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2011中考数学真题(圆的性质、直线和圆及答案)


选择题( 选择题(每小题 x 分,共 y 分) (2011?安徽省)7. 如图,⊙半径是 1,A、B、C 是圆周上的三点,∠BAC=36°,则劣弧 BC 的长是………………………………………………………………………【 B 】 A.

π
5

B.

2π 5

C.

3π 5

D.

4π 5

第 7 题图 (2011?达州)6、如图3,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8, 那么线段 OE的长为C A、5 C、3 B、4 D、2

(2011?重庆市潼南县)3. 如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,∠A=30°,则∠B 的度 数为 D B. 30° C. 45° D. 60°
A
O C

A.15°

B

〔2011?芜湖市〕8.如图,直径为 10 的⊙A 山经过点 C(0,5)和点 0(0,0),B 3题图 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 ( C ) A.
1 2

B.

3 4

C.

3 2

D.

4 5

(2011●嘉兴)6.如图, 半径为 10 的⊙O 中, AB 的长为 16, 弦 则这条弦的弦心距为( A )

(A)6

(B)8

(C)10

(D)12
O

A
(第 6 题)

B

(2011?乐山) 6.如图(3) ,CD 是⊙O 的弦,直径 AB 过 CD 的中点 M,若∠BOC=40°, 则∠ABD=C

(A) 40°

(B) 60° (C)70° (D)80°

(2011?泰安市)10.如图,⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC,若 AB= 6 , 则⊙O 的半径为 A

(A) 2

(B) 2 2

(C)

2 2

(D)

6 2

〔2011?浙江省衢州〕10、如图,一张半径为 1 的圆形纸片 为 a( a ≥ 3 )的正方形内 任意移动,则该正方形内,这张圆形纸片“不能接触到的部分”的 面积是( D A、 a ? π
2

在 边 长

) B、 (4 ? π)a 2 D、 4 ? π y A
1

C、 π

(第 10 题)

(2011?金华市)10.如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,点 B 与下列格点的连线中,能够与该 圆弧相切的是 ( C▲ ) A.点(0,3) B. 点(2,3) C.点(5,1) D. 点(6,1) (2011?茂名市)10、如图,正方形 ABCD 内接于⊙O, ⊙O 的直径为 2 分米,

B C

O

1 第 10 题图

x

第 10 题 图

若在这个圆面上随意抛一粒豆子,则豆子落在正方形 ABCD 内的概率是 A A.

2

π

B.

π
2

C.

1 2π

D. 2π

〔2011?浙江省衢州〕8、一个圆形人工湖如图所示,弦 AB 是湖上的一座桥,已知桥 AB (第 8 题) 长 100m,测得圆周角∠ACB=45°,则这个人工湖的直径 AD 为( B ) C D B、 100 2 m C、 150 2m D、 200 2m A、 50 2m O A B

一个平面封闭图形内 (含边界) 任意两点距离的最大值称为该图形的 “直 〔2011?德州市〕 . ?德州市 7. 径” 封闭图形的周长与直径之比称为图形的 , “周率” 下面四个平面图形 , (依次为正三角形、 正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为 a1 , a2 , a3 , a4 ,则下列关系中正确的 是B

(A) a4 > a2 > a1 (B) a4 > a3 > a2

(C) a1 > a2 > a3

(D) a2 > a3 > a4

〔2011?福州市〕7.如图,顺次连结圆内接矩形各边的中点,得 到菱形 ABCD, BD=6, 若 DF=4, 则菱形 ABCD 的边长为 ( A.4 2 B.3 2 C.5 D.7
E B O C D F

D )

A

(第 6 题) 〔2011?山东省烟台市〕11、如图,△ ABC 内接于⊙O,D 为线 段 AB 的中点,延长 OD 交⊙O 于点 E,连接 AE,BE,则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE, ③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤

,正确结论的个数是 B D、5

A、2

B、3

C、4

二、填空题(每小题 x 分,共 y 分) 填空题

(2011?安徽省)13.如图,⊙O 的两条弦 AB、CD 互相垂直,垂足为 E,且 AB=CD,已知 CE=1, ED=3,则⊙O 的半径是___ 5 ______.

第 13 题图 (2011?天津)(1S) 如图,AD,AC 分别是⊙O 的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD, 交 AC 于点 B.若 OB=5,则 BC 的长等于_____5____。

(2011?威海市)15.如图,⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E,AE=5,BE=1,CD=4 2 ,则 ?威海市 . ∠AED=____30____。
A D

O

?E

B C

(第 15 题图)

〔2011?温州市〕14、如图,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 都在⊙O 上,连结 CA,CB,DC,DB.已知 ∠D=30°,BC=3,则 AB 的长是 6 ;

(2011●嘉兴)16.如图,AB 是半圆直径,半径 OC⊥AB 于点 O,AD 平分∠CAB 交弧 BC 于 ③∴ODE∽∴ADO; 点 D, 连结 CD、 OD, 给出以下四个结论: C ①AC∥OD; CE = OE ; ② ④ 2CD 2 = CE ? AB .其中正确结论的序号是 ①④▲ D . E
A O
(第 16 题)

B

(2011?黄石市)14.如图(5) ,△ ABC 内接于⊙ O ,若 ∠B =30°, AC = 直径为

3 ,则⊙ O 的

2 3

.

