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坐标与参数方程题型解题方法


极坐标与参数方程题型及解题方法 Ⅰ复习提问
1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别?学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的? 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系? 答:将极坐标的极点 O 作为直角坐标系的原点,将极坐标的极轴作为直角坐标系 x 轴的正半轴。如果点 P 在直角坐标系下的坐标为(x,y) ,在极坐标系下的坐标为 ( ? ,? ) , 则有下列关系成立:

/>
cos? ?

x

?

sin? ?

y

?

3、 参数方程

?

x ? r cos? y ? r sin ?

表示什么曲线?

4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程是什么? 5、 极坐标系的定义是什么? 答:取一个定点 O,称为极点,作一水平射线 Ox,称为极轴,在 Ox 上规定单位长度,这样就组成了一个 极坐标系设 OP= ? ,又∠xOP=? .

? 和? 的值确定了,则 P 点的位置就确定了。 ? 叫做 P 点的极半径,

? 叫做 P 点的极角, ( ?,? ) 叫做 P 点的极坐标(规定 ? 写在前,? 写在后) 。显然,每一对实数 ( ? ,? )
决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么?

极坐标与参数方程 1 / 12

Ⅱ 题型与方法归纳
1、 题型与考点(1)

?

极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化

(2) (3)

?
?

参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化
利用参数方程求值域 参数方程的几何意义

2、解题方法及步骤 (1) 、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式 (三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数 t ,先确定 一个关系 x ? f ? t ? (或 y ? g (t ) ,再代入普通方程 F ? x, y ? ? 0 ,求得另一关系 y ? g (t ) (或 x ? f ?t ? ). 一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标)
t ?t ? ?x ? 2 ? 2 (t为参数) 例 1、方程 ? 表示的曲线是( t ?t ? ?y ? 2 ? 2

) D.圆

A. 双曲线
tt

B.双曲线的上支
?t

C.双曲线的下支

解析:注意到 2 与 2 互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含 t 的项,

x 2 ? y 2 ? ? 2t ? 2?t ? ? ? 2t ? 2?t ? ? ?4,
2 2





y 2 ? x2 ? 4











.显 4 y ? 2) 2t ? 0, 2t ? 2?t ? 2 2t ? 2?t ? 2,即y ? 2 ,可见与以上参数方程等价的普通方程为 y2 ? x2 ? ( 然它表示焦点在 y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选 B 练习 1、与普通方程 x2 ? y ?1 ? 0 等价的参数方程是( ) ( t 为能数)

?x ? 1? t ? x ? sin t ? x ? tgt ? x ? cos t ? A. ? B. ? C. ? D. ? 2 2 2 ?y ? t ? y ? cos t ? y ? 1 ? tg t ? y ? sin t ? 2 解析:所谓与方程 x ? y ?1 ? 0 等价,是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且 x, y 的变
化范围也对应相同,按照这一标准逐一验证即可破解.
2
2

对于 A 化为普通方程为 x ? y ?1 ? 0,x ???11 ,, , ? y ??01 ?; 对于 B 化为普通方程为 x ? y ?1 ? 0,x ? R,y ? (??, 1] ; 对于 C 化为普通方程为 x ? y ?1 ? 0,x ?[0, ? ?),y ? (??, 1] ;
2

对于 D 化为普通方程为 x ? y ?1 ? 0,x ???11 ,, , ? y ??01 ?.
2
2 2 2

而已知方程为 x ? y ?1 ? 0,x ? R,y ? (??, 显然与之等价的为 B. 1], 练习 2、设 P 是椭圆 2 x ? 3 y ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值是 ,最小值为 . 分析:注意到变量 ? x, y ? 的几何意义,故研究二元函数 x ? 2 y 的最值时,可转化为几何问题 . 若设

x ? 2 y ? t ,则方程 x ? 2 y ? t 表示一组直线, (对于 t 取不同的值,方程表示不同的直线) ,显然 ? x, y ? 既
? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 12 满足 2 x ? 3 y ? 12 ,又满足 x ? 2 y ? t ,故点 ? x, y ? 是方程组 ? 的公共解,依题意得直线 ?x ? 2 y ? t
2 2

极坐标与参数方程 2 / 12

与椭圆总有公共点,从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式 ? ? 0 问题.

