分(必考试卷Ⅱ) 命题人:黄祖军 王朝霞

必考试卷Ⅰ
一、 选择题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,满分 35 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1、若 a ? b ? 0 ,则下列不等式正确的是( ) A. a c ? b c
2 2

B. 3 a ? 3 b ? 0

C.

b ?1 a

D. ( ) ? ( )
a

1 2

1 2

b

2 2.不等式 x ? x ? 0 的解集为 M , 函数 f ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 N , 则M ? N 为 (



A. ?0,1?

B. ? 0,1?

C. ?0,1?

D. ? ?1,0?

? x ? y ? 3, ? 3.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 目标函数 z ? 4 x ? 2 y ,则有( ? y ? 1, ?
A. z 有最大值无最小值 C. z 的最小值是 8 4.以下命题:① y ? x ? ③ x? A.0 B. z 有最小值无最大值 D. z 的最大值是 10



1 ? 2 ,② 若a ? 0,b ? 0且a ? b ? 2, 则ab ? 1, x


4 的最小值为4 ,④ a ? R, a2 ? 1 ? 2a 。其中正确的个数是( x
B. 1 ) B. a ? b 是 a ? b 的充要条件
2 2

C.2

D. 3

5.下列命题为真命题的是(

2 2 A. a ? b 是 a ? b 的充分条件

C. x ? 1 是 x ? 1 的充分条件
2

D. ? ? ? 是 sin ? ? sin ? 的必要不充分条件

2 2 2 2 6.已知动点 M ( x , y ) 的坐标满足方程 ( x ? 5) ? y ? ( x ? 5) ? y ? 8 , 则 M 的轨迹方

程是(



A.

x2 y2 ? ?1 16 9

B.

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 16 9

D.

y2 x2 ? ? 1( y ? 0) 16 9
)

7.已知椭圆中心在原点, 坐标轴为对称轴, 离心率是

2 , 过点 (4, 0) ,则椭圆的方程是( 2

A.

x2 y 2 ? ?1 16 8

B.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 16 8 8 16

x2 y 2 ? ?1 C. 16 32

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 D. 16 8 16 32

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上. 8. 已知 p : 3 ? m ? 5 , q : 方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 p 是 q 的 m?2 m?5



件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 9.下列命题中: ①命题“若 ab ? 0 , 则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题是真命题; ②命题“ y ? sin x 是周期函数”的否定是“ y ? sin x 不是周期函数”;③如果 p ? q 为真命题,则 p ? q 也一定 是真命题; ④已知 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

2

其中正确的有
2

(填序号)
2

10.已 知命题 p : 方程 mx ? 4 y ? 4m(m ? R) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q : ?x ? R,

cos x ? m ? 0 恒成立. 若 p ? q 为假命题,则实数 m 的取值范围是
11.已知双曲线 C 与双曲线 标准方程是
2

.

[来源:

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线, 且过点 A( 3, ?3) , 则双曲线 C 的 3
.

12. 已 知 F 是 抛 物 线 y ? 4 x 上 的 焦点 , P 是 抛 物 线 上 的一 个动 点 , 若 动 点 M 满 足

???? ????? FP ? 2 FM,则 M 的轨迹方程是

.

x2 y2 2 2 13.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , c ? a2 ? b2 ,圆 ( x ? c ) ? y ? c 与椭圆恰有两个 a b
公共点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 3 小题,共 35 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 14. (本小题满分 11 分) 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F1 、 F2 是其左右焦点, 其离心率是 ,P是 2 a b 3

椭圆上一点,△ PF1F2 的周长是 2( 3 ? 2 ) . (1) 求椭圆的方程;
[来源:学。科。网]

(2) 试对 m 讨论直线 y ? 2 x ? m( m ? R) 与该椭圆的公共点的个数.

15. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? (lg a ? 2) x ? lg b 满足 f (1) ? 0 ,

(1) 求 a ? b 的最小值及此时 a 与 b 的值; (2)对于任意 x ? R , 恒有 f ( x) ? 2 x ? 6 成立.求 a 的取值范围

16. (本小题满分 12 分) 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , A1 、 A2 是双曲线的左右顶点, M ( x0 , y0 ) 是 a 2 b2
144 , 25

双曲线上除两顶点外的一点,直线 MA1 与直线 MA2 的斜率之积是

(1) 求双曲线的离心率; (2) 若该双曲线的焦点到渐近线的距离是 12 ,求双曲线的方程.

