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2016届高考数学大一轮复习 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 文 新人教版


第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

考纲要求:1.理解直线的倾斜角的概念;掌握过两点的 直线斜率的计算公式.2.(1)在平面直角坐标系中,结合具体图 形,确定直线位置的几何要素.(2)掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

[基础真题体验] 考查角度[直线的倾斜角

与斜率] 1.(2013· 辽宁高考)已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若 △OAB 为直角三角形,则必有( A.b=a3 1 B.b=a + a
3

)

C.(b-a D.|b-a

3 ?

? 1? 3 )?b-a -a? ?=0 ? ?

3

? 1? ? 3 |+?b-a -a? ?=0 ? ?

【解析】 若以 O 为直角顶点,则 B 在 x 轴上,则 a 必 为 0,此时 O,B 重合,不符合题意; π 若∠A= ,则 b=a3≠0. 2
3 a -b π 2 若∠B= ,根据斜率关系可知 a · =-1,所以 a(a3 2 a

1 -b)=-1,即 b-a - =0. a
3

以上两种情况皆有可能,故只有 C 满足条件.

【答案】 C

2.(2013· 安徽高考)函数 y=f(x)的图象如图 811 所示, 在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不同的数 x1,x2,?,xn,使 f?x1? f?x2? f?xn? 得 = =?= ,则 n 的取值范围是( x1 x2 xn )

图 811 A.{3,4} C.{3,4,5} B.{2,3,4} D.{2,3}

【解析】

由题意,函数 y=f(x)上的任一点坐标为(x,

f?x? f?x1? f(x)), 故 表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率. 若 x x1 f?x2? f?xn? = =?= , 则曲线上存在 n 个点与原点连线的斜率相 x2 xn 等,即过原点的直线与曲线 y=f(x)有 n 个交点.如图,数形 结合可得 n 的取值可为 2,3,4.

【答案】 B

[命题规律预测] 从近几年高考试题看,对本节内容的考查主要体 命题 规律 现在以下两个方面: 1.一般不单独命题,大多与其他知识结合考查直 线方程的应用. 2.难度以中档题为主, 考查学生的等价转换能力. 考向 预测 预测 2016 年高考对该部分知识单独命题的可能 性依然不大,但应注意直线与圆锥曲线交汇命题 是高考的一个热点.

考向一

直线的倾斜角与斜率 [典例剖析]

【例1】 (1)直线xcos α+ 3y+2=0的倾斜角的范围是 (
?π π? ?π 5π? A.?6,2?∪?2, 6 ? ? ? ? ? ? 5π? C.?0, 6 ? ? ? ? ? π? ?5π B.?0,6?∪? 6 ,π? ? ? ? ? ?π 5π? D.?6, 6 ? ? ?

)

(2)直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的 线段有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
【思路点拨】 (1)根据 cos α 的范围确定直线斜率的范 围,结合正切函数图象求倾斜角的范围.

3 【解析】 (1)设直线的倾斜角为 θ, 则 tan θ=- cos α, 3 3 3 又 cos α∈[-1,1],∴- ≤tan θ≤ , 3 3 又 0≤θ<π,且 y=tan θ 故
? ? ? π? ? ? ?5π θ∈?0,6?∪? 6 ,π? ?. ? ? ? ? ? ? ? π? ? ? ?π 在?0,2?及?2,π? ?上均为增函数, ? ? ? ?

【答案】 B

(2)根据题意可画出如图所示的图象. 1-0 ∵kAP= =1, 2-1 3-0 kBP= =- 3, 0-1 ∴k∈(-∞,- 3]∪[1,+∞).

1.已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 (1)求出斜率 k 的取值范围(若斜率不存在, 倾斜角为 90° ). (2)利用正切函数的单调性,借助图象或单位圆确定倾斜 角的取值范围. 2.直线的斜率 k 与倾斜角 α 之间的关系 α 0° 0° <α<90° k 0 k>0 90° 不存在 90° <α<180° k<0

[对点练习] 经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2), B(2,1)的线段总有公共点,则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取 值范围分别为________,________.

【解析】 如图所示,结合图形:为使直线 l 与线段 AB 总有公共点,则 kPA≤k≤kPB,而 kPB>0,kPA<0,故 k<0 时, 倾斜角 α 为钝角;k=0 时,α=0;k>0 时,α 为锐角. -2-?-1? 又 kPA= =-1, 1-0 -1-1 kPB= =1, 0-2 ∴-1≤k≤1, π 3π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ;当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4 4 故倾斜角 α 的取值范围为
? ? ? π? ? ? ?3π α∈?0,4?∪? 4 ,π? ?. ? ? ? ?

