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第五节 解三角形应用举例


第五节 解三角形应用举例

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能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何问题 有关的实际问题.

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1.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路 (1)一般步骤: ①分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三 角形中,建立一个解斜三角形的数学模型; ③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;

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第五节 解三角形应用举例

④检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.

(2)基本思路示意图:

2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方 的角叫俯角(如图①).

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(2)方位角

方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α (如图②).
(3)方向角

第五节 解三角形应用举例 将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐 角)。

(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.
仰角、俯角、方位角有什么区别?

提示

提示:三者的参照物不同,仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是 相对于正北方向而言的.

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考点一

距离问题

解析

1.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,在 测出AC的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两 点的距离为? ( )
25 2 2 AC AB 解析:由题意知∠CBA=30°,由正弦定理得 = ,∴AB= sin ?CBA sin ?ACB
2 m A.50?
3 m C.25?2 m B.50?

D.? m

?

?

AC ? sin ?ACB = ? sin ?CBA

?
50 ? 1 2

2 2 =50?2 m.

答案:A

第五节 解三角形应用举例

2.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC= 120°,则A,C两地的距离为? ( ) A.10 km
5 km C.10?
3 km B.10?

解析

7 km D.10?

解析:由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos∠ABC=100+400-2×10×20×(1 ? )=700,∴AC=10?7 . 2

答案:D

第五节 解三角形应用举例

3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行, 30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是? ( )
2 海里 A.10?
3 海里 B.10?

解析

2 海里 C.20?

3 海里 D.20?

解析:由A、B、C的位置如图所示 :AB=20,∠BAC=30°,∠BAD=40°,∴∠ ABC=105°,∴∠ACB=45°,由正弦定理得? ∴BC=? 答案:A
AB sin ?BAC 20sin 30? =? = sin ?ACB sin 45?
AB BC = . sin ?BAC sin ?ACB

?

?
20 ? 2 2

1 2 =10?2 .

第五节 解三角形应用举例

3 )海里的两个观测点.现位于 4.如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+? A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南 偏西60°且与B点相距20? 3 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度 为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间? 解析

3 )海里, 解:由题意知AB=5(3+?

∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,

∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.
在△DAB中,由正弦定理得
DB AB ? =? , sin ?DAB sin ?ADB

第五节 解三角形应用举例

3 (海里), 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20?

在△DBC中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC
1 3 3 =300+1 200-2×10? ×20? × =900, 2

?

30 ∴CD=30(海里),则需要的时间t= =1(小时). 30

?

所以救援船到达D点需要1小时.

第五节 解三角形应用举例

求距离问题要注意: (1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量 已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
考点二

高度问题

1.从一幢20 m高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°, 塔基的俯角为45°,则塔高为? ( )

第五节 解三角形应用举例

解析:如图所示, AE=20 m, ∠CAE=60°,
3 m. ∴CE=20?

3 =20(1+? 3 ) m. ∴塔高为20+20?

答案:B

第五节 解三角形应用举例

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2.如图,测量河对岸的旗杆高AB时,选与旗杆底B在同一水平面内的两个测 点C与D.测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=a,并在点C测得旗杆顶A的仰角 为60°,则旗杆高AB为 .

解析

解析:在三角形BCD中,由正弦定理得?
6 2
3 2 2

6 a BC = ?BC= a,在直角三角 2 sin 45? sin 60?

?

?

形ABC中,AB=BCtan60°=?a×?3 =? a.

第五节 解三角形应用举例

3.(密码改编)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m),如图所示,垂直 放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. 解析 且测得tanα=1.24,tanβ=1.20,求H的值. 解:由AB=? ,BD=? ,AD=? 及AB+BD=AD, 得? +? =? ,
h H tan α tan β H tan β

H tan α

h tan β

H tan β

因此,算出的电视塔的高度H是124 m.

第五节 解三角形应用举例

4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°, 在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m, 求电视塔的高度. 解析
解:如图,设电视塔AB高为x m,

则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°, 3 x. ∴BD=?
在△BDC中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC· CD· cos120°,
3 x)2=x2+402-2· 即(? x· 40· cos120°,

解得x=40,∴电视塔高为40米.

第五节 解三角形应用举例

在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角 分别称为仰角、俯角)是一个关键.在实际问题中,可能会遇到空间与平面 (地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形, 这样处理起来既清楚又不容易搞错.
考点三

角度问题

1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的关系是? ( )
解析

第五节 解三角形应用举例

2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察 站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的? ( ) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10°

解析

解析:由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°,
又AC=BC,∴∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°. ∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.

答案:B

第五节 解三角形应用举例

3.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A、B、C三点进 行测量.已知AB=50 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=80 m,于B处测得水深
解析

第五节 解三角形应用举例

在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(? -1)海里的B处有一艘走私船,在 A处北偏西75°的方向,距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10? 海里/时的 速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方 解析 向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 解:设缉私船用t h在D处追上走私船, 3 t,BD=10t, 则有CD=10? 在△ABC中,
3 -1,AC=2,∠BAC=120°, ∵AB=? ∴由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC=(? -1)2+22-2×(? -1)×2×cos120°=6.

6, ∴BC=?

3

3

2 3 2 AC 且sin∠ABC=? · sin∠BAC= × = . 2 6 2 BC

???

∴∠ABC=45°,

第五节 解三角形应用举例

∴BC与正北方向垂直. ∵∠CBD=90°+30°=120°. 在△BCD中,由正弦定理,得 sin∠BCD=?
BD ? sin ?CBD 10t sin120? 1 = = , CD 2 10 3t

?

?

∴∠BCD=30°,
即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船.

首先应明确方位角的含义,在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根 据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际 问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理 “联袂”使用的优点.

第五节 解三角形应用举例

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【真题· 模拟】 (2011· 上海高考,8)在相距2千米的A,B两点处测量目标C,若 解析 ∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为 千米 命题探究:本题考查了在实际问题下,正、余弦定理的应用. 规范解答:如图,∠C=180°-60°-75°=45°.

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由正弦定理? =? 得

AB AC sin B sin C

第五节 解三角形应用举例

解:在△ABC中,可知∠ACB=45°, 由正弦定理得:? 解得AC=15米.
AB AC = , sin ?ACB sin ?ABC

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