C A B O

图(5)

(2011●河北省)16.如图 7,点 O 为优弧 ACB 所在圆的心,∠AOC=108°,点 D 在 AB 的延 长线上,BD=BC,则∠D=___27_________.
C

O A 图7 B D

2011?芜湖市〕16.如图,在正方形 ABCD 内有一折线段, 其中 AE⊥EF,EF⊥FC,并且 AE=6, EF=8,FC=10,则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分 的面积为_____80π-160 ___。
〔2011?日照市〕14. 如图,在以 AB 为直径的半圆中,有一个边

长为 1 的内接正方形 CDEF,则以 AC 和 BC 的长为两根 二次方程是 如:x2- 5 x+1=0; .

的 一 元

南京市〕 〔2011?南京市〕13.如图,海边有两座灯塔 A、B,暗礁分布在经过 A、B 两点的弓形(弓
P

O A 形的弧是⊙O 的一部分)区域内 B ,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船

(第 12 题)

P 与 A、B 的张角∠APB 的最大值为__40____°. 〔2011?福建省泉州市〕16. 已知三角形的三边长分别为 3,4,5,则它的边与半径为 1 的 2011?福建省泉州市〕 圆的公共点个数所有可能的情况是 2 .(写出符合的一种情况即可)

(共 三、解答题: 共 x 分) 解答题: (

(2011?潜江市)20. (满分 8 分)如图,BD 是⊙O 的直径, A、C 是⊙O 上的两点,且 A D AB=AC,AD 与 BC 的延长线交于点 E. (1)求证:△ABD∽△AEB; (2)若 AD=1,DE=3,求 BD 的长. B
?

E

O
C

20.(1)证明:∵AB=AC, ∴ AB = AC . ∴∠ABC=∠ADB. …………………… 2 分 又∠BAE=∠DAB,∴ △ABD∽△AEB. ………………………………… 4 分 (2)解:∵△ABD∽△AEB, ∴

AB AD = . AE AB

∵ AD=1, DE=3, ∴AE=4. ∴ AB2=AD·AE=1×4=4. ∴ AB=2. ……………………………………………………………………6 分 ∵ BD 是⊙O 的直径, ∴∠DAB=90°. 在 Rt△ABD 中,BD2=AB2+AD2=22+12=5, ∴BD= 5 .………………………………………………………………… 8 分

(2011?宁波)25. (本题 10 分)阅读下面的情景对话,然后解答问题: 老师:我们新定义一种三角形, 两边平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形. 小明: 那直角三角形 中是否存在奇异三 角形呢?

小华:等边三角形一 定是奇异三角形!

(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角 形”是真命题还是假命题? (2)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB= c ,AC= b ,BC= a ,且 b > a ,若 Rt△ABC 是

奇异三角形,求 a : b : c ; (3)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(不与点 A、B 重合),D 是半圆 ADB 的中 点, C、D 在直径 AB 两侧,若在⊙O 内存在点 E,使得 AE=AD,CB=CE. ① 求证:△ACE 是奇异三角形; ② 当△ACE 是直角三角形时,求∠AOC 的度数. O E C

A

B

D 25.解:(1) 真命题 (2) 在 Rt△ABC 中, a + b = c
2 2 2

(第 25 题)2 分

∵ c>b>a>0 ∴ 2c > a + b , 2 a < b + c
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴若 Rt△ABC 为奇异三角形,一定有 2b = a + c ∴ 2b = a + ( a + b )
2 2 2 2

3分

∴ b = 2a
2 2 2

2

得b =
2

2a
2

∵ c = b + a = 3a ∴c =

3a ∴ a : b : c = 1: 2 : 3
(3) ①∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=∠ADB=90° 在 Rt△ACB 中, AC 2 + BC 2 = AB 2 在 Rt△ADB 中, AD 2 + BD 2 = AB 2 ∵点 D 是半圆 ADB 的中点 ∴AD= BD ∴AD=BD ∴ AB = AD + BD = 2 AD
2 2 2 2

5分

6分 7分

∴ AC 2 + CB 2 = 2 AD 2 又∵ CB = CE , AE = AD ∴ AC 2 + CE 2 = 2 AE 2 ∴△ ACE 是奇异三角形 ②由①可得△ ACE 是奇异三角形 ∴ AC 2 + CE 2 = 2 AE 2 当△ ACE 是直角三角形时 由(2)可得 AC : AE : CE = 1 : 2 : 3 或 AC : AE : CE = 3 : 2 : 1 (Ⅰ)当 AC : AE : CE = 1 : 2 : 3 时,

