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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:5-4 数列求和


05 限时规范特训
A级 基础达标 1.[2014· 杭州模拟]数列{an}的通项公式为 an=(-1)n-1· (4n-3), 则它的前 100 项之和 S100 等于( A.200 C.400 ) B.-200 D.-400

解析:S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3) -?-(4×100- 3)=4×[(1-2)+(3-4)

+?+(99-100)]=4×(-50)=-200. 答案:B 2. [2014· 江南十校联考]若数列{an}为等比数列, 且 a1=1, q=2, 1 1 1 则 Tn =a a +a a +?+ 的结果可化为( anan+1 1 2 2 3 1 A.1-4n 2 1 C.3(1-4n) 解析:an=2n-1,设 bn= 则 Tn=b1+b2+?+bn 1 1 1 =2+(2)3+?+(2)2n-1 1 1 ? 1 - 2 4n? = 1 1-4 2 1 =3(1-4n). 答案:C 1 B.1-2n 2 1 D.3(1-2n) 1 1 =(2)2n-1, anan+1 )

3.[2014· 锦州模拟]设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1, 1 则数列{ }(n∈N*)的前 n 项和是( f?n? n A. n+1 n C. n-1 ) n+2 B. n+1 n+1 D. n

解析:∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1, ∴m=2,a=1. ∴f(x)=x2+x,f(n)=n2+n. ∴ 1 1 1 1 1 = 2 = =n- . f?n? n +n n?n+1? n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ?+ + = (1-2 ) + (2- 3 ) + ( 3 f?1? f?2? f?3? f?n-1? f?n?

∴ Sn =

1 1 1 1 1 1 n -4)+?+( -n)+(n- )=1- = . n-1 n+1 n+1 n+1 答案:A 4.[2014· 西安模拟]数列 1,1+2,1+2+4,?,1+2+22+?+2n
-1

,?的前 n 项和 Sn>1020,那么 n 的最小值是( A.7 C.9 解析:∵1+2+2 +?+2
2 n 2 n -1

)

B.8 D.10 1-2n = =2n-1, 1-2

2-2n+1 ∴Sn=(2+2 +?+2 )-n= -n=2n+1-2-n. 1-2 若 Sn>1020,则 2n+1-2-n>1020,∴n≥10. 故选 D 项. 答案:D

5.已知等比数列{an}满足 an>0,n∈N*,且 a5· a2n-5=22n(n≥3), 则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+?+log2a2n-1=( A.n(2n-1) C.n2 B.(n+1)2 D.(n-1)2 )

解析: 设等比数列 {an} 的公比为 q ,∵ a5· a2n - 5 = 22n(n≥3) ,∴
2 2n - 2 a1q4· a1q2n-6=22n,即 a1 · q =22n?(a1· qn-1)2=22n?(an)2=(2n)2,∵

an>0, ∴an=2n, ∴a2n-1=22n-1, ∴log2a1+log2a3+?+log2a2n-1=log22 1+?2n-1? +log223+?+log222n-1=1+3+?+(2n-1)= · n=n2. 2 答案:C
2 ? ?n ?n为奇数?, 6.[2014· 景德镇质检]已知函数 f(n)=? 且 an= 2 ?-n ?n为偶数?, ?

f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+?+a2014 等于( A.-2013 C.2013 B.-2014 D.2014

)

解析:当 n 为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-(2n+ 1);当 n 为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.所以 a1 +a2+a3+?+a2014=2(-1+2-3+4+?-2013+2014)=2014. 答案:D 3 7.设数列{an}的首项 a1=2,前 n 项和为 Sn,且满足 2an+1+Sn 18 S2n 8 =3(n∈N*),则满足17< S <7的所有 n 的和为________.
n

解析:由 2an+1+Sn=3 得 2an+Sn-1=3(n≥2),两式相减,得 2an
+1

a n +1 1 -2an+an=0,化简得 2an+1=an(n≥2),即 a =2(n≥2),由已知求 n

3 a2 1 3 1 出 a2=4,易得a =2,所以数列{an}是首项为 a1=2,公比为 q=2的 1

3 1n [1 - ? 2 2? ] 1n 1 2n 18 S2n 等比数列, 所以 Sn= = 3[1 - ( ) ] , S 2n=3[1-( ) ]代入 1 2 2 17< Sn 1-2 8 1 1 1 <7,可得17<(2)n<7,解得 n=3 或 4,所以所有 n 的和为 7. 答案:7 8.[2014· 北京西城区月考]已知{an}是公比为 2 的等比数列,若 1 1 1 a3-a1=6,则 a1=________;a2+a2+?+a2=________.
1 2 n

