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高三数学解答题专题训练——概率与统计


高三数学解答题专题训练——概率与统计
一、概率与统计,与生活问题联系密切,也是高考的热点问题。考查的主要内容是: (1)抽样方法与用样本估计总体 (2)互斥事件的概率加法公式 (3)古典概率模型与几何概率模型 (4)离散型随机变量及其分布列 (5)条件概率与时间的独立性 (6)随机变量的数字特征 (7)正态分布。 主要考查相互独立事件的概率、独立重复试验及互斥事件的概率模型,同时重在考查离散型 随机变量及其分布列与期望和方差. 备考指南:首先通过回归课本熟悉本部分的知识点(也即考点) ,做到心中有数,从而才能从 容应对.另外还应做好以下几方面的准备: (1)概率与统计题目特点与实际生活密切相关,应立足基础知识和基本方法的复习,通过对 基本概念,基本方法的学习,发现解题规律以提高解题能力. (2)抓好破势训练,从不同角度,不同侧面对题目进行分析,查找思维的缺陷,提高分析问 题和解决问题的能力. (3)加强数学思想方法的训练,分类讨论,数形结合,转化思想,正难则反等思想也是命题 的趋势.

二、强化练习
1、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至 少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列.

2、某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖 内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 料。 (Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (Ⅱ)求中奖人数 ? 的分布列及数学期望 E? .

1 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮 6

3、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试 合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约 .设每人面试合 格的概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响.求: 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)签约人数 ? 的分布列和数学期望.

4、已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1. (Ⅰ)设集合 P ? {1, 2,3} 和 Q ? {?1,1, 2,3, 4} ,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和

b ,求函数 y ? f ( x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率;

?x ? y ? 8 ? 0 ? (Ⅱ)设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点,求函数 y ? f ( x)在区间 [1,??) 上是增函 ?y ? 0 ?
数的概率。

5、下面玩掷骰子放球游戏,若掷出 1 点或 6 点,甲盒放一球;若掷出 2 点,3 点,4 点或 5 点,乙盒放一球,设掷 n 次后,甲、乙盒内的球数分别为 x, y . (1)当 n ? 3 时,求 x ? 3, y ? 0 的概率; (2)当 n ? 4 时,设 | x ? y |? ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

6、甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝,每人各投 4 个球,甲投篮命中的概率为 命中的概率为

1 ,乙投篮 2

2 . 3

(1)求甲至多命中 2 个且乙至少命中 2 个的概率; (2)若规定每投篮一次命中得 3 分, 未命中得 ? 1 分, 求乙所得分数? 的概率分布和数学期望.

7、 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图 (Ⅰ)求直方图中 x 的值 (II)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样) ,求月均用水 量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望。

8、 某同学参加 3 门课程的考试。 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 4 , 第二、
5

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互 独立。记ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ P 0 1 2 b 3

6 125

a

24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E? 。

9、如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2,T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望.
[

10、如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落 入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落 到 A,B,C,则分别设为 l,2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随变量 ? 为获得 k(k=1,2,3) 等奖的折扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E? ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次, 求 P(? ? 2) .

11、某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A、B、C、D 四个问题,规则如下: ① 每位参加者记分器的初始分均为 10 分,答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、3 分、 6 分,答错任一题减 2 分; ② 每回答一题,记分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局;当累 计分数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分 时,答题结束,淘汰出局; ③ 每位参加者按问题 A、B、C、D 顺序作答,直至答题结束。 假设甲同学对问题 A、B、C、D 回答正确的概率依次为 否相互之间没有影响。 (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率; (Ⅱ)用 ? 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ? 的分布列和数学期望 E? 。

3 1 1 1 、 、 、 ,且各题回答正确与 4 2 3 4


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