8分

AC : CE = 1 : 3
∵ ∠ACB = 90° ∴ ∠ABC = 30°

即 AC : CB = 1 : 3

∴ ∠AOC = 2∠ABC = 60° (Ⅱ)当 AC : AE : CE = 3 : 2 : 1 时,

9分

AC : CE = 3 : 1
∵ ∠ACB = 90° ∴ ∠ABC = 60°

即 AC : CB = 3 : 1

∴ ∠AOC = 2∠ABC = 120° ∴ ∠AOC 的度数为 60°或120° .

10 分

〔2011?大理〕23. 分)如图,点 A、B、D、E 在⊙O 上,弦 AE、BD 的延长线相交于点 (8 C.若 AB 是⊙O 的直径,D 是 BC 的中点. (1)试判断 AB、AC 之间的大小关系,并给出证明; (2)在上述题设条件下,?ABC 还需满足什么条件,点 E 才一定是 AC 的中点?(直接 写出结论) .

A

O

E

B
第 23 题

D

C

23.解:(1)AB=AC A 【证法一】连结 AD,∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90° 即 AD⊥BC ∵ AD 公用,BD=DC,∴ Rt∴ABD≌Rt∴ACD O ∴ AB=AC 【证法二】连结 AD,则 AD⊥BC 又 BD=DC,∴ AD 是线段 BD 的中垂线 B D ∴ AB=AC (2) ∴ABC 为正三角形,或 AB=BC,或 AC=BC,或∠A=∠B,或∠A=∠C 第 23 题 (2011 江西省)22.图甲是一个水桶模型示意图, 水桶提手结构的平面图是轴对称图形, 当点 O 到 BC(或 DE)的距离大于或等于⊙O 的半径时(⊙O 是桶口所在圆,半径为 OA) ,提 手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提

E

C

其余是线段) O 是 AF 的中点, , 桶口直径 AF =34cm, 手 (如图丙 A-B-C-D-E-F, C-D 是 CD , AB=FE=5cm,∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格. (参考数据: 314 ≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97.) D C B A E F

A B C

O

O

F E

C

D

D

B

E

22.解法一 连接 OB,过点 O 作 OG⊥BC 于点 G. 在 Rt△ABO 中,AB=5,AO=17, ∴ tan∠ABO=
AO 17 = = 3.4 , AB 5

………………1 分

∴∠ABO=73.6°,………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°. 又 ∵ OB = 52 + 17 2 = 314 ≈ 17.72 , ∴在 Rt△OBG 中,

……………8 分 OG = OB × sin ∠OBG = 17.72 × 0.97 ≈ 17.19 > 17 . ∴水桶提手合格. ……………9 分 解法二 连接 OB,过点 O 作 OG⊥BC 于点 G. ……………1 分 在 Rt△ABO 中,AB=5,AO=17, ∴ tan∠ABO=
AO 17 = = 3.4 , AB 5

∴∠ABO=73.6°. ………………4 分 要使 OG≥OA,只需∠OBC≥∠ABO, ∵∠OBC=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°>73.6°,……8 分 ∴水桶提手合格. ………………9 分 (2011 江西省)21.如图,已知⊙O 的半径为 2,弦 BC 的长为 2 3 ,点 A 为弦 BC 所对优弧上 D C 任意一点(B,C 两点除外). (1)求∠BAC 的度数; G (2)求△ABC 面积的最大值. E B 3 3 3 O o o A (参考数据: sin 60o = F A, cos 30 = 2 , tan 30 = 3 .) 2 34 图丙 O B 21.解:(1) 解法一 连接 OB,OC,过 O 作 OE⊥BC 于点 E. ∵OE⊥BC,BC= 2 3 , ∴ BE = EC = 3 . ………………1 分 在 Rt△OBE 中,OB=2,∵ sin ∠BOE = ∴ ∠BOE = 60o ,
1 2 BE 3 = , OB 2

C

∴ ∠BOC = 120o , ………………4 分

A D O B C

∴ ∠BAC = ∠BOC = 60o .

解法二 连接 BO 并延长,交⊙O 于点 D,连接 CD. ∵BD 是直径,∴BD=4, ∠DCB = 90o .

