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成才之路·人教A版数学选修2-3 综合检测1


第一章综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.(2014· 新课标Ⅰ理,5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则 周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 1 A. 8 5 C. 8 [答案] D [解析] 四位同学各自

在周六、周日两种选择一天参加公益活动的情况有 24=16 种方 1+1 7 式,其中仅在周六(周日)参加的各有一种,故所求概率 P=1- = . 16 8
7 7 8 * 2.已知 Cn +1-Cn=Cn(n∈N ),则 n 等于(

3 B. 8 7 D. 8

)

A.14 C.13 [答案] A

B.12 D.15

7 8 7 8 [解析] 因为 C8 n+Cn=Cn+1,所以 Cn+1=Cn+1.

∴7+8=n+1,∴n=14,故选 A. 3. 设 f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1, 则 f(x)等于( ) B.2x5 D.(2x)5

A.(2x+2)5 C.(2x-1)5 [答案] D [解析]


5 0 1 4 1 2 3 2 3 f(x)=C0 (-1)2+C3 5(2x+1) (-1) +C5(2x+1) (-1) +C5(2x+1) · 5 (2x+1) (-1)

1 0 5 5 5 +C4 (-1)4+C5 5(2x+1) · 5(2x+1) (-1) =[(2x+1)-1] =(2x) .

4.(2013· 晋中市祁县二中高二期中)某城市的街道如图,某人要从 A 地前往 B 地,则路 程最短的走法有( )

A.8 种 C.12 种

B.10 种 D.32 种

[答案] B [解析] 此人从 A 到 B,路程最短的走法应走两纵 3 横,将纵用 0 表示,横用 1 表示, 则一种走法就是 2 个 0 和 3 个 1 的一个排列,只需从 5 个位置中选 2 个排 0,其余位置排 1 即可,故共有 C2 5=10 种. (注:若排法为 10011,则走法如图中箭头所示)

5.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A.12 种 C.9 种 [答案] A [解析] 本题考查了组合及分步计数原理的运用. 分两步进行:第一步,先派一名教师到甲地,另一名教师去乙地,共有 C1 2种选法;第 二步,选派两名学生到甲地,另两名学生到乙地,有 C2 4种选法,由分步乘法计数原理知,
2 共有不同选派方案 C1 2C4=12 种.

)

B.10 种 D.8 种

6.(2014· 安徽理,8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60° 的共有( A.24 对 C.48 对 [答案] C [解析] 解法 1:先找出正方体一个面上的地角线与其余面对角线成 60° 角的对数,然 后根据正方体六个面的特征计算总对数. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 与面对角线 AC 成 60° 角的面对角线有 B1C、 BC1、 C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1 共 8 条,同理与 BD 成 60° 角的面对角线也有 8 条,因此 一个面上的对角线与其相邻 4 个面的对角线,共组成 16 对,又正方体共有 6 个面,所有共 有 16×6=96 对. 因为每对都被计算了两次(例如计算与 AC 成 60° 角时, 有 AD1, 计算与 AD1 1 成 60° 角时有 AC,故 AD1 与 AC 这一对被计算了 2 次),因此共有 ×96=48 对. 2 ) B.30 对 D.60 对

解法 2:间接法.正方体的面对角线共有 12 条,从中任取 2 条有 C2 12种取法,其中相互
2 平行的有 6 对,相互垂直的有 12 对,∴共有 C12 -6-12=48 对.

7.某科技小组有 6 名同学,现从中选出 3 人去参观展览,至少有 1 名女生入选的不同 选法有 16 种,则小组中的女生数为( A.2 C.4 [答案] A
3 3 [解析] 由题意可用排除法,设有女生 x 人,则有男生 6-x 人,于是有 C6 -C6 -x=16,

) B.3 D.5

即(6-x)(5-x)(4-x)=24,将各选项逐个代入验证可得 x=2. 8.从 0、1、2、3、4、5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的 四位数的个数为( A.300 C.180 [答案] C [解析] 本小题主要考查排列组合的基础知识. 由题意知可分为两类,
1 1 3 (1)选“0”,共有 C2 3C2C3A3=108, 4 (2)不选“0”,共有 C2 3A4=72,

