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2017届一轮复习北师大版 集合的概念与运算 课件


第一章

集合与常用逻辑用语

第 1讲

集合的概念与运算

考纲展示 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同 的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)在具体的情景中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与 交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补 集. (3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算.

三年高考总结 从近三年高考情况来看, 本讲一直是高考的热点, 尤其集合的运算考查比较 频繁,一般以集合的交、 并、补运算及两集合间的 包含关系为主,与其他知 识结合起来进行考查,以 选择题或填空题为主.解 题时要具有数形结合的思 想意识,要充分利用韦恩 图、数轴等工具解决集合 的运算问题.

考点多维探究

考点1 回扣教材
?属于,记为a∈A, 1.元素与集合的关系? ?不属于,记为a?A.

集合的基本概念

2.集合中元素的特征 一个集合中的元素必须是确定的,即一个集合一旦确定,某 确定性 一个元素要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一, 这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任 互异性 何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表 示是否正确,或用来求集合中的未知元素 集合与其中元素的排列顺序无关, 如 a, b, c 组成的集合与 b, 无序性 c,a 组成的集合是相同的集合.这个特性通常被用来判断两 个集合的关系

3.集合的分类: 无限集、有限集 4.常用数集及其表示符号 名称 符号 5.集合的表示方法:

.特别地,我们把不含有任何元素的集合叫做 空集 ,记作?.

非负整数集 (自然数集)

正整数集

整数集

有理数集

实数集

N*或N+ 列举法、描述法、韦恩图法

N

Z


Q

R

小题快做 1.思考辨析 (1)若x∈{1,x2},则x=0或x=1.( × ) (2)[教材改编]直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.( × ) (3)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( × )

2.[教材改编]若集合A={x∈N|x≤ 10},a=2 2,则下面结论中正确的是( A.{a}?A C.{a}∈A B.a?A D.a?A

)

解析 因为2 2不是自然数,再结合元素与集合间的关系,故选D.

3.[2015· 云南一检]已知集合S={x|3x+a=0},如果1∈S,那么a的值为( A.-3 C.1 B.-1 D .3

)

解析 ∵1∈S,∴3+a=0,a=-3.

4.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( A.5 C.3 B.4 D .2

)

解析 集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},故选C.

典例1 ( ) A.3 C.8

(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为 B.6 D.10

1 (2)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且1∈A,则2015a的值为________ . 解析 (1)解法一:由x-y∈A及A={1,2,3,4,5}得x>y,当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个;当y=2时,x
可取3,4,5,有3个;当y=3时,x可取4,5,有2个;当y=4时,x可取5,有1个.故共有1+2+3+4= 10(个),选D. 解法二:因为A中元素均为正整数,所以从A中任取两个元素作为x,y,满足x>y的(x,y)即为集合B中 的元素,故共有C2 5=10个,选D. (2)对集合A中的元素分情况讨论,当a+2=1时a=-1,此时有(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不满足集 合中元素的互异性;当(a+1)2=1时,a=0或a=-2,此时有a=-2时a2+3a+3=1,同理舍去,经验证a =0时满足;当a2+3a+3=1时,解得a=-1或a=-2,由上知均不满足,故a=0,则2015a=1.

解决集合概念问题的一般思路 (1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点 集,还是其他集合,然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握 集合的意义.常见的集合的意义如下表: 集合 集合的 意义 {x|f(x) =0} 方程f(x) =0的解集 {x|f(x) >0} 不等式f(x) >0的解集 {x|y= f(x)} 函数y=f(x) 的定义域 {y|y= f(x)} 函数y= f(x)的值域 {(x,y)|y= f(x)} 函数y=f(x) 图象上的点集

(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时,要注意检 验集合是否满足元素的互异性.

【跟踪训练】 1.[2015· 广州测试]已知集合A=? ?x| x∈Z,且 A.2 C.4
解析 ∵
?

3 ? ∈Z? ,则集合A中的元素个数为( 2 -x ?

)

B.3 D.5
3 ∈Z,∴2-x的取值有-3,-1,1,3,又∵x∈Z,∴x值分别为5,3,1,-1,故集合A中的 2- x

元素个数为4,故选C.