必考试卷Ⅱ
一、选择题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,满分 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
2 1. 已知 M 是抛物线 y ? ?8 x 上的一个动点, M 到直线 x ? 2 的距离是 d1 , M 到直线

x ? y ? 4 的距离是 d2 ,则 d1 ? d 2 的最小值是(
A. 0 B. 2 2 C.



3 2

D.不存在

二、填空题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,共 5 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上.

x2 y 2 2. 已 知 过椭 圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 焦 点 F (? 1, 0)的 弦 AB 的 中 点 M 的 坐 标是 a b
2 1 (? , ) ,则椭圆 E 的方程是 3 3
.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分 13 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地 ABCD 的一面利用旧墙 EF (利用旧 墙需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口, 如图所 示, 已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的
2

E

A

D

F

造价为 180元 / m ,设利 用的旧墙的长度为 x (单位: m )。 (1)将总费用 y 表示为 x 的函数: (2)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小, 并求出最小总费用。 B 2m C

4.(本小题满 分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1, 过椭圆的右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于点 A 、 定直线 x ? 4 B, 4 3

交 x 轴于点 K ,直线 KA 和直线 KB 的斜率分别是 k1 、 k2 . (1)若直线 l 的倾斜角是 45 ,求线段 AB 的长; (2)求证: k1 ? k2 ? 0 .
?

5. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C :y ? 2 x , 直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A 过M ,B 两点,M 是线段 AB 的中点,
2

作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程; (2)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与直线 AB 平行; (3)是否存在实数 k 使 NA?NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

??? ? ??? ?

湖南师大附中高二年级期中考试 文科试题卷
考查范围:必修 5 第三章、选修 1-1 第一、二章 时量:120 分钟 满 分:100 分(必考试卷Ⅰ ) 50 分(必考试卷Ⅱ) 命题人:黄祖军 王朝霞

必考试卷Ⅰ
一、 选择题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,满分 35 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1、若 a ? b ? 0 ,则下列不等式正确的是( ) A. a c ? b c
2 2

B. 3 a ? 3 b ? 0

C.

b ?1 a

D. ( ) ? ( )
a

1 2

1 2

b

答案 B.解析:根据不等式的性质可知,答案选 B.
2 2.不等式 x ? x ? 0 的解集为 M , 函数 f ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 N , 则M ? N 为 (



A. ?0,1?

B. ? 0,1?

C. ?0,1?

D. ? ?1,0?

? x )的定义域为 答案 A. 解析:不等式 x 2 ? x ? 0 的解集为 M ? [0,1],函数 f ( x) ? ln(1
N ? ( ??,1),故答案为 A.

? x ? y ? 3, ? 3.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 目标函数 z ? 4 x ? 2 y ,则有( ? y ? 1, ?
A. z 有最大值无最小值 C. z 的最小值是 8 B. z 有最小值无最大值 D. z 的最大值是 10



答案 D.解析:先做出可行域,如图所示,当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点(2,1)时 z 取得最大值 10. 答案为 D.

4.以下命题:① y ? x ? ③ x? A.0

1 ? 2 ,② 若a ? 0,b ? 0且a ? b ? 2, 则ab ? 1, x


4 的最小值为4 ,④ a ? R, a2 ? 1 ? 2a 。其中正确的个数是( x
B. 1 C.2 D. 3

答案 C.解析:①式在 x ? 0 的条件下才成立,故错;②式 ab ? (

a?b 2 ) ? 1 ,故正确; 2



x?

4 ? 2 4 ? 4 ,故正确;④? a2 ? 1 ? 2a ? (a ?1)2 ? 0 ,故错。答案选 C. x
) B. a ? b 是 a ? b 的充要条件
2 2

5.下列命题为真命题的是(

2 2 A. a ? b 是 a ? b 的充分条件

C. x ? 1 是 x ? 1 的充分条件
2

D. ? ? ? 是 sin ? ? sin ? 的必要不充分条件

答案

B

2 2 2 2 6.已知动点 M ( x , y ) 的坐标满足方程 ( x ? 5) ? y ? ( x ? 5) ? y ? 8 , 则 M 的轨迹方

程是( A.