解析:∵{an}是公比为 2 的等比数列,且 a3-a1=6,∴4a1-a1 1 1 1 1 =6,即 a1=2,∴an=2· 2n-1=2n,∴a2=(4)n,即数列{a2}是首项为4,
n n

1 1 ? 1 - 4n? 1 1 1 1 1 4 1 公比为4的等比数列,∴a2+a2+?+a2= = (1 - 1 3 4n). 1 2 n 1-4 1 1 答案:2 3(1-4n) 9.[2014· 武汉模拟]若数列{an}是正项数列,且 a1+ a2+?+ a1 a2 an an=n2+3n(n∈N*),则 2 + 3 +?+ =________. n+1 解析:令 n=1,得 a1=4, 即 a1=16. 当 n≥2 时, an=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2, 所以 an=4(n+1)2, 当 n=1 时,也适合, 所以 an=4(n+1)2(n∈N*).

an 于是 =4(n+1), n+1 a1 a2 an 故 2 + 3 +?+ =2n2+6n. n+1 答案:2n2+6n 10.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a2,a3, a4+1 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an+2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)设数列{an}的公差为 d,由 a1=2 和 a2,a3,a4+1 成等比 数列,得 (2+2d)2=(2+d)(3+3d), 解得 d=2 或 d=-1. 当 d=-1 时,a3=0,与 a2,a3,a4+1 成等比数列矛盾,舍去. ∴d=2. ∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n, 即数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)∵bn=2n+22n=2n+4n, ∴Sn=(2+41)+(4+42)+?+(2n+4n)=(2+4+?+2n)+(41+ n?2+2n? 4?1-4n? 2 4 n 4 +?+4 )= + = n + n + 2 3(4 -1). 1-4
2 n

11.已知各项均不相等的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3 =15,且 a3+1 为 a1+1 和 a7+1 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式与前 n 项和 Sn; 1 (2)设 Tn 为数列{S }的前 n 项和,问是否存在常数 m,使 Tn= n

m[

n n + ],若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由. n+1 2?n+2? 解:(1)设数列{an}的公差为 d,由已知,可得 S3=a1+a2+a3=15,得 a2=a1+d=5, 由 a3+1 为 a1+1 和 a7+1 的等比中项, 可得(6+d)2=(6-d)×(6+5d),化简得 d2-2d=0, 解得 d=0(不合题意,舍去)或 d=2, 当 d=2 时,a1=3,其通项公式为 an=3+(n-1)×2=2n+1,前

n 项和 Sn=n(n+2). (2)由(1)知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n(n+2), 1 1 11 1 则有S = =2(n- ), n?n+2? n+2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn=2(1-3+2-4+3-5+?+ - + n- )=2(1+2 n-1 n+1 n+2 1 1 1 n n - - )=2[ + ]. n+1 n+2 n+1 2?n+2? 1 n n 故存在常数 m=2,使得 Tn=m[ + ]成立. n+1 2?n+2? 12. [2014· 温州模拟]已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=2.当 n≥2 时,Sn-1+1,an,Sn+1 成等差数列. (1)求证:{Sn+1}是等比数列; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 解:(1)证明:∵Sn-1+1,an,Sn+1 成等差数列, ∴2an=Sn+Sn-1+2(n≥2). ∴2(Sn-Sn-1)=Sn+Sn-1+2,即 Sn=3Sn-1+2, ∴Sn+1=3(Sn-1+1)(n≥2). ∴{Sn+1}是首项为 S1+1=3,公比为 3 的等比数列.