) B.216 D.162

∴由分类加法计数原理得 72+108=180,故选 C. 9.(2014· 山东省胶东示范校检测)已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动 (含 x,y 正半轴上的整点),其运动规律为(m,n)→(m+1,n+1)或(m,n)→(m+1,n-1).若 该动点从原点出发,经过 6 步运动到点(6,2),则不同的运动轨迹有( A.15 种 C.9 种 [答案] C [解析] 由运动规律可知,每一步的横坐标都增加 1,只需考虑纵坐标的变化,而纵坐 标每一步增加 1(或减少 1),经过 6 步变化后,结果由 0 变到 2,因此这 6 步中有 2 步是按照 (m,n)→(m+1,n-1)运动的,有 4 步是按照(m,n)→(m+1,n+1)运动的,因此,共有 C2 6 B.14 种 D.103 种 )

=15 种,而此动点只能在第一象限的整点上运动(含 x,y 正半轴上的整点),当第一步(m, n)→(m+1,n-1)时不符合要求,有 C1 5种;当第一步(m,n)→(m+1,n+1),但第二、三两 步为(m,n)→(m+1,n-1)时也不符合要求,有 1 种,故要减去不符合条件的 C1 5+1=6 种, 故共有 15-6=9 种. 10.(2014· 浙江理,5)在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0) +f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( A.45 C.120 [答案] C [解析]
n 本题考查组合应用及二项式定理.由条件得 f(m,n)=Cm C4 ,∴f(3,0)+f(2,1) 6·

) B.60 D.210

0 2 1 1 2 0 3 +f(1,2)+f(0,3)=C3 6C4+C6C4+C6C4+C6C4=20+60+36+4=120,选 C.

11.(2013· 大庆实验中学高二期中)高三(三)班学生要安排毕业晚会的 3 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,3 个音乐节目恰有两个 节目连排,则不同排法的种数是( A.240 C.432 [答案] D
2 [解析] 先从 3 个音乐节目中选取 2 个排好后作为一个节目有 A3 种排法,这样共有 5

) B.188 D.288

个节目,两个音乐节目不连排,两个舞蹈节目不连排,如图,若曲艺节目排在 5 号(或 1 号)
2 2 位置,则有 4A2 A2 2· 2=16 种排法;若曲艺节目排在 2 号(或 4 号)位置,也有 4A2A2=16 种排 2 2 法,若曲艺节目排在 3 号位置,有 2×2A2 2A2=16 种排法,∴共有不同排法,A3×(16×3)

=288 种,故选 D. 1 2 3 4 5 12.已知直线 ax+by-1=0(a、b 不全为 0)与圆 x2+y2=50 有交点,且交点的横、纵坐 标均为整数,那么这样的直线有( A.66 条 C.74 条 [答案] B [解析] 先考虑 x≥0,y≥0 时,圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1),依圆的 对称性知,圆上共有 3×4=12 个点的横、纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有 C2 12 =66(条),过每一点的切线共有 12 条,又考虑到直线 ax+by-1=0 不经过原点,而上述直 线中经过原点的有 6 条,所以满足题意的直线共有 66+12-6=72(条). 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生,其 ) B.72 条 D.78 条

中甲同学不能分配到 A 班,那么不同的分配方案有________. [答案] 24 种 [解析] 将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排一名学生
3 2 2 1 2 有 C2 4A3种分配方案,其中甲同学分配到 A 班共有 C3A2+C3A2种方案.因此满足条件的不同 3 2 2 1 2 方案共有 C2 4A3-C3A2-C3A2=24(种).

?2- 1 ?6 14.? 3 ? 的展开式中的第四项是________. x? ?
160 [答案] - x [解析] ?

?2- 1 ?6 3 ? 的展开式中第 4 项为 x? ?