2.[2015· 银川模拟]若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( A. 9 2 9 B. 8 D .0 或 9 8

)

C.0

解析

2 9 当a=0时,x= ,满足;当a≠0时,Δ=9-8a=0,得a= ,满足;故选D. 3 8

考点多维探究

考点2 回扣教材 1.集合间的基本关系 表示 关系 基 本 关 系 子集 真子集 相等 空集 文字语言

集合间的基本关系

符号语言 x∈A?x∈B A?B,且?x0 ∈B,x0?A A?B,B?A ??A ?? B(B≠?)

记法 A?B或 B?A A ?B 或B? A

集合A的 元素 都是集合B的元素 集合A是集合B的子集,但集合B 中 至少 有一个元素不属于A 集合A,B的元素完全 相同 空集是 任何集合 的子集,是

A=B

任何非空集合的真子集

2.必记结论 设有限集合A,集合A中有n个元素(n∈N*),则 (1)A的子集个数是

2n



(2)A的真子集个数是 2n-1 ;
n (3)A的非空子集个数是 2 -1 ; n (4)A的非空真子集个数是 2 -2 .

(5)子集关系的传递性,即A?B,B?C? A?C

.

小题快做 1.思考辨析 (1)设集合A={0,1},若B={x|x?A},则A?B.( × ) (2)设集合A={x|ax=1},B={x|x2=1},若A?B,则a=1或-1.( × )

2.[2015· 重庆高考]已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( A.A=B C.A? B B.A∩B=? D.B? A

)

解析 ∵A={1,2,3},B={2,3},∴A≠B,A∩B={2,3}≠?;又1∈A且1?B,∴A不是B的子集,故选 D.

3.[2015· 山西质监]已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M,且2x?M}的子集的个数为( A.8 C.3 B.4 D.2

)

解析 由题意,得P={3,4},所以集合P的子集有22=4个,故选B.

4.[2015· 郑州一检]已知集合M={x|-1<x<2},N={x|x<a},若M?N,则实数a的取值范围是( A.(2,+∞) C.(-∞,-1) B.[2,+∞) D.(-∞,-1]

)

解析 依题意,由M?N得a≥2,即所求的实数a的取值范围是[2,+∞),选B.

集合间的基本关系在高考中时有出现,常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范 围问题,主要以选择题的形式出现,且主要有以下两种命题角度.

命题角度1 典例2 C的个数为( A.1 C.3
解析

求子集个数

已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A?C?B的集合 ) B .2 D. 4
解法一:A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4},由A?C?B,

则C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个,故选D. 解法二:由A?C可知集合C中定含有元素1,2,又C?B,可得集合C的个数即为集合{3,4}子集的个 数,故选D.

典例3 围为( ) ? 3 ? ? A. -2,-1? ? ?

命题角度2 由集合关系求参数的取值范围 [2016· 龙岩模拟]已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x≤a+3}.若B∩A=B,则a的取值范
? 3? ? B. -∞,-2? ? ? ? 3 ? ? D. -2,+∞? ? ?

C.(-∞,-1]

解析 因为B∩A=B, 所以B?A. 当B=?时,满足B?A,此时-a≥a+3, 3 即a≤- ; 2 当B≠?时,要使B?A, -a<a+3, ? ? 3 则?-a≥1, 解得- <a≤-1. 2 ? ?a+3<5, 综上可知,a的取值范围为(-∞,-1].故选C.

根据两集合关系求参数的方法 (1)若集合A中含有n个元素,则其子集个数为2n个. (2)已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关 系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、 Venn图帮助分 析,而且经常要对参数进行讨论.注意区间端点的取舍. (3)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在涉及集合关系时,必须优先 考虑空集的情况,否则会造成漏解.

【跟踪训练】 3.[2015· 长春模拟]已知集合A={1,16,4x},B={1,x2},若B?A,则x=( A.0 C.0或-4 B.-4 D.0或± 4 )

解析 因为B?A,所以x2=16,得x=± 4,或x2=4x,得x=0或x=4,经验证当x=4时,不满足集合A 中元素的互异性,所以x=0或-4,故选C.(注:本题也可采用排除法求解).

4.[2015· 豫南五市二模]已知集合A={x|x2-2x<0},B={1,a},且A∩B有4个子集,则a的取值范围是 ( ) A.(0,1) C.(0,1)∪(1,2) B.(0,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞)

解析

由x2-2x<0得0<x<2,因为A∩B有4个子集,所以A∩B中有2个元素,即A∩B={1,a},所以

0<a<2,又a≠1,所以0<a<1或1<a<2,故选C.