在 Rt△DBC 中, sin ∠BDC =

BC 2 3 3 = = , BD 4 2

∴ ∠BDC = 60o ,∴ ∠BAC = ∠BDC = 60o .………………4 分 (2) 解法一 因为△ABC 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时,△ABC 的面积最 大,此时点 A 落在优弧 BC 的中点处. ………………5 分 过 O 作 OE⊥BC 于 E, 延长 EO 交⊙O 于点 A, A 为优弧 BC 的中点.连接 AB, 则 AC,则 AB=AC, ∠BAE = ∠BAC = 30o . A
o

1 2

在 Rt△ABE 中,∵ BE = 3, ∠BAE = 30 , ∴ AE =
BE = tan 30o 3 3 3 =3,

O B E C

1 ∴S△ABC= × 2 3 × 3 = 3 3 . 2

………………8 分 答:△ABC 面积的最大值是 3 3 . 解法二 因为△ABC 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时,△ABC 的面积最 大,此时点 A 落在优弧 BC 的中点处. ………………5 分 过 O 作 OE⊥BC 于 E, 延长 EO 交⊙O 于点 A, A 为优弧 BC 的中点.连接 AB, 则 AC,则 AB=AC. ∵ ∠BAC = 60o , ∴△ABC 是等边三角形. ………………6 分 在 Rt△ABE 中,∵ BE = 3, ∠BAE = 30o , ∴ AE =
BE = tan 30o 3 3 3 =3,

1 ∴S△ABC= × 2 3 × 3 = 3 3 . 2

答:△ABC 面积的最大值是 3 3 .

………………8 分

选择题( 选择题(每小题 x 分,共 y 分) 〔2011?日照市〕 已知 AC⊥BC 于 C, 11. BC=a, CA=b, AB=c, 下列选项中⊙O 的半径为 的是 C

ab a+b

〔2011?广州市〕10.如图,AB 切⊙O 于点 B,OA=2 3 ,AB=3,弦 BC//OA,则劣弧 BC 的 弧长为( A ) A.

3 π 3

B.

3 π 2

C.

π

D.

3 π 2
y A
1

(2011?金华市)10.如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,点 B 与下列格点的连线中,能够与该 圆弧相切的是 ( C ) A.点(0,3) B. 点(2,3) C.点(5,1) D. 点(6,1)

B C

O

1 第 10 题图

x

南京市〕 〔2011?南京市〕6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P 的
圆心是(2,a)(a>2),半径为 2,函数 y=x 的图象被⊙ P 的弦 AB 的长为 2 3 ,则 a 的值是 B A. 2 3 D. 2 + 3 B. 2 + 2 2 C. 2 3 y

y=x P B

A B (第 6 题) x

二、填空题(每小题 x 分,共 y 分) 填空题( 13、 2011·济宁)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=4cm,以点 C 为圆心,以 3cm ( ·济宁) 长为半径作圆,则⊙C 与 AB 的位置关系是 相交 。 A

C B (2011?宿迁市)17.如图,从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB,切点为 B,连接 AO 并延长交 第 13 题 圆于点 C,连接 BC.若∠A=26°,则∠ACB 的度数为 32▲ .
C O

A

B

(第 17 题)

(2011?泰安市)23.如图,PA 与⊙O 相切,切点为 A,PO 交⊙O 于点 C,点 B 是优弧 CBA 上一点,若∠ABC=32°,则∠P 的度数为 26 。

〔2011?浙江省衢州〕16、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的 半径 r,用角尺 的较短边紧靠⊙O,并使较长边与⊙O 相勤勤恳恳于点 C,假 设角尺的较长边足够多,角尺的顶点为 B,较短边 AB=8cm, 若读得 BC 长为 acm,则用含 a 的代数式表示 r O A B C

1 2 为______当 0 < a ≤ 8时 , r = a ; 当a > 8时 , r = a + 4; 16 1 2 或 0 < r ≤ 8时 , r = a ; 当r > 8时 , r = a + 4; 16
___________________

解答题: (共 三、解答题: 共 x 分) ( (2011?株洲市)22. (本题满分 8 分)如图, AB 为 O 的直径, BC 为 交

O 的切线, AC

O 于点 E , D 为 AC 上一点, ∠AOD = ∠C .

C E D A O B

(1)求证: OD ⊥ AC ;

3 (2)若 AE = 8 , tan A = ,求 OD 的长. 4
22. . (1)证明:Q BC 是

O 的切线, AB 为 O 的直径
…… 2 分

∴ ∠ABC=90° ,∴ ∠A+∠C=90°
又Q ∠AOD=∠C

∴ ∠AOD+∠A=90°

…… 3 分

∴∠ADO = 90°
∴ OD ⊥ AC
(2)解:Q OD ⊥ AE , O 为圆心 …… 4分

∴ D 为 AE 中点

…… 6 分

1 ∴ AD= AE=4 2
又 tan A =

3 4

∴ OD=3

…… 8 分

〔2011?浙江省义乌〕21.如图,已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直,垂足为点 E. ⊙O 的切线 BF 与弦 AD 的 延长线相交于点 F,且 AD=3,cos∠BCD= (1)求证:CD∥BF;
C

3 4
.