? 1 ?3 160 3 - T4=C3 ? 3 ? =- x . 62 · x? ?
15.如果把两条异面直线看成“一对”,那么正方体的棱所在的 12 条直线中,异面直 线共有________对. [答案] 24 [解析] 在如图正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 与棱 AB 异面的棱有 DD1、CC1、A1D1、B1C1,因此共有 4 对,正方体的棱共有 12 条,故 1 异面直线共有 4×12× =24 对. 2 16.将 5 位志愿者分成 3 组,其中两组各 2 人,另一组 1 人,分赴世博会的三个不同场 馆服务,不同的分配方案有________种.(用数字作答) [答案] 90 种
2 1 C2 5C3C1 [解析] 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题,先分组 2 ,再把三组分配乘 A2 2 1 C2 5C3C1 3 以 A3 得: · A3=90 种. 3 A2 2

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

?3 1 ? 17.(本题满分 12 分)设? 2+ ?n 的展开式的第 7 项与倒数第 7 项的比是 1:6,求展 ? 3 ? ? 3?
开式中的第 7 项. [解析]
6 3 T7=Cn (

2)

n-6

? 1 ?6 ?3 ? , ? 3?

1 3 6? ?n-6 Tn+1-6=Tn-5=C6 ( 2) ? n 3 ? . ? 3?

? 1 ?6 2? ? 3 ? ? 3? 1 n n - 由 = ,化简得 6 -4=6 1,所以 -4=-1,所以 n=9.所以 T7=C6 9 1 6 3 3 ? ?n-6 6 3 6 Cn? 2? ? 3 ? ? 3?
3 C6 n?
n- 6

1 1 56 3 - ? ? ×( 2)9 6×? 3 ?6=C3 . 9×2× = 9 3 ? 3? [点评] (1)本题是应用二项式定理的通项公式的典型问题, 要能熟练地应用通项公式写 出所需的各项. (2)本题的解题思路实质是利用方程思想列出方程,解出 n,这是解本题的关键. 18.(本题满分 12 分)已知 A={x|1<log2x<3,x∈N*},B={x||x-6|<3,x∈N*},试问: 从集合 A 和 B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标, 共可得到多少个不同的点? [解析] A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8}. 从 A 中取一个数作为横坐标,从 B 中取一个数作为纵坐标,有 5×5=25(个),而 8 作 为横坐标的情况有 5 种,3 作为纵坐标且 8 不是横坐标的情况有 4 种,故共有 5×5+5+4 =34 个不同的点. 3 19.(本题满分 12 分)求( x- x)9 的展开式中的有理项. 27-r 27-r 3 - [解析] Tr+1=Cr ( x)9 r· (- x)r=(-1)rCr .因为 27 除以 6 的余数为 3, 要使 9· 9x 6 6 27-r 为整数,r 必为 3 的奇数倍.因为 0≤r≤9,所以需检验当 r=3 和 9 时 的值.当 r 为 3 6 27-r 3 4 和 9 时, 分别为 4 和 3, 所以展开式中的有理项为 T4=(-1)3C9 x =-84x4, T10=(-1)9C9 9 6 x3=-x3. [点评] 要求展开式中的有理项,必须观察展开式通项公式中 x 的指数,当 r 取什么值 时,能使 x 的指数为整数. 20.(本题满分 12 分)某校高三年级有 6 个班级,现要从中选出 10 人组成高三女子篮球 队参加高中篮球比赛, 且规定每班至少要选 1 人参加. 这 10 个名额有多少不同的分配方法? [解析] 解法一:除每班 1 个名额以外,其余 4 个名额也需要分配.这 4 个名额的分配 方案可以分为以下几类:(1)4 个名额全部给某一个班级,有 C1 6种分法;(2)4 个名额分给两 个班级,每班 2 个,有 C2 6种分法;(3)4 个名额分给两个班级,其中一个班级 1 个,一个班 级 3 个.由于分给一班 1 个,二班 3 个和一班 3 个、二班 1 个是不同的分法,因此是排列问 题,共有 A2 6种分法;(4)分给三个班级,其中一个班级 2 个,其余两个班级每班 1 个,共有
1 2 C6 · C5种分法;(5)分给四个班,每班 1 个,共有 C4 6种分法. 2 2 1 2 故共有 N=C1 C5+C4 6+C6+A6+C6· 6=126 种分配方法.