【答案】 [-1,1]

? ? ? π? ? ? ?3π ? 0 , , π ∪ ? ? ? 4? ? ? ?4 ?

考向二 求直线的方程 [典例剖析] 【例 2】 根据所给条件求直线的方程: 10 (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5.

10 【思路点拨】 (1)sin α= ?cos α 的值?tan α 的值? 10 点斜式方程; (2)由截距式求直线的方程; (3)分斜率存在和不存在两类问题结合点到直线的距离公 式求解.

【解】 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点 斜式. 10 设倾斜角为 α,则 sin α= (0<α<π), 10 3 10 从而 cos α=± , 10 1 则 k=tan α=± . 3 1 故所求直线方程为 y=± (x+4). 3 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0.

x y (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为 + =1, a 12-a 又直线过点(-3,4), -3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0.

(3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k, 则所求直线方程为 y-10=k(x-5), 即 kx-y+10-5k=0. |10-5k| 由点线距离公式,得 2 =5, k +1 3 解得 k= . 4 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0.

求直线方程时应注意的两大问题 1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形 式的适用条件. 2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想 的运用.

[对点练习] 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于点 B,且|AB|=5.

解 (1)法一:设直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0, 即直线 l 过点(0,0)和(3,2), 从而直线 l 的方程为 2 y= x,即 2x-3y=0. 3 x y 若 a≠0,则设直线 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵直线 l 过点(3,2),∴ + =1. a a ∴a=5,即直线 l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.

法二:由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- ,令 x=0,得 y=2-3k, k 2 2 由已知 3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= ,从而直线 l k 3 2 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.

(2)设所求直线的斜率为 k, 1 3 依题意得 k=- ×3=- . 4 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 即 3x+4y+15= 4 0.

(3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1.
? ?x=1, 解方程组? ? ?2x+y-6=0,

求得点 B 坐标为(1,4),此时 AB=5,即 x=1 为所求. 设过点 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x- 1),
? ?2x+y-6=0, 解方程组? ? ?y+1=k?x-1?,

? ?x=k+7, ? k+2 得两直线交点为? ? 4k-2 y= ? k+2 ? 平行). 故B
?k+7 4k-2? ? , 点坐标为? ?k+2 ?. k + 2 ? ?

(k≠-2, 否则与已知直线

?k+7 ? ? ? ? ?2 ?4k-2 2 2 -1? +? +1? 由已知? = 5 , ? ?k+2 ? ? k+2 ?

3 3 解得 k=- ,因此 y+1=- (x-1), 4 4 即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.

考向三

直线方程的综合应用 [典例剖析]

【例 3】 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A, 交 y 轴正半轴于 B, △AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的 方程.

【思路点拨】 (1)转化为两直线的交点问题; (2)由直线不经过第四象限建立不等式组,求 k 的取值范 围; (3)表示出△AOB 的面积,借助不等式求最值.

【解】 (1)证明:直线 l 的方程是 k(x+2)+(1-y)=0,
? ?x+2=0, 令? ? ?1-y=0, ? ?x=-2, 解得? ? ?y=1.

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1).

1+2k (2)由方程知, 当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- , k 在 y 轴上的截距为 1+2k, 要使直线不经过第四象限, 则必须 ? 1+2k ?- ≤-2 k 有? ? ?1+2k≥1

,解得 k>0;

当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意, 故 k≥0.

(3)由 l 的方程,得

? 1+2k ? ? ? A?- ,0?,B(0,1+2k). k ? ?

? 1+2k ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0,

解得 k>0.

? 1 1? ?1+2k? ∵S= · |OA|· |OB|= · |1+2k| ?· 2 2? k ? ?
2 1 ? 1 ?1+2k? 1? ? = · = ?4k+k +4? ? 2 k 2? ?

1 ≥ ×(2×2+4)=4, 2 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= , k 1 即 k= , 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.

1. 利用直线方程解决问题时, 选择适当的直线方程形式, 可以简化运算. (1)已知一点,通常选择点斜式. (2)已知斜率,通常选用斜截式. (3)已知截距或两点,选用截距式或两点式.如求直线与 坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,设直线的斜截式或 截距式比较方便.

2.在利用方程解决实际问题的过程中,要善于将所求的 量用坐标表示,然后通过坐标满足的方程进行消元,最终将 目标表示为 x 的函数, 再利用求函数最值的方法来解决问题.

[对点练习] 已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. (1)证明:直线恒过定点 M; (2)若直线分别与 x 轴,y 轴的负半轴交于 A,B 两点,求 △AOB 面积的最小值及此时直线的方程.