A

O E B

D

(2)求⊙O 的半径; (3)求弦 CD 的长. 21.解: (1)∵BF 是⊙O 的切线 ∴AB⊥BF 1分

F

…………………………………………

∵AB⊥CD ∴CD∥BF………………………………………………………………………2 分 (2)连结 BD ∵AB 是直径 分 ∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD= ∴cos∠BAD= ∴∠ADB=90° ……………………………………………3
A

3 …………………4 分 4
C O E B D

AD 3 = AB 4

又∵AD=3 ∴AB=4 ∴⊙O 的半径为 2 ……………………………………5 分 (3)∵cos∠DAE= 分 ∴ED= 32 ? ? ? = 7分 ∴

F

AE 3 = AD 4

AD=3∴AE=

9 4

………………………………6

?9? ?4?

2

3 7 4

…………………………………………………

CD=2ED=

3 7 ………………………………………………………………8 分 2

〔2011?盐城市〕25. (本 题 满 分 10 分)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,以 AB 上一点 O 为圆心,OA 长为半径的圆与 BC 相切于点 D,分别交 AC、AB 于点 E、F. C (1)若 AC=6,AB= 10,求⊙O 的半径; D E (2)连接 OE、ED、DF、EF.若四边形 BDEF 是 平行四边形,试判断四边形 OFDE 的形状, 并说明理由. 25.解: (1)连接 OD. 设⊙O 的半径为 r. ∵BC 切⊙O 于点 D,∴OD⊥BC. ∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴△OBD∽△ABC. 15 OD OB r 10-r ∴ = ,即 = . 解得 r = , AC AB 10 4 6 15 ∴⊙O 的半径为 . 4 (2)四边形 OFDE 是菱形. ∵四边形 BDEF 是平行四边形,∴∠DEF=∠B. 1 1 ∵∠DEF= ∠DOB,∴∠B= ∠DOB. 2 2 ∵∠ODB=90°,∴∠DOB+∠B=90°,∴∠DOB=60°. ∵DE∥AB,∴∠ODE=60°.∵OD=OE,∴△ODE 是等边三角形. ∴OD=DE.∵OD=OF,∴DE=OF.∴四边形 OFDE 是平行四边形. ∵OE=OF,∴平行四边形 OFDE 是菱形.
A E

A

O

F

B

C D

O

F

B

〔2011?芜湖市〕23. (本小题满分 12 分) 如图,已知直线 PA 交⊙0 于 A、B 两点,AE 是⊙0 的直径.点 C 为⊙0 上一点, 且 AC 平分∠PAE,过 C 作 CD⊥PA,垂足为 D。 (1)求证:CD 为⊙0 的切线; (2)若 DC+DA=6,⊙0 的直径为 l0,求 AB 的长度.

(1)证明:连接 OC, 因为点 C 在⊙0 上,0A=OC,所以∠OCA=∠OAC,因为 CD⊥PA,所以∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,因为 AC 平分∠PAE,所以∠DAC=∠CAO。 所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。

又因为点 C 在⊙O 上,OC 为⊙0 的半径,所以 CD 为⊙0 的切线. (2)解:过 0 作 0F⊥AB,垂足为 F,所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, 所以四边形 OCDF 为矩形,所以 0C=FD,OF=CD. ∵DC+DA=6,设 AD=x,则 OF=CD=6-x, ∵⊙O 的直径为 10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x, 在 Rt△AOF 中,由勾股定理得 AF2 +OF 2 =OA 2 . 即 (5 ? x) 2 + (6 ? x) 2 = 25 ,化简得: x 2 ? 11x + 18 = 0 解得 x = 2 或 x = 9 。 由 AD<DF,知 0 < x < 5 ,故 x = 2 。 从而 AD=2, AF=5-2=3. ∵OF⊥AB,由垂径定理知,F 为 AB 的中点,∴AB=2AF=6.

〔2011?日照市〕如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点, AD⊥CD 于点 D. 求证: (1)∠AOC=2∠ACD; (2)AC2=AB·AD.

证明: (1)∵CD 是⊙O 的切线,∴∠OCD=90°, ∵ 即∠ACD+∠ACO=90°.…① …………………………………………2 分 ∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO, ∴∠AOC=180°-2∠ACO,即 由①,②,得:∠ACD-

1 ∠AOC+∠ACO=90°. …②……………4 分 2

1 ∠AOC=0,即∠AOC=2∠ACD;………………5 分 2

(2)如图,连接 BC. ∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.……………6 分 在 Rt△ACD 与△RtACD 中, ∵∠AOC=2∠B,∴∠B=∠ACD, ∴△ACD∽△ABC,………………………8 分 ∴