考点多维探究

考点3 回扣教材 1.集合间的运算 自然语言描述 对于两个给定集合 并 A、B,由所有属

集合的基本运算

符号语言表示

Venn图表示

A∪B={x|x∈A, 于集合A或属于集 集 或 x∈B } 合B的元素组成的 集合

自然语言描述 对于两个给定集合A、 交 B,由所有属于集合A且 集合 对于一个集合A,由全集 补 集 U中所有属于集合U但不 属于集合A的元素组成的 集合称为集合A在全集U 下的补集,记作?UA

符号语言表示

Venn图表示

A∩B={x|x∈ 集 属于集合B的元素组成的 A,且 x∈B }

?UA={x|x∈U, 且 x?A }

2.集合间的逻辑关系 交集 并集 补集 3.必记结论 A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB?A∩(?UB)=?. A∩B?A A∪B?A ?U(?UA) =A A∩B?B A∪B?B ?UU=? A∩A=A A∪A=A ? U? = U A∩?=? A∪?=A A∩B=B∩A A∪B=B∪A

(?UA)∩A=? (?UA)∪A=U

小题快做 1.思考辨析 (1)对于任意两个集合A、B,关系(A∩B)?(A∪B)总成立.( √ ) (2)若A∩B=A∩C,则B=C.( × ) (3)设全集为R,函数y= 1-x2的定义域为M,则?RM={x|x>1或x<-1}.( √ )

2.[2015· 课标全国卷Ⅱ]已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( A.{-1,0} C.{-1,0,1} B.{0,1} D.{0,1,2}

)

解析 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A∩B={-1,0}.选A.

3.[2015· 沈阳一模]若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( A.M∪N C.(?UM)∪(?UN) B.M∩N D.(?UM)∩(?UN)

)

解析 因为集合M={1,4},N={2,3},所求的集合{5,6}中的元素5和6不在集合M和N中,所以在M和 N的补集中.由?UM={2,3,5,6},?UN={1,4,5,6},可知{5,6}=(?UM)∩(?UN),所以选D.

4.[2015· 郑州二检]集合U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={x∈Z|x2-5x+4<0},则?U(A∪B)=( A.{0,1,3,4} C.{0,4} B.{1,2,3} D.{0,1,2}

)

解析 因为集合B={x∈Z|x2-5x+4<0}={2,3},所以A∪B={1,2,3},又全集U={0,1,2,3,4},所以?
U(A∪B)={0,4}.所以选C.

有关集合运算的试题,在高考中多以客观题的形式呈现,常与函数、方程、不等式等知识综合,试题 难度不大,多为低档题,且主要有以下几个命题角度.

命题角度1 典例4 集合A∩(?UB)=( A.{2,5} C.{2,5,6}

离散型数集间的交、并、补运算

[2015· 天津高考]已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则 ) B.{3,6} D.{2,3,5,6,8}

解析 由已知得?UB={2,5,8},∴A∩(?UB)={2,5},故选A.

命题角度2 典例5 A.[0,1) C.(1,2)

连续型数集间的交、并、补运算 )

[2015· 浙江高考]已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?RP)∩Q=( B.(0,2] D.[1,2]

解析

∵P={x|x≥2或x≤0},

∴?RP={x|0<x<2},

∴(?RP)∩Q=(1,2).

命题角度3 典例6 A∩B的元素个数为( A.0 C.2

点集的交、并、补运算

已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且y=x},则 ) B .1 D. 3

解析

解法一:A为圆心在原点的单位圆,B为过原点的直线,故有2个交点,故选C.
2 2

?x= 2, ? ?x +y =1, 2 解法二:由? 可得? y = x ? ? y= 2 2 ?

?x=- 2, ? 2 或? ?y=- 2, 2 ?

故选C.

命题角度4 典例7

已知集合的运算结果求集合

{3,9} 已知集合A、B均为U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(?UB)∩A={9},则A=________.
由Venn图知A={3,9}

解析

命题角度5 典例8 是( ) A.{a|0≤a≤6} C.{a|a≤0或a≥6} B.{a|a≤2或a≥4} D.{a|2≤a≤4}

已知集合的运算结果求参数

设集合A={x|(x-a)2<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A∩B=?,则实数a的取值范围

解析

因为A={x|-1+a<x<1+a},B={x|1<x<5},当集合A,B位于数轴上如下图所示位置时,A∩B

=?,所以a+1≤1或a-1≥5,解得a≤0或a≥6.