解析:令 x ? 2 y ? t ,对于 ? x, y ? 既满足 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 ,又满足 x ? 2 y ? t ,故点 ? x, y ? 是方程组

? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 12 2 2 2 2 的公共解,依题意得 11 y ? 8t ? y ? ? 2t ? 12 ? ? 0 ,由 ? ? 64t ? 4 ? 11? ? 2t ? 12 ? ? 0 , ? ?x ? 2 y ? t 解得: ? 22 ? t ? 22 ,所以 x ? 2 y 的最大值为 22 ,最小值为 ? 22 .
原点重合; (2)极轴与 x 轴正方向重合; (3)取相同的单位长度.设点 P 的直角坐标为 ? x, y ? ,它的极坐标 (2) 、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这二者互化的前提条件是(1)极点与

?? 2 ? x2 ? y 2 ? x ? ? cos ? ? 为 ? ? ,? ? ,则 ;若把直角坐标化为极坐标,求极角 ? 时,应注意判断点 或? ? y ? y ? ? sin ? ?tg? ? x ? P 所在的象限(即角 ? 的终边的位置) ,以便正确地求出角 ? .
例 2、极坐标方程 4 ? ? sin
2

?

2

? 5 表示的曲线是(



A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.

1? c ? o s ? ?? 2 ? ? 2? c , o s化 为5直 角 坐 标 系 方 程 为 2 2 25 2 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 5 ,化简得 y 2 ? 5 x ? .显然该方程表示抛物线,故选 D. 4 ?? 2 ? 练习 1、已知直线的极坐标方程为 ? sin ? ? ? ? ? ,则极点到该直线的距离是 4? 2 ?
解 析 : 由 4? ? s i n ? ? ? 4
2

?

? 2 ? ?? 2 2 ? sin ? ? cos ? ? 解 析 : 极 点 的 直 角 坐 标 为 o ? 0,0 ? , 对 于 方 程 ? sin ? ? ? ? ? ? ? ,可得 ? ? ? 4 2 2 2 ? ? ? ?

? ? s i n? ? ? c o s ? ?, 1 x ? y ? 1 ? 0 ,因此点到直线的距离为 化为直角坐标方程为

2 2

练习 2、极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 转化成直角坐标方程为(
2

) D. y ? 1

A. x ? y ? 0或y ? 1 B. x ? 1 C. x ? y ? 0或x ? 1 分析:极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.
2 2 2 2

解析: ? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ?
练习 3、点 M 的直角坐标是 (?1,

x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1 ,因此选 C.

A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

解析: (2, 2k? ?

2? ), (k ? Z ) 都是极坐标,因此选 C. 3

) 3) ,则点 M 的极坐标为( 2? ? ) C. (2, D. (2, 2k? ? ), (k ? Z ) 3 3

(3) 、参数方程与直角坐标方程互化 例 题 3 : 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ( ? 为参数) , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ? y ? 10 sin ? ?
极坐标与参数方程 3 / 12

? ? 2 cos? ? 6 sin ? .
(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由. 解: (1)由 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? 得 ? ? y ? 10 sin ?

( x ? 2)2 ? y 2 ? 10
∴曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10 ∵ ? ? 2 cos? ? 6 sin ? ∴ ? 2 ? 2? cos? ? 6? sin ? ∵ ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ∴ x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ,即 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 ∴曲线 C 2 的直角坐标方程为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10
(2)∵圆 C1 的圆心为 (?2,0) ,圆 C 2 的圆心为 (1,3) ∴ C1C 2 ? ∴两圆相交 设相交弦长为 d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 C1C2 ∴( ) ? (
2

(?2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 ? 2 10

d 2

3 2 2 ) ? ( 10) 2 2

∴d ?