AC AD ,即 AC2=AB·AD. ……… = AB AC

1. 〔2011?凉山州〕 如图, 已知 △ABC , BC 为直径,O 为圆心的半圆交 AC 于点 F , 以 点 E 为 CF 的中点, 连接 BE 交 AC 于点 M , 且 AD 为 △ABC 的角平分线, AD ⊥ BE , 垂足为点 H 。 (1) 求证: AB 是半圆 O 的切线; (2) 若 AB = 3 , BC = 4 ,求 BE 的长。 A F H B M C

E

D O 27 题图

(1)证明:连接 EC , ∵ BC 是直径, ∴ ∠E = 90o , 又∵ AD ⊥ BE 于 H , ∴ ∠AHM = 90o , ∵ ∠1 = ∠ 2 ∴ ∠3 = ∠4 。 ··············· 分 ···············1 ∵ AD 是 △ABC 的角平分线, A ·········· ··········…2 分 ∴ ∠4 = ∠5 = ∠3 。 又 ∵ E 为 CF 的中点, 5 F E ∴ ∠3 = ∠7 = ∠5 。 ···········3 分 ·········· 2 ∵ AD ⊥ BE 于 H , H M 1A 3 o o ∵ ∠5 + ∠6 = 90 , 即 ∠6 + ∠7 = 90 。 6 7 又∵ BC 是直径, ∴ AB 是半圆 O 的切线 ··4 分 · B D O (2)∵ AB = 3 , BC = 4 。 27 题图 由(1)知, ∠ABC = 90o ,∴ AC = 5 。·········· 分 ···········5 在 △ABM 中, AD ⊥ BM 于 H , AD 平分 ∠BAC , ∴ AM = AB = 3 ,∴ CM = 2 。····················6 分 ···················· 由 △CME ∽ △BCE , 得 分 ∴ EB = 2 EC ,∴ BE =
4

C

EC MC 1 ···················· 7 = = 。···················· EB CB 2

8 ········ 5 。········8 分 5

20、 分) 2011·济宁) 、 (7 ( ·济宁) 如图, 是⊙O 的直 AB 径,AM 和 BN 是 它的两条切 线,DE 切 ⊙O 于 点 E, 交

A

D E

M

OO

F

B 第 20 题

C

N

AM 与于点 D,交 BN 于点 C,F 是 CD 的 中点,连接 OF。 (1) 求证:OD∥BE; (2) 猜想:OF 与 CD 有何数量关系?并 说明理由。

20、解: 、 (1)证明:连接 OE ∵AM、 是⊙O 的切线, DE OA、 OE 是⊙O 的半径 ∴ ∠ ADO= ∠ EDO, ∠ DAO= ∠ OO

A

D E F

M

B 第 20 题

C

N

DEO=90°…………1 分 ∴∠AOD=∠EOD= ∵∠ABE= (2) OF =

1 ∠AOE 2

…………2 分 …………3 分

1 ∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD∥BE 2
…………4 分

1 CD 2

理由:连接 OC ∵BE、CE 是⊙O 的切线 ∴∠OCB=∠OCE …………5 分 ∵AM∥BN ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由(1)得 ∠ADO=∠EDO ∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6 分 在 Rt△DOC 中, ∵ F 是 DC 的中点 ∴OF =

1 CD 2

…………7 分

选择题(每小题 选择题(每小题 x 分,共 y 分) 〔2011?日照市〕 已知 AC⊥BC 于 C, 11. BC=a, CA=b, AB=c, 下列选项中⊙O 的半径为 的是 C

ab a+b

〔2011?广州市〕10.如图,AB 切⊙O 于点 B,OA=2 3 ,AB=3,弦 BC//OA,则劣弧 BC 的 弧长为( A ) A.

3 π 3

B.

3 π 2

C.

π

D.

3 π 2
y A
1

(2011?金华市)10.如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,点 B 与下列格点的连线中,能够与该 圆弧相切的是 ( C ) A.点(0,3) B. 点(2,3) C.点(5,1) D. 点(6,1)

B C

O

1 第 10 题图

x

南京市〕 〔2011?南京市〕6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P 的圆心是(2,a)(a>2),半径为 2,
函数 y=x 的图象被⊙P 的弦 AB 的长为 2 3 ,则 a 的值 是B A. 2 3 D. 2 + 3 B. 2 + 2 2 C. 2 3 P B y y=x

A B (第 6 题) x

二、填空题(每小题 x 分,共 y 分) 填空题( 13、 2011·济宁)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=4cm,以点 C 为圆心,以 3cm ( ·济宁) 长为半径作圆,则⊙C 与 AB 的位置关系是 相交 。 A

C B (2011?宿迁市)17.如图,从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB,切点为 B,连接 AO 并延长交 第 13 题 圆于点 C,连接 BC.若∠A=26°,则∠ACB 的度数为 32▲ .
C O

A

B

(第 17 题)

(2011?泰安市)23.如图,PA 与⊙O 相切,切点为 A,PO 交⊙O 于点 C,点 B 是优弧 CBA 上一点,若∠ABC=32°,则∠P 的度数为 26 。