【解】 (1)(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0 可化为(x-2y -3)m=-2x-y-4.
? ?x-2y-3=0, 由? ? ?-2x-y-4=0, ? ?x=-1, 得? ? ?y=-2,

∴直线必过定点 M(-1,-2).

(2)设直线的斜率为 k(k<0),则其方程为 y+2=k(x+1), 2 ∴|OA|=1- ,|OB|=2-k, k
??k-2?2? ? 2 1 1? 1 ? ? ? 1 - S△AOB= · |OA|· |OB|= ? (2 - k ) = ? ? -k ? . k 2 2? 2 ? ? ? ?

∵k<0,∴-k>0, 1? ??k-2? ∴S△AOB= ? 2? -k
2?

? ? ?

? ? 4? 1? ? ? ? = ?4+?-k ?+?-k?? ?≥4. 2? ? ? ?

4 当且仅当- =-k,即 k=-2 时取等号, k ∴△AOB 的面积最小值是 4, 此时直线的方程为 y+2=-2(x+1),即 y+2x+4=0.

误区分析 12 忽视零截距致漏解 [典例剖析] 【典例】 (2014· 常州模拟)过点 P(-2,3)且在两坐标轴上 的截距相等的直线 l 的方程为________.

x y 【解析】 ①当截距不为 0 时, 设所求直线方程为 + = a a 1,即 x+y-a=0. ∵点 P(-2,3)在直线 l 上,∴-2+3-a=0, ∴a=1,所求直线 l 的方程为 x+y-1=0.

②当截距为 0 时,设所求直线方程为 y=kx,则有 3=- 3 2k,即 k=- , 2 3 此时直线 l 的方程为 y=- x,即 3x+2y=0. 2 误区 此处在求解时,常因忽视“截距为零”的情形, 导致漏解. 综上,直线 l 的方程为 x+y-1=0 或 3x+2y=0.

【答案】 x+y-1=0 或 3x+2y=0

【防范措施】

1.在求与截距有关的直线方程时,注意

对直线的截距是否为零进行分类讨论,防止忽视截距为零的 情形,导致产生漏解. 2.常见的与截距问题有关的易误点有:“截距互为相反 数”;“一截距是另一截距的几倍”等,解决此类问题时, 要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.

[对点练习] 经过点 A(-5,2), 且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截 距的 2 倍的直线方程是________.

x y 【解析】 若截距不为 0,设所求方程为 + =1, 2a a -5 2 又点 A(-5,2)在直线上,所以 + =1, 2a a 1 所以 a=- ,即所求直线方程为 x+2y+1=0. 2 若截距为 0,设所求方程为 y=kx. 2 由题意得-5k=2,k=- ,即所求直线的方程为 2x+5y 5 =0, 综上所述,所求直线的方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y= 0.

【答案】 x+2y+1=0 或 2x+5y=0

课堂达标训练 1.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sin α+cos α =0,则 a,b 满足( A.a+b=1 C.a+b=0 ) B.a-b=1 D.a-b=0

a 【解析】 由 sin α+cos α=0,得 tan α=-1,即- = b -1,所以 b-a=0.选 D.

【答案】 D

2.如果 A· C<0,且 B· C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

A C 【解析】 直线 Ax+By+C=0 变形为 y=- x- , B B ∵A· C<0,B· C<0, ∴A,B 同号, A C ∴- <0,- >0, B B ∴直线 Ax+By+C=0 不通过第三象限.

【答案】 C

3. 直线 x+(a2+1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是(
? π? ? A.?0,4? ? ? ? ? ? ? π? ? ? ?π C.?0,4?∪?2,π? ? ? ? ? ? ?3π ? ? B.? 4 ,π? ? ? ? ?π π? ?3π ? ? ? ? D.?4,2?∪? 4 ,π? ? ? ? ? ?

)

1 【解析】 直线的斜率 k=- 2 ,所以-1≤k<0, a +1 又倾斜角的取值范围为[0,π).
?3π ? ? 所以所求倾斜角的取值范围为? 4 ,π? ?,选 ? ?

B.

【答案】 B

4.求经过点 A(- 3,3),且倾斜角为直线 3x+y+1= 0 的倾斜角的一半的直线方程.
【解】 由 3x+y+1=0 得此直线的斜率为- 3, ∴倾斜角为 120° ,从而所求直线的倾斜角为 60° , ∴所求直线的斜率为 3. 又过点 A(- 3,3), ∴所求直线方程为 y-3= 3(x+ 3), 即 3x-y+6=0.


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