) B.

x2 y2 ? ?1 16 9
答案:C

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 16 9

D.

y2 x2 ? ? 1( y ? 0) 16 9

7.已知椭圆中心在原点, 坐标轴为对称轴, 离心率是

2 , 过点 (4, 0) ,则椭圆的方程是( 2

)

A.

x2 y 2 ? ?1 16 8 x2 y 2 ? ?1 16 32

B.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 16 8 8 16 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 16 8 16 32

C.

D.

答案.D 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上.

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 p 是 q 的 8. 已知 p : 3 ? m ? 5 , q : 方程 m?2 m?5
件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 答案:必要不充分



9.下列命题中: ①命题“若 ab ? 0 , 则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题是真命题; ②命题“ y ? sin x 是周期函数”的否定是“ y ? sin x 不是周期函数”;③如果 p ? q 为真命题,则 p ? q 也一定 是真命题; ④已知 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

2

其中正确的有 解析:①②④

(填序号)

10.已 知命题 p : 方程 mx 2 ? 4 y 2 ? 4m(m ? R) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q : ?x ? R,

cos x ? m ? 0 恒成立. 若 p ? q 为假命题,则实数 m 的取值范围是
学#科#网]

.

[来源:

答案 ?1 ? m ? 4 ,解:命题 p 真时, m ? 4 ,则 p 假时, m ? 4 ;命题 q 真时, m ? ?1 , 命题 q 假时,m ? ?1 , 若 p ? q 为假命题, 则 p 假 q 假, 故实数 m 的取值范围是 ?1 ? m ? 4 .

11.已知双曲线 C 与双曲线 标准方程是 答案 ?

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线, 且过点 A( 3, ?3) , 则双曲线 C 的 3
.

x2 y2 x2 ? ? 1 ,解析:设 C 的方程 是 ? y 2 ? ? ,又过点 A( 3, ?3) ,则 ? ? ?8 , 24 8 3 x2 y2 ? ? 1. 24 8
2

即 C 的方程是 ?

12. 已 知 F 是 抛 物 线 y ? 4 x 上 的 焦点 , P 是 抛 物 线 上 的一 个动 点 , 若 动 点 M 满 足

???? ????? FP ? 2 FM,则 M 的轨迹方程是
2

.
2

答案 y ? 2 x ? 1 ,解析:用相关点代入法求解得 y ? 2 x ? 1

13.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , c ? a2 ? b2 ,圆 ( x ? c )2 ? y ? c 2 与椭圆恰有两个 a 2 b2
.

公共点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 答案 ( , 1) ,解析:据题意有 c ? a ? c ,?

1 2

1 ? e ?1 2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 35 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 14. (本小题满分 11 分) 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F1 、 F2 是其左右焦点, 其离心率是 ,P是 2 a b 3

椭圆上一点,△ PF1F2 的周长是 2( 3 ? 2 ) . (1) 求椭圆的方程;
[来源:学。科。网]

(2) 试对 m 讨论直线 y ? 2 x ? m( m ? R) 与该椭圆的公共点的个数.

?c 6 ? ? ? ?a ? 3 ?? 解(1)设椭圆的焦距是 2c ,据题意则有 ? a ,∴ b ? 1 3 c ? 2 ? ? 2a ? 2c ? 2( 3 ? 2 ) ? ?
故椭圆的方程是

x2 ? y 2 ? 1 .…………5 分 3

? y ? 2x ? m ? 2 2 (2) 联立的方程组 ? x 2 ,整理得: 13 x ? 12mx ? 3m ? 3 ? 0 2 ? ? y ?1 ?3
其判别式 ? ? 13 ?12 ? 12m
2