〔2011?浙江省衢州〕16、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的 半径 r,用角尺 的较短边紧靠⊙O,并使较长边与⊙O 相勤勤恳恳于点 C,假 设角尺的较长边足够多,角尺的顶点为 B,较短边 AB=8cm, O A B C

若读得 BC 长为 acm,则用含 a 的代数式表示 r 为______当 0 < a ≤ 8时 , r = a ; 当a > 8时 , r = 或 0 < r ≤ 8时 , r = a ; 当r > 8时 , r = ___________________

1 2 a + 4; 16

1 2 a + 4; 16

解答题: (共 三、解答题: 共 x 分) ( (2011?株洲市)22. (本题满分 8 分)如图, AB 为 O 的直径, BC 为 交

O 的切线, AC

O 于点 E , D 为 AC 上一点, ∠AOD = ∠C .

C E D A O B

(1)求证: OD ⊥ AC ;

3 (2)若 AE = 8 , tan A = ,求 OD 的长. 4
22. . (1)证明:Q BC 是

O 的切线, AB 为 O 的直径
…… 2 分

∴ ∠ABC=90° ,∴ ∠A+∠C=90°
又Q ∠AOD=∠C

∴ ∠AOD+∠A=90° ∴∠ADO = 90° ∴ OD ⊥ AC
(2)解:Q OD ⊥ AE , O 为圆心

…… 3 分

…… 4分

∴ D 为 AE 中点

…… 6 分

1 ∴ AD= AE=4 2
又 tan A =

3 4

∴ OD=3

…… 8 分

〔2011?浙江省义乌〕21.如图,已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直,垂足为点 E. ⊙O

3 4

A

C

O E B

D

F

的切线 BF 与弦 AD 的 延长线相交于点 F,且 AD=3,cos∠BCD= (1)求证:CD∥BF; (2)求⊙O 的半径; (3)求弦 CD 的长. 21.解: (1)∵BF 是⊙O 的切线 ∴AB⊥BF 1分 ∵AB⊥CD ∴CD∥BF………………………………………………………………………2 分 (2)连结 BD ∵AB 是直径 分 ∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD= ∴cos∠BAD= ∴∠ADB=90° ……………………………………………3
A

.

…………………………………………

3 …………………4 分 4
C O E B D

AD 3 = AB 4

又∵AD=3 ∴AB=4 ∴⊙O 的半径为 2 ……………………………………5 分 (3)∵cos∠DAE= 分

F

AE 3 = AD 4
2

AD=3∴AE=

9 4

………………………………6

3 7 ?9? ∴ED= 3 ? ? ? = 4 ?4?
2

…………………………………………………

7分 ∴ CD=2ED=

3 7 ………………………………………………………………8 分 2

〔2011?盐城市〕25. (本 题 满 分 10 分)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,以 AB 上一点 O 为圆心,OA 长为半径的圆与 BC 相切于点 D,分别交 AC、AB 于点 E、F. C (1)若 AC=6,AB= 10,求⊙O 的半径; D E (2)连接 OE、ED、DF、EF.若四边形 BDEF 是 平行四边形,试判断四边形 OFDE 的形状, 并说明理由. 25.解: (1)连接 OD. 设⊙O 的半径为 r. ∵BC 切⊙O 于点 D,∴OD⊥BC. ∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴△OBD∽△ABC.
A O F B E

A

O

F

B

C D



OD OB r 10-r = ,即 = . AC AB 10 6

解得 r =

15 , 4

15 ∴⊙O 的半径为 . 4 (2)四边形 OFDE 是菱形. ∵四边形 BDEF 是平行四边形,∴∠DEF=∠B. 1 1 ∵∠DEF= ∠DOB,∴∠B= ∠DOB. 2 2 ∵∠ODB=90°,∴∠DOB+∠B=90°,∴∠DOB=60°. ∵DE∥AB,∴∠ODE=60°.∵OD=OE,∴△ODE 是等边三角形. ∴OD=DE.∵OD=OF,∴DE=OF.∴四边形 OFDE 是平行四边形. ∵OE=OF,∴平行四边形 OFDE 是菱形.

〔2011?芜湖市〕23. (本小题满分 12 分) 如图,已知直线 PA 交⊙0 于 A、B 两点,AE 是⊙0 的直径.点 C 为⊙0 上一点, 且 AC 平分∠PAE,过 C 作 CD⊥PA,垂足为 D。 (1)求证:CD 为⊙0 的切线; (2)若 DC+DA=6,⊙0 的直径为 l0,求 AB 的长度.