22

∴公共弦长为 22 练习 1、坐标系与参数方程. 已知曲线 C: ?

? x ? 3 ? 2 cos ? (? 为参数,0≤ ? <2π), y ? 1 ? 2 sin ? ?

(Ⅰ)将曲线化为普通方程; (Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.
极坐标与参数方程 4 / 12

解析: (Ⅰ) x 2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 (Ⅱ) ? ? 2 3 cos? ? sin ? (4)利用参数方程求值域

?

?

1 ? x ? ?2 2 ? t ? ? x ? 1 ? cos? ? 2 (t为参数) 例题 4、在曲线 C1 : ? 的 (?为参数) 上求一点,使它到直线 C 2 : ? ? y ? sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
距离最小,并求出该点坐标和最小距离。 解:直线 C2 化成普通方程是 x+y-2 2 -1=0
C

设所求的点为 P(1+cos ? ,sin ? ) 则 C 到直线 C2 的距离 d=
| 1 ? cos? ? sin? ? 2 2 ? 1 | 2
A E O B D

=|sin( ? + 当? ?

? )+2| 4
F

?
4

?

3? 5? 时,即 ? = 时,d 取最小值 1 2 4

此时,点 P 的坐标是(1-

2 2 ,) 2 2

练习 1、在平面直角坐标系 xOy 中,动圆 x2 + y 2 - 8 x cos? - 6 y sin? + 7cos2 ? + 8 = 0 ( ? ? R)的圆心为
P ( x, y ) ,求 2x - y 的取值范

? x ? 4cos ? , 解 : 由 题 设 得 ? ? y ? 3sin ?

( ? 为 参 数 , ?? R )

于 是 .

2x ? y ? 8cos? ? 3sin ? ? 73 cos(? ? ? ) ,
所以 ? 73≤2x ? y≤ 73 .
3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 练习 2、已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? ,设直线 L 的参数方程是 ? . , ( t 为参数) 4 ?y? t 5 ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 解: (1)曲线 C 的极坐标方程可化为:

? 2 ? 2? sin?


x2 ? y2 ? ? 2 ,

x ? ? cos? ,

y ? ? sin? .
极坐标与参数方程 5 / 12

所以,曲线 C 的直角坐标方程为:

x2 ? y2 ? 2 y ? 0.
(2)将直线 L 的参数方程化为直角坐标方程得: y ? ?

4 ( x ? 2) 3



y ? 0 得 x ? 2 即 M 点的坐标为 ( 2,0)

又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 (0,1) ,半径 r ? 1 , 则 MC ?

5 5 ?1

∴ MN ? MC ? r ?

(5)直线参数方程中的参数的几何意义 例5、已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? ①写出直线 l 的参数方程; ②设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.

?
6



? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 解 (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? . ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
? 3 x ? 1? t ? ? 2 (2)把直线 ? 代入 x 2 ? y 2 ? 4 , ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , t1t2 ? ?2 , 2 2

则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 .

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 练习 1、求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长. 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
4 ? x ? 1? t ? ? 5 ,? ? 解:将方程 ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

2 cos(? ? ) 分别化为普通方程: 4

?

极坐标与参数方程 6 / 12

3x ? 4 y ? 1 ? 0 , x2 ? y 2 ? x ? y ? 0,
1 1 2 1 1 1 7 圆心C( ,- ),半径为 圆心到直线的距离d= ,弦长=2 r2 ? d 2 ? 2 ? ? . 2 2 2 10 2 100 5
(6) 、参数方程与极坐标的简单应用 参数方程和极坐标的简单应用主要是:求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问 题. 例 6、已知 ?ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A ? 5, ?,B ? 5, ?,C ? ?4 3, ? ,判断三角形 ABC

? ?? ? 6?