(2)由(1)可知 Sn+1=3n,∴Sn=3n-1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2×3n-1. 又 a1=2,∴an=2×3n-1(n∈N*).nan=2n· 3n-1 ∴Tn=2+4×3+6×32+?+2(n-1)×3n-2+2n×3n-1,① 3Tn=2×3+4×32+6×33+?+2(n-1)×3n-1+2n×3n,② 由①-②得, - 2Tn = 2 + 2×3 + 2×3 + ? + 2×3 2n×3n=3n-1-2n×3n, ?2n-1?×3n+1 ∴Tn= . 2 B级 知能提升 1.[2014· 长春第一次调研]数列{an}满足 a1=1,且对任意的 m, 1 1 1 1 n∈N*,都有 am+n=am+an+mn,则a +a +a +?+a =(
1 2 3 2014 2 n-1

2?1-3n? - 2n×3 = - 1-3
n

)

4024 A.2013 2010 C.2011

4028 B.2015 2009 D.2010

解析:令 m=1 得 an+1=an+n+1, 即 an+1-an=n+1, 于是 a2-a1=2,a3-a2=3,?,an-an-1=n(n≥2), 上述 n-1 个式子相加得 an-a1=2+3+?+n, n?n+1? 所以 an=1+2+3+?+n= 2 , 当 n=1 时,a1=1 满足上式,

所以 an=

n?n+1? * 2 (n∈N ),

1 2 1 1 因此a = =2(n- ), n?n+1? n+1 n 1 1 1 1 所以a +a +a +?+a 1 2 3 2014 1 1 1 1 1 =2(1-2+2-3+?+2014- 2015) 1 =2(1-2015) 4028 =2015 答案:B 2.[2014· 海南中学统考]在数列{an}中,a1=2,an+an+1=1(n∈ N*) ,设 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和,则 S2007 -2S2006 +S2005 的值为 ________. 解析:当 n 为偶数时,a1+a2=a3+a4=?=an-1+an=1,故 Sn n =2;当 n 为奇数时,a1=2,a2+a3=a4+a5=?=an-1+an=1,故 n-1 n+3 Sn=2+ 2 = 2 .故 S2007-2S2006+S2005=1005-2×1003+1004= 3. 答案:3 3. 设数列{an}中, 若 an+1=an+an+2(n∈N*), 则称数列{an}为“凸 数列”, 已知数列{bn}为“凸数列”, 且 b1=1,b2=-2, 则数列{bn} 的前 2014 项和为________. 解析:由“凸数列”的定义,可知,b1=1,b2=-2,b3=-3, b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,?,故数列{bn}是周期为 6 的周期数列,又 b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,故数列{bn}的前 2014 项

和 S2014=b1+b2+b3+b4=1-2-3-1=-5. 答案:-5 4 . [2014· 惠州调研 ] 已知数列 {an} 中, a1 = 2 , an - an - 1 - 2n = 0(n≥2,n∈N*). (1)写出 a2,a3 的值(只写结果),并求出数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (2)设 bn= + + +?+a ,若对任意的正整数 n,当 m an+1 an+2 an+3 2n 1 ∈[-1,1]时,不等式 t2-2mt+6>bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. 解:(1)∵a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*), ∴a2=6,a3=12. 当 n≥3 时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1), 又 a3-a2=2×3,a2-a1=2×2, ∴an-a1=2[n+(n-1)+?+3+2], ∴an=2[n+(n-1)+?+3+2+1]=2× n?n+1? 2 =n(n+1).

当 n=1 时,a1=2;当 n=2 时,a2=6,也满足上式, ∴数列{an}的通项公式为 an=n(n+1). (2)bn= = = = = 1 1 + +?+a an+1 an+2 2n 1

1 1 1 + +?+ ?n+1??n+2? ?n+2??n+3? 2n?2n+1? 1 1 1 1 1 1 - + - +?+2n- n+1 n+2 n+2 n+3 2n+1 1 1 - n+1 2n+1 n 2n +3n+1
2



1 . 1 ?2n+n?+3

1 1 令 f(x)=2x+x(x≥1),则 f′(x)=2-x2, 当 x≥1 时,f′(x)>0 恒成立, ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数, 故当 x=1 时,f(x)min=f(1)=3, 1 即当 n=1 时,(bn)max=6. 1 要使对任意的正整数 n,当 m∈[-1,1]时,不等式 t2-2mt+6>bn 1 1 恒成立,则需 t2-2mt+6>(bn)max=6, 即 t2-2mt>0 对?m∈[-1,1]恒成立,
?t2-2t>0 ? ∴? 2 ,解得 t>2 或 t<-2, ? ?t +2t>0

∴实数 t 的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).


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