解法二: 该问题也可以从另外一个角度去考虑: 因为是名额分配问题, 名额之间无区别, 所以可以把它们视作排成一排的 10 个相同的球,要把这 10 个球分开成 6 段(每段至少有一 个球).这样,每一种分隔办法,对应着一种名额的分配方法.这 10 个球之间(不含两端)共 有 9 个空位,现在要在这 9 个位子中放进 5 块隔板,共有 N=C5 9=126 种放法. 故共有 126 种分配方法. 21.(本题满分 12 分)用 0、1、2、3、4 这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的 没有重复数字的五位数? (1)被 4 整除; (2)比 21034 大的偶数; (3)左起第二、四位是奇数的偶数. [解析] (1)被 4 整除的数,其特征应是末两位数是 4 的倍数,可分为两类:当末两位数
1 2 是 20、40、04 时,其排列数为 3A3 A2 3=18,当末两位数是 12、24、32 时,其排列数为 3A2·

=12.故满足条件的五位数共有 18+12=30(个). (2)①当末位数字是 0 时,首位数字可以为 2 或 3 或 4,满足条件的数共有 3×A3 3=18 个. ②当末位数字是 2 时,首位数字可以为 3 或 4,满足条件的数共有 2×A3 3=12 个. ③当末位数字是 4 时,首位数字是 3 的有 A3 3=6 个,首位数字是 2 时,有 3 个,共有 9 个. 综上知,比 21034 大的偶数共有 18+12+9=39 个. (3)方法一:可分为两类: 末位数是 0,有 A2 A2 2· 2=4(个); 末位数是 2 或 4,有 A2 A1 2· 2=4(个);
2 1 故共有 A2 A2 A2=8(个). 2· 2+A2· 1 方法二:第二、四位从奇数 1,3 中取,有 A2 2个;首位从 2,4 中取,有 A2个;余下的排 2 1 2 在剩下的两位,有 A2 2个,故共有 A2A2A2=8(个).

22.(本题满分 14 分)已知?
5

? 3 3 ?n ? 3 1 ? * ? - a? (n∈N )的展开式的各项系数之和等于?4 b- 5b? ? a ? ?

的展开式中的常数项,求?

? 3 3 ?n -1 - a? 的展开式中 a 项的二项式系数. ? a ?

1 ?r ? 3 r 10-5r 3 5-r? 1 ?5 - - [解析] 对于?4 b- =Cr (-1)r· 45 r· 5- b . ? :Tr+1=Cr 5(4 b) 5· 2 6 ? 5b? 5b? ?
2 若 Tr+1 为常数项,则 10-5r=0,所以 r=2,此时得常数项为 T3=C5 · (-1)2· 43· 5 1=27.


令 a=1,得?

? 3 3 ?n n n 7 - a? 展开式的各项系数之和为 2 .由题意知 2 =2 ,所以 n=7.对于 ? a ?

? 3 3 ?7 3 - 5r-21 ? 3 ?7-r· (- a)r=Cr (-1)r· 37 r a . ? - a? :Tr+1=Cr 7 7· 6 a ? ? ? a ?
若 Tr+1 为 a 所以?
-1

5r-21 项,则 =-1,所以 r=3. 6

? 3 3 ?n -1 3 - a? 的展开式中 a 项的二项式系数为 C7=35. ? a ?

1.定义整数集合 A 与 B 的运算 A*B 如下:A*B={(x,y)|x∈A,y∈B,且 x+y 为偶数}, 若 A={-1,0,1},B={1,2,3,4},则集合 A*B 中的元素个数为( A.12 C.4 [答案] B [解析] x=-1 时,y=1,3;x=0 时,y=2,4;x=1 时,y=1,3.故选 B. 2.求证:对任何非负整数 n,33n-26n-1 可被 676 整除. [证明] 当 n=0 时,原式=0,可被 676 整除. 当 n=1 时,原式=0,也可被 676 整除. 当 n≥2 时, 原式=27n-26n-1=(26+1)n-26n-1
2 1 =(26n+C1 26n 1+?+Cn 262+Cn 26+1)-26n-1 n· n · n ·
- - -

)

B.6 D.2

n 1 2 =26n+C1 +?+Cn 262. n26 n ·
- -

每一项都含 262 这个因数,故可被 262=676 整除. 综上所述,对一切非负整数 n,33n-26n-1 可被 676 整除.


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