? ?? ? 2?

? ?

??
3?

的三角形的形状,并计算其面积. 分析:判断△ABC 的形状,就需要计算三角形的边长或角,在本题中计算边长较为容易,不妨先计算边 长. ? 5? 5? 解析:如图,对于 ?AOB ? ,?BOC ? , ,?AOC ? 3 6 6 又 OA ? OB ? 5, OC ? 4 3 ,由余弦定理得:
B

A O x

C

AC ? OA ? OC ? 2 OA ? OC ? cos ?AOC ? 52 ? 4 3

2

2

2

?

?

2

? 2 ? 5 ? 4 3 ? cos

5? 6

? 133 ,? AC ? 133 ,同理, BC ? 133 ,? AC ? BC ,??ABC为等腰三角形 , 又 AB ? OA ? OB ? 5 ,所
以 AB 边上的高 h ?

? AC ?

2

?1 ? 13 3 ? ? ? AB ? ? ? , 2 ?2 ?

2

1 13 3 65 3 ? S?ABC ? ? ?5 ? 2 2 4

练习 1、如图,点 A 在直线 x=5 上移动,等腰△OPA 的顶角∠OPA 为 120°(O,P,A 按顺时针方向排列) , 求点 P 的轨迹方程. 直线 x ? 5 的 解析:取 O 为极点, x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则 y 极坐标方程为 ? cos ? ? 5 ,设 A( ?0 , ?0 ) ,P ? ? ,? ? ,因点
P A

A 形

在 直 线 , 且

?OPA 为等腰三角 ?OPA ? 120?,而 OP ? ?, OA ? ?0 ,以及 ?POA ? 30?

? cos? ? 5 上,? ?0 cos?0 ? 5 ? 1 ?

? ?0 ? 3?,且?0 ? ? ? 30? ? 2 ? ,把<2>代入<1>,得点
坐标方程为:

O

x

P 的轨迹的极

3? cos ?? ? 30?? ? 5 .


1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? 2 x ? t ? A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?

解析:D

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制

极坐标与参数方程 7 / 12

2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 5 1 2 ( , 0) B. (0, )、 1 5 1 2



( , 0) A. (0, )、
解析:B

(8, 0) C. (0, ?4)、

(8, 0) D. (0, )、

5 9

2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2
当 x ? 0 时, t ?

3.直线 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ? t
12 5
B.



12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5

解析:B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2 t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5

? x ? 4t 2 (t为参数) 上, 4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? ? y ? 4t
则 PF 等于( A. 2 解析:C ) B. 3 C. 4 D. 5

抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

? x ? 2 pt 2 5.已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, , 且t1 ? t2 ? 0 , ? y ? 2 pt
那么 MN =_______________。 解析: 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, MN ? 2 p t1 ? t2 ? 2 p 2t1

6.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?
极坐标与参数方程 8 / 12

解析:

由?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? 得 x 2 ? y 2 ? 25 故半径为 5 y ? 4sin ? ? 3cos ? ?

1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 7.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数; 解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2

,sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
? y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4 ?1

而 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,即

x2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t e ?e ? 2e ? ? ? ? k? ? ? cos ? cos ? sin ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?

x2 y2 ? ?1。 即 cos 2 ? sin 2 ?

8.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的值及相应的 ? 的值

? 10 ? t cos ? ?x ? 解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2
极坐标与参数方程 9 / 12

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 2 4 2
9.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

y y2 1 1 , cos 2 ? ? 2 解:显然 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? 2 y x x cos ? ?1 x2

1 1 2 tan ? x ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2 ? ? ? ? cos 2 ? 2 2 1 ? tan 2 ? y y 2 ?1 1 1 y2 y x x 即x? ? ? ? , x(1 ? 2 ) ? ? 1 2 2 2 y y y 2 x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 得x? x x

Ⅳ 温故强化
1.下列在曲线 ? A. ( , ? 2) 解析:B

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?