.…………8 分

当 ? ? 0 即 m ? ? 13 或 m ? 13 时,直线与椭圆无公共点; 当 ? ? 0 即 m ? ? 13 时,直线与椭圆恰有一个公共点; 当 ? ? 0 即 ? 13 ? m ? 13 时,直线与椭圆恰有两个不同公共点. …………11 分 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (lg a ? 2) x ? lg b 满足 f (1) ? 0 , (1) 求 a ? b 的最小值及此时 a 与 b 的值; (2)对于任意 x ? R , 恒有 f ( x) ? 2 x ? 6 成立.求 a 的取值范围 解析: (1)由 f (1) ? lg a ? lg b ?1 ? 0 可知 lg a ? lg b ? 1,? ab ? 10 且 a, b ? 0 ……3分 ∴ a ? b ? 2 ab ? 2 10 ,当且仅当 a ? b ? 10 时取等号. 即当 a ? b ? 10 时 a ? b 有最小值 2 10 …………6分
2 (2)又因为 f ( x) ? 2 x ? 6 对 x ? R 恒成立, 即 x ? (lg a ? 4) x ? lg b ? 6 ? 0 恒成立,

即 x ? (lg a ? 4) x ? 7 ? lg a ? 0 对 x ? R 恒成立, …………8分
2

故 ? ? (lg a ? 4) ? 4(7 ? lg a) ? lg a ? 4 lg a ? 12 ? 0 …………10分
2 2

解之得: ?2 ? lg a ? 6 ,则 16. (本小题满分 12 分) 已知双曲线

1 ? a ? 106 …………12分 100

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , A1 、 A2 是双曲线的左右顶点, M ( x0 , y0 ) 是 a 2 b2

双曲线上除两顶点外的一点,直线 MA1 与直线 MA2 的斜率之积是

144 , 25

(1) 求双曲线的离心率; (2) 若该双曲线的焦点到渐近线的距离是 12 ,求双曲线的方程. 解(1)因为 M ( x0 , y0 ),( x0 ? ?a) 在双曲线上, 则

x0 2 y0 2 ? 2 ?1 a2 b

?

2 2 2 y0 x0 ? a2 y0 b2 ? ………………………………3 分 ? ? 2 b2 a2 x0 ? a2 a2

又 A1 (?a, 0), A2 (a, 0) ,则 k MA ? kMA ? 1 2

y0 y0 y2 b2 144 .……5 分 ? ? 2 0 2? 2? x0 ? a x0 ? a x0 ? a a 25



13 c2 ? a2 144 ? e2 ? 1 ? ,解之得 e ? ; …………7 分 2 5 a 25

(2)取右焦点 F ( c , 0) ,一条渐近线 y ?

b x 即 bx ? ay ? 0 , a

据题意有

| bc ? 0 | a 2 ? b2

?

bc ? b ? 12 ,…………10 分 c

由(1)知

b2 144 ? ,∴ a ? 5 ,…………11 分 a 2 25

故双曲线的方程是

x2 y2 ? ? 1 …………12 分 25 144

必考试卷Ⅱ
一、选择题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,满分 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
2 1. 已知 M 是抛物线 y ? ?8 x 上的一个动点, M 到直线 x ? 2 的距离是 d1 , M 到直线

x ? y ? 4 的距离是 d2 ,则 d1 ? d 2 的最小值是(
A. 0 B. 2 2 C.



3 2

D.不存在

2 C, 解析: 直线 x ? 2 恰是抛物线 y ? ?8 x 的准线, 则 d1 等于 M 到抛物线的焦点 F ( ?2, 0)

的距离, 则 d1 ? d 2 的最小值就是焦点 F ( ?2, 0) 到直线 x ? y ? 4 的距离

| ?2 ? 0 ? 4 | 2

?3 2

二、填空题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,共 5 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上. 2. 已 知 过椭 圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 焦 点 F (? 1, 0)的 弦 AB 的 中 点 M 的 坐 标是 a 2 b2
.

2 1 (? , ) ,则椭圆 E 的方程是 3 3

x2 ? y2 ? 1 2

4 ? x1 ? x2 ? ? ? ? 3 解析: (1)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,据题意有: ? ?y ? y ? 2 1 2 ? 3 ?