集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图或交、并、补的定义求解; (2)点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解; (3)连续型数集的运算,常借助数轴求解; (4)已知集合的运算结果求集合,常借助数轴或Venn图求解; (5)根据集合运算结果求参数,先把符号语言转化成文字语言,然后适时应用数形结合 求解.

【跟踪训练】 5.[2015· 陕西高考]设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( A.[0,1] C.[0,1) B.(0,1] D.(-∞,1] )

解析 ∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},∴M∪N={x|0≤x≤1},故选A.

6.[2015· 云南名校联考]集合A={x|x-2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是( A.(-∞,-2] C.(-∞,2] B.[-2,+∞) D.[2,+∞)

)

解析 由题意,得A={x|x<2}.又因为A∩B=A,所以A?B,所以a≥2,故选D.

? ? ? ? 7.已知集合A= ?x,y??y= ? ? ?

π2 2 -x 4

? ? ? ,B={(x,y)|y=tan2x},C=A∩B,则集合C的子集个数为 ? ?

(

) A.2 C.8

B.4 D.16

解析

集合A表示圆心为(0,0),半径为

π 且在x轴上方的半圆(包括与x轴的两个交点),函数y=tan2x的 2 π2 2 -x 与y=tan2x的图 4

π 周期为 ,画出函数y= 2

π2 2 -x 与y=tan2x的图象(如图所示),由图知,函数y= 4

象有4个交点,因为C=A∩B,所以集合C有四个元素,故集合C的子集个数为24=16,故选D.

8.[2014· 重庆高考]设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B= {7,9} ________.
解析 ∵U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},∴?UA={4,6,7,9,10},又∵B={1,3,5,7,9},∴(?

UA)∩B={7,9}.

[方法与技巧] 1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点; 另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确. 2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是:首先,过好转化关,即把图形语言转化为符号语 言;其次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法解决,枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好 方法,使用时应做到不重不漏. 3.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参 数的取值范围时,要注意单独考查等号能否取到. 4.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

[失误与防范] 1.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集). 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特 别注意端点是否存在.

微专题——创新题型

以集合为载体的创新问题 以集合为载体的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点,此类题目常以问题为核心,以 探究为途径,以发现为目的,考查考生理解问题、解决创新问题的能力.命题的常见形式有新概念、新法 则、新运算、新性质等.

1.[2015· 湖北高考]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈ Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为( A.77 C.45 B.49 D.30 )

解析

集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5个元素(即5个点),即图中圆内及圆上

的整点.集合B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有25个元素(即25个点),即图中正方形ABCD内及正方 形ABCD上的整点.集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}中的元素可看作正方形 A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点,共7×7-4=45个.

2.对于任意两个正整数m,n,定义运算(用⊕表示运算符号):当m,n都是正偶数或都是正奇数时, m⊕n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m⊕n=m×n.例如4⊕6=4+6=10,3⊕7=3+

15 个. 7=10,3⊕4=3×4=12.在上述定义中,集合M={(a,b)|a⊕b=12,a,b∈N*}的元素有________
解析 当a,b同奇同偶时有11组:(1,11),(2,10),…(11,1);当a,b一奇一偶时有4组:(1,12),

(12,1),(3,4),(4,3),共15组.

3.[2015· 贵阳监测]已知全集U={a1,a2,a3,a4},集合A是集合U的恰有两个元素的子集,且满足下 {a2,a3} 用列举 列三个条件:①若a ∈A,则a ∈A;②若a ?A,则a ?A;③若a ∈A,则a ?A.则集合A=________.(
1 2 3 2 3 4

法表示)
解析 假设a1∈A,则a2∈A,则由若a3?A,则a2?A可知,a3∈A,与题意不符,∴假设不成立;假设a4

∈A,则a3?A,则a2?A,且a1?A,与题意不符,∴假设不成立,故集合A={a2,a3}(经检验知符合题意).

温馨提醒

解决集合创新型问题的方法

(1)紧扣新定义:首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的 解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础, 也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.

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