1 2

3 1 , ) 4 2
2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

转化为普通方程: y ? 1 ? x ,当 x ? ?

3 1 时, y ? 4 2
) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

2.将参数方程 ? A. y ? x ? 2 解析:C

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 ? ? y ? sin ?
B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

?? ?? ? ? 3. 若 A ? 3, ? ,B ? ?3, ? ,则|AB|=___________, S ?AOB ? ___________。 (其中 O 是极点) ? ? 3? 6?
解析:在极坐标系中画出点 A、B,易得 ?AOB ? 150?

极坐标与参数方程 10 / 12

?AOB中,由余弦定理,得: AB ? OA ? OB ? 2 OA ? OB cos ?AOB ? AB ? 32 ? 32 ? 2 ? 3 ? 3 ? cos 150? ? 18 ? 9 3 ? 3 2 ? 3 ? S ?OAB ? 1 1 9 OA ? OB ? sin ?AOB ? ? 3 ? 3 ? sin 150? ? 2 2 4 3 2
2 2 2

?

6? 2

?

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________ 4.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2
解析:

14

直 线 为 x ? y ?1 ? 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

1 2 ,弦长的一半为 ? 2 2

22 ? (

2 2 14 ,得弦长为 14 ) ? 2 2

?x ? x 0 ? t 5. 直线 ? (t 为参数)上任一点 P 到 P0 ? x 0 ,y 0 ? 的距离为__________ ?y ? y 0 ? 3t

解析:所求距离为 2|t|(把直线的参数方程化为标准形式) 6. 若F1 、F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1的焦点,P为椭圆上不在x轴上的点,则?PF1 F2 的重心G 25 16

的轨迹方程为____________。 解析:设 G? x,y?,P?5 cos?,4 sin ? ?,而F1 ? ?3,0?,F2 ?3,0?
5 cos ? ? ? ?3? ? 3 5 cos ? ? x? ? ? ? 3 3 (?为参数) 由重心坐标公式,得: ? 4 sin ? ? 0 ? 0 4 sin ? ?y ? ? ? ? 3 3

消参,得点 G 的轨迹方程为

9x 2 9y 2 ? ?1 25 16

7. 若方程 m? cos2 ? ? 3? sin 2 ? ? 6 cos? ? 0的曲线是椭圆,求实数m的取值范围。 解析:将方程两边同乘以 ? ,化为:

m?? c o ? s ? ? 3?? s i n ? ? ? 6? c o ? s ?0
2 2

极坐标与参数方程 11 / 12

即mx 2 ? 3y 2 ? 6x ? 0 3? ? ?x ? ? ? m? 整理,得: 9
2

y2 ?1 3 m m2 若方程表示椭圆,则m须满足: ?

? 9 ? m2 ? 0 ? ?3 ? ? 0 ? m ? 0且m ? 3 ? m ??0, 3? ??3, ? ?? ?m 3 ? 9 ? m2 ? m ?

8. 求椭圆

x2 y2 ? ? 1上一点P与定点(1, 0)之间距离的最小值 9 4

解析: (先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)

设P?3 cos ?, 2 sin ? ?,则P到定点(1, 0)的距离为 d?? ? ?

?3 cos? ? 1? ? ?2 sin ? ? 0?
2

2

3? 16 ? ? 5 cos ? ? 6 cos ? ? 5 ? 5? cos ? ? ? ? ? ? 5 5
2

2

当 cos ? ?

3 4 5 时,d?? ) 取最小值 5 5

9.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12
4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

解析:设椭圆的参数方程为 ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3

当 cos(? ?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5

10.求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? ? y ? ?5 ? 3t

与 Q(1, ?5) 的距离。

解析:将 ?

? ?x ? 1? t 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? ? y ? ?5 ? 3t
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3
极坐标与参数方程 12 / 12


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