? x12 y12 ? ?1 ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) y2 ? y1 2b2 ? a 2 b2 又? 2 相减得: ? ?0? ? 2 a2 b2 x2 ? x1 a 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? a 2 b2

1 ?0 y2 ? y1 2b2 而 ? kMF ,? 2 ? 3 ? a 2 ? 2b 2 ,而 c ? 1, ? a2 ? b2 ? 1 , 2 x2 ? x1 a ? ?1 3
解得: a2 ? 2, b2 ? 1, 即椭圆方程是: 法二:直线 AB 的方程是: y ? x ? 1

x2 ? y2 ? 1 2

? y ? x ?1 ? 联立 ? x 2 y 2 ? ( a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
? x1 ? x2 ? ? 2a 2 4 2b2 2 ? ? , y ? y ? x ? x ? 2 ? ? ,解得: a2 ? 2, b2 ? 1, 1 2 1 2 2 2 2 2 a ?b 3 a ?b 3

[来源:学科网 ZXXK]

三、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分 13 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地 ABCD 的一面利用旧墙 EF (利用旧 墙需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口, 如图所 示, 已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的
2

E

A

D

F

造价为 180元 / m ,设利 用的旧墙的长度为 x (单位: m )。 (1)将总费用 y 表示为 x 的函数: (2)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小, 并求出最小总费用。 B 2m C

(2)解:

[来源:学#科#网]

? y ? 225x ?

3602 360 ? 360 ? 360 ? 2 225 x ? ? 360 ? 2 ?15 ? 360 ? 360 ? 10440 x x
…………10分

当且仅当 225 x ?

360 ? 360 ,? x ? 24 时,等号成立. x

…………12

即当 x ? 24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元。…………13分 4.(本小题满 分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1, 过椭圆的右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于点 A 、 定直线 x ? 4 B, 4 3

交 x 轴于点 K ,直线 KA 和直线 KB 的斜率分别是 k1 、 k2 . (1)若直线 l 的倾斜角是 45 ,求线段 AB 的长; (2)求证: k1 ? k2 ? 0 .
?

即 k1 ? k2 ? 0 综上总有 k1 ? k2 ? 0 .…………13 分 (也可设 l 的方程是 x ? my ? 1 化为关于 y 的方程解;还可用椭圆的第二定义及几何知 识证明 KF 平分 ? AKB ,略) 5. (本小题满分 14 分)

已知抛物线 C :y ? 2 x , 直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A 过M ,B 两点,M 是线段 AB 的中点,
2

作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程; (2)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与直线 AB 平行; (3)是否存在实数 k 使 NA?NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

??? ? ??? ?

即 l ∥ AB .

.…………8 分

??? ? ??? ? (3)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 ,则 NA ? NB ,又?M 是 AB 的中点,

1 .…………9 分 ? | MN |? | AB | . 2 1 1 1 由(Ⅰ )知 yM ? ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? 2 ? kx2 ? 2) ? [ k ( x1 ? x2 ) ? 4] 2 2 2
? k2 1 ? k2 ? ? ? 4? ? ? 2 . 2? 2 ? 4
? MN ? x 轴,? | MN |?| yM ? yN |?
2 2

k2 k 2 k 2 ? 16 ?2? ? ..…………11 分 4 8 8
2

| x1 ? x2 |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 又 | AB |? 1 ? k ?

1 2 ?k? ? 1 ? k ? ? ? ? 4 ? (?1) ? k ? 1? k 2 ? 16 ..…………13 分 2 ?2?
2

2

?

k 2 ? 16 1 2 ? k ? 1? k 2 ? 16 ,解得 k ? ?2 . 8 4
??? ? ??? ?

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 ..…………14 分

k ? ? x1 ? x2 ? 或设 A( x1 , 2 x ), B( x2 , 2 x ) ,由(2)有 ? 2, ? ? x1 x2 ? ?1
2 1 2 2

x ? x2 k 2 k k2 N( , ) 即 N( 1 , ) 4 8 2 8 ???? x ? x1 x ? x2 k 2 ???? k2 2 NA ? ( 2 , 2 x12 ? ), NB ? ( 1 , 2 x2 ? ) 2 8 2 8 ???? ???? 1 k2 k2 2 2 2 ? NA ? NB ? ? ( x2 ? x1 ) ? ( 2 x1 ? )( 2 x2 ? ) 4 8 8 ?? k2 ?1 k4 7 [( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ] ? ? 4 64 2 k2 ?1 k2 ? 8 k4 7 ? ? ? 4 4 64 2

.…………10 分

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3k 4 ? 36k 2 ? 6 ? 32 ?? ?0 64
4 2 2 即 k ? 12k ? 64 ? 0 解之得: k ? 4 ,故 k ? ?2 .…………14 分


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