(1)证明:连接 OC, 因为点 C 在⊙0 上,0A=OC,所以∠OCA=∠OAC,因为 CD⊥PA,所以∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,因为 AC 平分∠PAE,所以∠DAC=∠CAO。 所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又因为点 C 在⊙O 上,OC 为⊙0 的半径,所以 CD 为⊙0 的切线. (2)解:过 0 作 0F⊥AB,垂足为 F,所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, 所以四边形 OCDF 为矩形,所以 0C=FD,OF=CD. ∵DC+DA=6,设 AD=x,则 OF=CD=6-x, ∵⊙O 的直径为 10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x, 在 Rt△AOF 中,由勾股定理得 AF2 +OF2 =OA 2 . 即 (5 ? x) 2 + (6 ? x) 2 = 25 ,化简得: x 2 ? 11x + 18 = 0 解得 x = 2 或 x = 9 。 由 AD<DF,知 0 < x < 5 ,故 x = 2 。 从而 AD=2, AF=5-2=3. ∵OF⊥AB,由垂径定理知,F 为 AB 的中点,∴AB=2AF=6.

〔2011?日照市〕如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点, AD⊥CD 于点 D. 求证: (1)∠AOC=2∠ACD; (2)AC2=AB·AD.

证明: (1)∵CD 是⊙O 的切线,∴∠OCD=90°, ∵ 即∠ACD+∠ACO=90°.…① …………………………………………2 分 ∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO, ∴∠AOC=180°-2∠ACO,即 由①,②,得:∠ACD-

1 ∠AOC+∠ACO=90°. …②……………4 分 2

1 ∠AOC=0,即∠AOC=2∠ACD;………………5 分 2

(2)如图,连接 BC. ∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.……………6 分 在 Rt△ACD 与△RtACD 中, ∵∠AOC=2∠B,∴∠B=∠ACD, ∴△ACD∽△ABC,………………………8 分 ∴

AC AD = ,即 AC2=AB·AD. ……… AB AC

2. 〔2011?凉山州〕 如图, 已知 △ABC , BC 为直径,O 为圆心的半圆交 AC 于点 F , 以 点 E 为 CF 的中点, 连接 BE 交 AC 于点 M , AD 为 △ABC 的角平分线, AD ⊥ BE , 且 垂足为点 H 。 (3) 求证: AB 是半圆 O 的切线; (4) 若 AB = 3 , BC = 4 ,求 BE 的长。 A F H B M C

E

D O 27 题图

(1)证明:连接 EC , ∵ BC 是直径, ∴ ∠E = 90 ,
o

又∵ AD ⊥ BE 于 H , ∴ ∠AHM = 90 , ∵ ∠1 = ∠2 ∴ ∠3 = ∠4 。 ··············· 分 ···············1 ∵ AD 是 △ABC 的角平分线, A ∴ ∠4 = ∠5 = ∠3 。 ·········· ··········…2 分
o

又 ∵ E 为 CF 的中点, ∴ ∠3 = ∠7 = ∠5 。 ···········3 分 ·········· ∵ AD ⊥ BE 于 H , 即 ∠6 + ∠7 = 90 。 ∵ ∠5 + ∠6 = 90 , 又∵ BC 是直径, ∴ AB 是半圆 O 的切线 ··4 分 · (2)∵ AB = 3 , BC = 4 。
o o o

5

4

F H
2

M

E 1A
3

6

B

7

由(1)知, ∠ABC = 90 ,∴ AC = 5 。·········· 分 ···········5 在 △ABM 中, AD ⊥ BM 于 H , AD 平分 ∠BAC , ···················· ∴ AM = AB = 3 ,∴ CM = 2 。····················6 分 由 △CME ∽ △BCE , 得 分 ∴ EB = 2 EC ,∴ BE =

D O 27 题图

C

EC MC 1 = = 。···················· ···················· 7 EB CB 2

8 5 。········8 分 ········ 5

20、 分) 2011·济宁)如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和 BN 是 、 (7 ( ·济宁) A 它的两条切线, 切⊙O 于点 E, AM 与于点 D, BN 于点 C, DE 交 交 F 是 CD 的中点,连接 OF。 (1) 求证:OD∥BE; OO (2) 猜想:OF 与 CD 有何数量关系?并说明理由。

D E F

M

B 第 20 题 20、解: 、 (1)证明:连接 OE ∵AM、DE 是⊙O 的切线,OA、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1 分 ∴∠AOD=∠EOD=

C

N

1 ∠AOE 2

…………2 分

A

D E

M

OO

F

B 第 20 题

C

N

∵∠ABE= (2) OF =

1 ∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD∥BE 2
…………4 分

…………3 分

1 CD 2

理由:连接 OC ∵BE、CE 是⊙O 的切线 ∴∠OCB=∠OCE …………5 分 ∵AM∥BN ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由(1)得 ∠ADO=∠EDO ∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6 分 在 Rt△DOC 中, ∵ F 是 DC 的中点 ∴OF =

1 CD 2

…………7 分


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